Wat is de wortel uit –1 en wat kun je ermee?

Getallen die de wortel uit –1 bevatten, heten complexe getallen. Deze complexe getallen zijn niet meer weg te denken uit de hedendaagse wis- en natuurkunde. Ze worden ondermeer gebruikt voor het uitrekenen van ingewikkelde integralen en het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Kwantummechanica is ondenkbaar zonder complexe getallen. Ook in heel praktische zaken zoals de elektriciteitsleer zijn ze erg nuttig. Bij complexe getallen wordt er veel gerekend met de wortel uit –1. Dit wordt ook wel het getal i genoemd. Maar, als i de wortel uit –1 is, dan zal het kwadraat van i gelijk zijn aan –1. Vreemd! Voor gewone getallen geldt namelijk dat hun kwadraten positief zijn. Kan i dan wel bestaan?

Imaginaire getallen

Wiskundigen kwamen wortels uit negatieve getallen voor het eerst tegen in de zestiende eeuw. Dit gebeurde bij het oplossen van de formule van Cardano (een soort abc-formule voor de derdegraadsvergelijking). Als ze met die formule netjes doorrekenden wanneer ze de wortel uit een negatief getal tegenkwamen, dan kregen ze soms toch een antwoord met gewone getallen.

Dit is de grafiek van x³ – 6x + 4. Het is duidelijk dat er drie oplossingen zijn van x³ – 6x + 4 = 0, want de grafiek snijdt de x-as drie keer.

Met de formule van Cardano (Italië, 1501-1576) kun je nulpunten vinden van derdegraadsvergelijkingen zoals in het plaatje hierboven. De algemene vergelijking x³ + px + q = 0 heeft als oplossing x = A + B waarbij A gelijk is aan

en B gelijk is aan

Door nu p = –6 en q = 4 in te vullen, vind je A =

en B =

Dit is het moment waar voor wiskundigen uit de zestiende eeuw de problemen begonnen, want ze zitten opgescheept met de wortel uit –4. Met stug rekenwerk volgt echter dat: A = 1 + i en B = 1 – i. Door A en B nu bij elkaar op te tellen vallen i en –i tegen elkaar weg en blijft er 2 over. We hebben zo de oplossing x = 2 gevonden. Met een staartdeling volgt dat x³ – 6x + 4 gedeeld door x – 2 gelijk is aan x² + 2x – 2. De nulpunten hiervan vind je gemakkelijk met de abc-formule, deze zijn gelijk aan –1 – √3 en –1 + √3.

Het kwadraat van een gewoon getal is positief. Dit komt doordat min keer min plus wordt, plus keer plus blijft natuurlijk plus. Hierdoor is het duidelijk dat de wortel uit –1 geen gewoon getal is. Wiskundigen zeggen dat de wortel uit –1 niet in de verzameling van de gewone getallen zit, hij bestaat niet in die verzameling. Daarom noemde men deze wortels uit negatieve getallen imaginaire getallen. Vermoedelijk is dat ook de reden dat gekozen is voor de letter i om de wortel uit –1 aan te duiden. Maar het kan ook zijn dat de keuze op i is gevallen, omdat die letter het meest op het cijfer 1 lijkt.

Op het eerste gezicht lijkt het heel vreemd dat wiskundigen zomaar aannemen dat de wortel uit –1 bestaat. Eenzelfde soort probleem deed zich voort bij de invoering van de negatieve getallen. Heel lang weigerden mensen daarmee te rekenen, omdat negatieve getallen ‘onnatuurlijk’ waren. Rond 1660 noemde Blaise Pascal negatieve getallen nog ‘werk van de duivel’.

Het is niet vreemd om te denken dat negatieve getallen niet kunnen bestaan. Iemand kan toch geen –3 peren hebben, en de afstand van Amsterdam naar Rotterdam kan toch geen –45 kilometer zijn? Toch zijn er ook situaties waarbij negatieve getallen een nuttige rol kunnen spelen. Rood staan bij de bank bijvoorbeeld. Dat is niet alleen erg vervelend, maar het betekent ook dat je een negatief saldo hebt. In deze context zijn negatieve getallen bruikbaar en erg nuttig. Ze vormen een goede aanvulling op de positieve getallen.

Net zo als negatieve getallen in een bepaalde context erg handig zijn, zijn imaginaire getallen dat ook. Bijvoorbeeld bij het oplossen van een derdegraadsvergelijking (zie kader 1). Mede daarom is de wortel uit –1 gedefinieerd. Het blijkt voldoende te zijn om alleen maar de wortel uit –1 te definiëren om alle imaginaire getallen te krijgen. De wortel uit –5 is dan gewoon de wortel uit –1 × 5 en dat is weer gelijk aan √–1 × √5 = i√5. De vraag is dan natuurlijk: hoe zit het met optellen van een imaginair getal en een gewoon getal?

Complexe getallen

Om op een zinnige manier met de wortel uit –1 om te gaan zijn de complexe getallen geconstrueerd. Een complex getal is een getal van de vorm a + bi, waar a en b gewone getallen zijn. De imaginaire getallen zijn dan de getallen met a = 0, de gewone getallen zijn de getallen met b = 0. De reële getallen kun je zien als getallen die op een lijn liggen, de positieve getallen rechts van nul en de negatieve getallen links van nul. Op deze lijn is geen plaats meer voor het getal i, laat staan voor alle andere complexe getallen. Complexe getallen worden daarom weergegeven in een vlak, het complexe vlak. De verticale as is de imaginaire as en de horizontale as is de reële as. Een getal a + bi heeft dan coördinaten (a, b) in het complexe vlak. Met deze weergave is goed te zien dat een gewoon (reëel) getal een speciaal geval is van een complex getal.

Hier zie je het complexe vlak. Het punt 1 + i vind je door in het vlak 1 naar rechts te gaan en dan 1 omhoog.

Met complexe getallen kunnen we, net als bij de gewone getallen, optellen, vermenigvuldigen, delen en aftrekken. Hiervoor moesten natuurlijk rekenregels bedacht worden, net als bij de invoering van de negatieve getallen. De rekenregels voor de complexe getallen zijn afkomstig van de Italiaanse wiskundige Rafael Bombelli (1526-1572).

Optellen en vermenigvuldigen in het complexe vlak

We nemen v = 3 + i, w = 1 + 2i en willen v + w berekenen. In het complexe vlak is het optellen hetzelfde als het optellen van vectoren. Dit gaat heel makkelijk met de Parallellogrammethode. Er volgt dan dat v + w = 4 + 3i.

We hebben nu v = 1 + i, w = 1 + 2i en we willen v en w met elkaar vermenigvuldigen. Bij vermenigvuldigen moet je de haakjes wegwerken en opletten dat i² = –1: v × w = (1 + i) × (1 + 2i) = 1(1 + 2i) + i(1 + 2i) = 1 + 2i + 1i + 2i² = –1 + 3i.

Je kunt ook op een andere manier werken. In het vlak maken v en w een hoek (in radialen) met de reële as, dit zijn 0,785 en 1,11 Ze hebben een afstand tot de oorsprong, dit zijn (denk aan de stelling van Pythagoras) √2 en √5. Bij vermenigvuldiging worden de twee hoeken opgeteld en de afstanden vermenigvuldigd. Dus v × w heeft een hoek van 1.89 met de reële as en afstand √10 tot de oorsprong.

Toepassingen van complexe getallen

Zonder complexe getallen heeft een kwadratische vergelijking geen oplossingen als de discriminant D, van de abc-formule, kleiner is dan nul. Zo is bijvoorbeeld de vergelijking x² + 4x + 5 = 0 niet op te lossen met gewone getallen, want D = -4. In de complexe getallen is het wel mogelijk om de wortel uit een negatief getal te trekken. De complexe oplossingen zijn: x = i – 2 en x = –i – 2. Dus is deze vergelijking oplosbaar. Sterker nog: elke kwadratische vergelijking is oplosbaar. Dit is een speciaal geval van de hoofdstelling van de algebra. Die zegt dat elke n-de graads veeltermvergelijking (dit is een vergelijking van de vorm a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ = 0, waarbij alle a_i’s complexe getallen zijn.) precies n oplossingen heeft in de complexe getallen. Dat is erg handig want het vertelt je dat je niet verder hoeft te zoeken als je al n oplossingen gevonden hebt.

Met complexe getallen is het niet meer nodig om gonioformules uit je hoofd te leren. Dit komt door de formule van Euler. Dot is een uitdrukking waar de complexe e-macht en de cosinus en de sinus samenkomen: e^iy = cos(y) + i sin(y). Uit deze formule is het eenvoudig, met behulp van de rekenregels voor de e-macht, om de hoekverdubbelingsregels voor de cosinus en de sinus af te leiden.
cos(a + b) + i sin(a + b) = eⁱ = e^aie^bi = (cos(a) + i sin(a))(cos(b)+ i sin(b)) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) + i(cos(a)sin(b) + cos(b)sin(a)).

• cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
• sin(a + b) = cos(a)sin(b) + cos(b)sin(a)

Als je nu in de formule van Euler de waarde p invult voor y, dan volgt de beroemde identiteit van Euler: e^ip + 1 = 0. Veel wiskundigen vinden dit een mooie identiteit omdat daar de belangrijke constanten e, i, p, 1 en 0 op een eenvoudige manier samenkomen.
_______________________________________________________________________

Leonhard Euler (Zwisterland, 1707-1783) is een van de meest succesvolle wiskundigen aller tijden. Elke tak van de wiskunde heeft wel een stelling die van hem afkomstig is. Zwitserland is zo trots op hem, dat ze hem zelfs op hun bankbiljetten hebben gezet.

Deze twee voorbeelden zijn slechts het topje van de ijsberg. Complexe getallen zijn namelijk helemaal geïntegreerd in de dagelijkse praktijk van de wis- en natuurkundige. Vooraf had niemand kunnen voorzien dat de definitie van de wortel uit –1, die in eerste instantie heel vreemd lijkt, zoveel gevolgen zou hebben.

Zie ook:

• Complexe getallen (Wikipedia)
• Rekenen met complexe getallen (applet)
• Complexe getallen voor Wiskunde D
• Derdegraadsvergelijking (Wikipedia)