Voorspel je het einde van de mensheid met kansrekening?

Om uit te leggen hoe je met een statistisch verhaal zoiets kunt voorspellen, moeten we terug naar de Tweede Wereldoorlog. Toen wilden de Amerikanen graag weten hoeveel tanks de Duitsers hadden. Deze Duitsers, georganiseerd volk als ze waren, hadden al hun tanks genummerd; de eerste die van de loopband kwam kreeg nummer 1, de tweede nummer 2, enzovoort.

Dankzij het feit dat de Duitsers hun tanks zo netjes nummerden, konden geallieerden schattingen maken. Dat ging als volgt: stel een groep soldaten ziet een tank met serienummer 32. Dan weten ze twee dingen:

• Er zijn minstens 32 tanks gemaakt door de Duitsers
• De kans is klein dat de Duitsers miljoenen tanks hebben

Dat laatste argument komt van een kansberekening: als de tanks nummer 1 tot en met 1.000.000 hebben, is de kans heel klein dat je als soldaat een tank met een tweecijferig serienummer ziet (aangezien het merendeel hogere serienummers heeft). Als een groep soldaten even het Duitse, aanstormende leger observeert en meer tanks waarneemt, kun je steeds een betere schatting maken. Stel bijvoorbeeld dat ze uiteindelijk 5 tanks zien met de volgende nummers: 32, 6, 110, 12, 20. Met zo’n monster kunnen statistici een schatting maken van het totaal aantal tanks N:

N = 110 – 1 + (110/5) = 131

Waarmee er dus 131 tanks zouden zijn over het hele front. Helaas is dit niet de enige schatting die een statisticus kan maken. Als hij van de Bayesiaanse school is, maakt hij een andere schatting, waarbij N = 305,2 +- 50,4. Er zit een groot verschil tussen de schattingen, maar ze zijn beiden bruikbaar voor schatting van de krijgsmacht. Uiteindelijk bleken deze statistische schattingen vaak verrassend dicht in de buurt te komen van het aantal tanks dat de Duitsers produceerden.

Doemsdag

Wat heeft de oorlog precies te maken met het doomsday-argument? Het lijkt er erg op, in opzet – hoewel de conclusies van het argument veel verder gaan en twijfelachtig juist zijn. Om het uit te leggen, moet je in je achterhoofd houden hoe het met het Duitse tankprobleem zat.

Stel dat alle mensen op aarde, vanaf de allereerste geboren mens, een getal hebben gekregen. We weten dat er inmiddels ongeveer zestig miljard mensen hebben geleefd, en dat wij dus allemaal een getal in de buurt van 60 miljard hebben. Nu is de vraag: gegeven dat we weten hoeveel mensen er ooit zúllen leven, wat is de kans dat jou geboortegetal ergens in het midden ligt (dat betekent: niet heel laag en niet heel hoog is, in vergelijking met de allerlaagste en allerhoogste getallen)?

Misschien is dat iets teveel van het goede. Nick Bostrom van de universiteit van Oxford legt het rustiger uit, en ik zal zijn uitleg overnemen.

We beginnen eerst simpeler. Op een school staan honderd studiehokjes, waar in elk hokje één student zit. Negentig van de hokjes zijn blauw, de andere tien rood. Een leraar gaat langs elke student en vraagt ze te gokken welke kleur hun hokje heeft; ze kunnen zelf de kleur niet zien.

Wat moet je gokken? De studenten weten wel allemaal dat slechts tien procent van de hokjes rood is. Als je blauw gokt, heb je 90 procent kans om te winnen. Als iedereen dit doorheeft, gokt iedereen blauw en wint 90 procent van de studenten.

Aan de andere kant kan een student ook denken: ik heb geen reden om aan te nemen dat de kans op een rood hokje groter is dan een blauw hokje. Dus bepaald hij zijn gok door het opwerpen van een munt. Als elke student dát doet, wint – gemiddeld – 50 procent van de studenten. Dat percentage ligt veel lager, en intuïtief is de eerste redenering, waarbij de student zijn kennis meeneemt, veel logischer én winstgevender.

10 of 100 hokjes

Nu gaan we een stapje verder. In plaats van kleuren, hebben alle hokjes een getal van 1 tot 100 en zijn ze leeg. Een leraar gooit een munt op: bij kop worden alle hokjes gevuld met studenten. Bij munt mogen slechts tien studenten in de eerste tien hokjes zitten. Nu ben jij een student die in een hokje zit, maar je hebt geen idee wat de uitslag van de muntworp was, hoeveel andere hokjes bezet zijn of wat het nummer van jou hokje is. Wel ken je de opzet van dit experiment. Je krijgt de vraag: zitten er in totaal tien of honderd studenten?

Wat moet je nu zeggen? Aangezien de keuze tussen 100 of 10 gemaakt is met een muntworp, is een totale gok nu het beste wat je kunt doen; de kans is immers precies 50/50.

Vervolgens kijk je welk getal je hokje heeft. Je ziet dat het getal 7 is. Is je gok nu nog steeds goed? Nee, je weet nu plotseling veel meer. Net als bij de Duitse tanks, waar het zien van een laag serienummer betekent dat de kans op heel veel tanks klein is. Het feit dat jij in een hokje dat een getal tussen 1 en 10 heeft, zit, betekent dat de kans dat de munt aan het begin op munt viel (volgens de Bayesiaanse methode) 91 procent. En dat de kans dus veel groter is dat er maar 10 hokjes bezet zijn.

De wereld

Met al het voorgaande in ons hoofd maken we de laatste sprong: van honderd studenten in hokjes naar de hele wereldbevolking, niet alleen diegene die nu leven maar alle mensen die ooit leefden en ooit zullen leven. We herinneren ons het hoofddoel van het doomsday-argument: een voorspelling maken van wanneer de mensheid uitsterft. Laten we twee ideeën tegen over elkaar zetten: een vroegtijdig einde, waarin de menselijk sterft nadat er 200 miljard mensen zijn geboren. En een laat einde, waarin de mens nog millenialang leeft en uiteindelijk de 200 triljoen haalt.