Wiskundigen kraken a[^3^] + b[^3^] + c[^3^] = 42

De nieuwste ontdekkingen in de wiskunde zijn niet altijd moeilijk te begrijpen. Zo publiceerde Andrew Booker van Bristol University in juli 2019 een wetenschappelijk artikel met als voornaamste boodschap:

33 = 8866128975287528³ + (−8778405442862239)³ + (−2736111468807040)³

Van rechts naar links lezend is dit resultaat een fluitje van een cent: als iemand je deze drie grote getallen geeft, kun je op de calculator van een gewone PC al uitrekenen dat hun som 33 is. Maar van links naar rechts is een heel ander verhaal. Om, gegeven 33, drie derdemachten te vinden die samen 33 zijn, had Booker slimme wiskunde en een cluster van computers nodig, die in totaal ongeveer acht jaar rekentijd verbruikte.

Verschil van derdemachten

De opgave om een gegeven getal k te schrijven als de som van drie derdemachten dateert al uit 1954. Let wel: als een getal negatief is, is z’n derdemacht dat ook. Dus k kan de som zijn van drie kleinere derdemachten, maar kan ook het verschil zijn van drie veel grotere derdemachten.
Uiteraard is het begin heel makkelijk; je probeert gewoon wat kleine derdemachten uit, en vindt dan bijvoorbeeld:

1³ + (-1)³ +1³ = 1

0³ + 1³+ 1³ = 2

1³ + 1³ + 1³ = 3

Al snel werd bewezen, dat er geen oplossingen zijn als k een negenvoud +4, of een negenvoud + 5 is. Dus 4 en 5; 13 en 14; 22 en 23; 31 en 32; enzovoort, zijn niet te schrijven als de som van drie derdemachten. Dan maar verder met 6 en 7, enzovoort:

2³ + (– 1)³ + (– 1)³ = 6

2³ + 0³ + (-1)³ =7

2³ + 1³ + (-1)³ = 8

Als dit zo door bleef gaan, was het een weinig interessant probleem. Maar het blijkt, dat je al snel heel grote derdemachten – waarvan dus minstens eentje negatief – nodig hebt om een kleine k te maken.

k=16 is de eerste echt interessante (al heeft die ook de triviale oplossing 16 = 2³ + 2³ + 0³):

16 = 1626³ + (-1609)³ + (-511)³

Geen grip

Ondanks veel onderzoek, hebben wiskundigen nog steeds geen efficiënte methode gevonden om een getal als de som van drie derdemachten te schrijven. Afgezien van de bovengenoemde categorie getallen waarvoor het bewezen onmogelijk is, is ook niet bekend of dat altijd mogelijk is, en zo ja, of de oplossing uniek is.

Omdat wiskundigen er geen grip op kregen, is met computers uitgebreid gezocht naar trio’s derdemachten met een relatief heel kleine som. Daardoor was tot 2019 van op twee na alle getallen tot en met 100 de status bekend: ofwel het was een negenvoud + 4 of +5, ofwel er was minstens één passend trio derdemachten gevonden.

De twee hardnekkige uitzonderingen waren 33 en 42. Toen Booker in april een trio derdemachten voor 33 vond, was de jacht op 42 natuurlijk pas echt geopend. Booker bundelde zijn krachten met Andrew Sutherland van het Massachusetts Insitute of Technology, en dankzij de Charity Engine, een netwerk van een half miljoen PC’s die gratis hun overtollige rekencapaciteit beschikbaar stellen, vonden ze in september dat

42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

Van tevoren was er geen garantie dat de zoektocht succes zou hebben; 42 had een getal kunnen zijn waarvoor geen oplossing bestaat, of de oplossing had zulke grote getallen kunnen hebben dat die buiten het bereik van de speurtocht lagen. Maar nu is er, na een slordige miljoen uur parallelle rekentijd, wel degelijk een antwoord.

Deep Thought

Echte nerds weten dat 42 een speciaal getal is. In de absurdistische science fiction roman The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy komt een door aliens gebouwde computer zo groot als een stad voor, Deep Thought, die de ‘ultieme vraag over het Leven, het Heelal en Alles’ kan beantwoorden. Na 7,5 miljoen jaar rekenen komt het antwoord, en dat luidt: 42.

Waarom dat onweerstaanbaar komisch is, moet hier niet verder uitgelegd worden. Liefhebbers van deze cult-roman hebben hele lijsten met voorbeelden aangelegd waarom 42 een speciaal getal is. Maar dan gaat het veelal om trivialiteiten als de sterfleeftijd van Elvis. Dat 42 het moeilijkste getal onder de 100 is om als drie derdemachten te schrijven, kan nu ook op de lijst.