Naar de content

De zeven oplossingen van de vervloekte kromme

y4 + 5x4 − 6x2y2 + 6x3z + 26x2yz + 10xy2z − 10y3z − 32x2z2 − 40xyz2 + 24y2z2 + 32xz3 − 16yz3 = 0, en waarom dat interessant is.

Jennifer Balakrishnan en Sachi Hashimoto, met toestemming

De vervloekte kromme, een berucht probleem voor getaltheoretici, heeft zijn geheim prijsgegeven. Het kan de aanzet zijn tot een veel diepgaander begrip van zogeheten Diophantische vergelijkingen, waarvan de oplossingen alleen gehele getallen mogen bevatten.

Je zou verwachten, dat als je wiskunde beperkt tot gehele getallen, het allemaal een stuk simpeler is dan wanneer je alle reëele getallen (met onbeperkt veel cijfers achter de komma) toelaat. Maar vaak is het juist andersom. Van veel vergelijkingen is het een koud kunstje om alle oplossingen te vinden, maar als je alleen de oplossingen wilt hebben die je kunt vormen uit gehele getallen, staan wiskundigen vaak nog met lege handen (het is gebruikelijk om wel breuken van gehele getallen toe te staan, dus 2/3, 137/1098. Samen met de gehele getallen vormen ze de rationale getallen).

Vergelijking met een beperking

Een vergelijking met die beperking heet een Diophantische vergelijking, en ze worden al duizenden jaren bestudeerd. Maar van menige op het oog simpele Diophantische vergelijking is niet eens bekend of, en zo ja hoeveel, oplossingen die heeft.

Een team van wiskundigen, waaronder Nederlander Jan Tuitman, werkzaam aan de KU Leuven, heeft nu van een beruchte Diophantische vergelijking, de ‘vervloekte kromme’ (de cursed curve. Voor de formule: zie de kop boven dit artikel) bewezen dat die exact zeven oplossingen heeft.

Een kromme is een (rechte of gebogen) lijn in een grafiek, die correspondeert met alle oplossingen van een vergelijking. Een voorbeeld dat menigeen zich nog wel herinnert van de middelbare school, is de lijn die overeenkomt met de vergelijking y=x: een diagonale rechte lijn van rechtsonder naar linksboven.

Van veel krommes zijn wel een paar rationale oplossingen bekend, maar het is veel moeilijker om te bewijzen dat dit ook alle oplossingen zijn. Het zou zelfs kunnen dat er oneindig veel oplossingen zijn. Dit geldt bijvoorbeeld voor de vergelijking x2 + y2 = 1, die een cirkel met straal 1 voorstelt.

In de jaren tachtig bewees de Duitse wiskundige Gerd Faltings dat een heel brede categorie vergelijkingen altijd maar een eindig aantal rationale oplossingen heeft. Diens bewijs gaf echter geen methode om deze punten te tellen of te vinden; het stelde slechts vast, dat het niet-eindig zijn van dit aantal een logische tegenspraak opleverde.

Er bestaat wel een methode om alle rationale oplossingen van sommige vergelijkingen te vinden: de zogeheten Chabauty methode. Dit werkt echter niet bij de cursed curve. Wiskundige Minhyong Kim van de Universiteit van Oxford stelde in 2009 een uitbreiding van de Chabauty methode voor die wel van toepassing zou moeten zijn op krommen als de cursed curve. Dankzij Tuitman en zijn vier collega’s boekt de methode van Kim nu zijn eerste concrete succes.

Een weergave van de cursed curve als een tweedimensionaal oppervlak in een driedimensionale ruimte. In deze zogeheten projectieve weergave komt elk punt van de kromme overeen met een rechte lijn vanuit de oorsprong. De blauwe vlakken aan de rand lopen in feite onbegrensd ver door, maar ze zijn hier afgesneden om beter zicht te hebben op de ‘knoop’ in het binnenste, het interessantste deel van het oppervlak.

 Jennifer Balakrishnan en Sachi Hashimoto, met toestemming

Vervloeken

Waar halen wiskundigen het idee vandaan, om nu juist deze kromme te onderzoeken (en die te vervloeken)? De bijbehorende vergelijking ziet eruit als een willekeurige opeenstapeling van termen. Om dit echt te begrijpen is geavanceerde wiskundekennis nodig, maar de vervloekte kromme is er een uit een hele reeks die bekend staat onder de naam Xs(i), waarbij de vervloekte kromme Xs(13) is. Voor alle Xs(i) met i een priemgetal ongelijk aan 13 waren met andere technieken alle rationale punten al gevonden. Alleen bij Xs(13) werkte dit niet.

Een ‘kromme’ is een ééndimensionaal ding in een tweedimensionaal vlak. Echter, in dit vakgebied, de arithmetische meetkunde, worden krommen vaak ook beschouwd als objecten in een speciaal soort ruimte, de projectieve ruimte. Zo’n kromme correspondeert dan met een verzameling rechte lijnen vanuit één punt, die samen een geplooid oppervlak lijken te vormen. Zo’n oppervlak kan zeer grillige vormen aannemen, en zelfs met zichzelf in de knoop raken.

Het bestuderen van zulke ingewikkelde oppervlakken is een klassiek wiskundig vakgebied, dat echter door moderne visualisatietechnieken een stuk aanschouwelijker geworden is (afgelopen jaar toerde een tentoonstelling over dit onderwerp door Nederland: Imaginary).

Redelijk rustig

De vervloekte kromme gedraagt zich op het oog redelijk rustig; het centrum lijkt wel wat op een open bloem. Als je bedenkt hoe dicht rationale en irrationale punten in een vlak of in de ruimte op elkaar liggen, lijkt het intuïtief een heksentoer voor zo’n vrij gladde kromme om alle rationale punten te vermijden, op slechts zeven na.

Immers, er is geen grens aan hoe groot de gehele getallen in een breuk mogen zijn. 2000/3000 is rationaal, maar 2001/3000 ook, en 200001/300000 ook. Zo kun je rationale punten overal willekeurig dicht op elkaar kiezen (maar toch liggen er altijd nog irrationale punten tussen). Je zou verwachten dat alleen een uiterst ingewikkeld geplooide, fractal-achtige kromme al die rationale punten kan vermijden, maar dat is dus niet het geval.

Zeven rationale punten

In de ‘projectieve’ variant van de vergelijking voor de vervloekte kromme zijn de zeven rationale punten:

(1,1,1) (1,1,2) (0,0,1) (-3,3,2) (1,1,0) (0,2,1) (-1,1,0)

Wiskundigen beschouwen zo’n vergelijking liever op een hoger abstractieniveau, waar de eigenschappen niet afhangen van willekeurige keuzes als het coördinatenstelsel. Het feit dat er precies zeven rationale punten op het oppervlak liggen, is namelijk onafhankelijk van die keuze.

Deze zeven rationale oplossingen waren al langer bekend, maar tot nu toe wist niemand zeker of er niet nog meer waren. Dit aantonen, steunt op een combinatie van diepgaand wiskundig inzicht en stevige berekeningen op een computer. Tuitman heeft zich binnen het team van vijf vooral op dit laatste geconcentreerd.

Eerst moet het computerprogramma die zeven rationale punten vinden. Tuitman: “Dit is eigenlijk zeer eenvoudig. Je probeert gewoon alle tellers en noemers tot bijvoorbeeld 100 of 1000 voor de coördinaten x,y en vindt zo de 7 punten. Gespecialiseerde computerprogramma’s als Magma of Sage doen dit in miliseconden.” Het zware werk, bewijzen dat er niet meer rationale punten bestaan, komt neer op het met de computer uitrekenen van een aantal gecompliceerde integralen, waar Tuitman expert in is. Een integraal correspondeert met een oppervlakte onder een kromme in een grafiek.

Speculatief

“Veel mensen in dit vakgebied waren tot nu toe sceptisch over het werk van Minhyong Kim, omdat dit extreem abstract en theoretisch is. Nu wij dit in een interessant speciaal geval zo duidelijk gemaakt hebben, gaan waarschijnlijk meer mensen met de methode aan de slag”, aldus Tuitman.

Kim’s project, dat nog verder uitgewerkt moet worden, heeft de ambitie om van hele klassen van Diophantische vergelijkingen exact de oplossingen te bepalen. “Sommige wiskundigen vermoeden zelfs dat de meest algemene variant van de Chabauty-Kim methode voor alle krommen werkt”, zegt Tuitman. “Maar dit is nog heel erg speculatief.”

Bronnen
ReactiesReageer