Kubisme 2.0

Kunstenares Edith Cohen vroeg zich af hoeveel verschillende figuren opgebouwd uit 1×1×1-kubusjes je kunt maken die in een 3×3×3-kubus passen. Haar broer, de wiskundige Arjeh Cohen, kon dat uitrekenen. Maar het antwoord hangt natuurlijk af van wat je precies onder ‘figuur’ en onder ‘verschillend’ verstaat.

2 maart 2019

“Maarten en ik hebben er uren naar zitten kijken”, zegt Edith Cohen over de maar liefst 32 uur durende, door neurowetenschapper Maarten Frens geproduceerde video waarin alle 1.563.148 samenhangende figuren van 1×1×1-kubusjes in een 3×3×3-kubus achtereenvolgens te zien zijn. Frens, een goede vriend van Cohen, schreef het computerprogramma dat de figuren genereerde en automatisch verwerkte in de video-animatie. Een fragment van een paar minuten staat online:

Edith Cohen is een kunstenares die veel werkt met patronen op papier, vaak in combinatie met borduurpatronen . Vandaar is het een vrij logische stap naar het onderzoeken van elementaire drie-dimensionale vormen. Menig kunstenaar heeft zich al laten inspireren door de rijkdom aan geometrische vormen in de wiskunde, maar voor zover bekend is het de eerste keer dat deze specifieke variant uitputtend in beeld gebracht is.

Niet scheef

Het project Eén Model begon met de vraag van Edith aan haar broer Arjeh Cohen, emeritus hoogleraar discrete wiskunde aan de TU Eindhoven, hoeveel verschillende van die figuren er zijn. Een kubus van 3 bij 3 bij 3 (in een willekeurige lengte-eenheid, zeg: centimeter) kun je opgebouwd denken uit 27 kubusjes van 1 bij 1 bij 1. Een ‘figuur’ is een stel aan elkaar geplakte 1×1×1-kubusjes die in de 3×3×3-kubus passen. Elk kubusje van de figuur moet wel precies in een 1×1×1-hokje passen, dus we kijken niet naar figuren die scheef in de grote kubus liggen. Ook mag je twee kubusjes alleen met een heel zijvlak tegen elkaar aan plakken. Kubusjes die elkaar alleen maar raken met een ribbe of hoekpunt tellen als losse kubusjes.

Als je aan de figuren verder geen enkele restrictie oplegt, is het triviaal om te bepalen hoeveel mogelijkheden er zijn. Je kunt dan namelijk voor elk van de 27 kubusjes afzonderlijk kiezen of die wel of niet in de figuur zit, en dat geeft je 2²⁷ = 134.217.728 mogelijkheden, ongeveer 134 miljoen.

Maar de meeste van deze figuren zijn niet samenhangend, ze bestaan uit twee of meer losse delen. Je kunt bijvoorbeeld op tientallen manieren twee kubusjes in de kubus plaatsen zonder dat ze elkaar raken. Een eerste restrictie is daarom dat alleen samenhangende figuren meetellen.

Verder gaat het alleen om de vorm van de figuur, niet om z’n plaats in de kubus. Dus is er maar één figuur die uit één kubusje bestaat, hoewel je dat kubusje op 27 plaatsen in de grote kubus neer kunt zetten. Translaties (een zuivere verschuiving) van een figuur tellen dus niet mee.

Ook rotaties tellen niet mee. Stel je een figuur voor die bestaat uit een L-vorm van vier kubusjes. Die kun je in acht verschillende oriëntaties in de kubus plaatsen, maar toch telt dat allemaal als dezelfde figuur.

Uiterlijke vorm

Tenslotte wilde Edith Cohen ook dat alleen de uiterlijke vorm meetelt. Dat wil zeggen: als een figuur een kubusje bevat met aan alle zes zijvlakken een andere kubus geplakt, en je kunt die weghalen zonder dat de figuur in stukken uiteenvalt, dan telt dat ook niet als een aparte figuur.

Met deze restricties berekende Arjeh Cohen dat er 1.563.148 verschillende figuren overblijven. Met diverse andere criteria, zoals de diameter van een figuur of de mate van symmetrie, en zoveel mogelijk diversiteit, werd hieruit een selectie gemaakt van de 1200 meest interessante figuren. Die zijn door Edith en een aantal assistenten ook werkelijk gemaakt, uit 17.000 kubusjes van 1 bij 1 bij 1 centimeter. Die houten kubusjes hebben ze niet zelf gemaakt, maar gewoon besteld in China.

De selectie bevat alle mogelijke figuren met maximaal vijf kubusjes, en de meest interessante figuren met maximaal 27 kubusjes. Zoals hierboven al gezegd: er is maar één figuur van 1 kubusje. Ook met twee kubusjes is maar één figuur mogelijk, namelijk een paaltje van 2×1×1. Met drie kubusjes kun je twee verschillende figuren maken, namelijk een paaltje van 3×1×1 en een L-vorm. Met vier kubusjes zijn zeven verschillende figuren mogelijk, met vijf kubusjes 25. Daarna loopt het aantal snel op, tot maximaal 274.518 figuren met 15 kubusjes.

Naarmate de 3×3×3-kubus voller komt te zitten, neemt het aantal mogelijke figuren natuurlijk weer af. Er is geen figuur met alle 27 kubusjes, omdat dit volgens de regels dezelfde figuur is als een figuur met 26 kubusjes dat in het midden een holte heeft. Simpeler gezegd: de massieve en de holle 3×3×3-kubus zijn dezelfde figuur.

De selectie van 1200 figuren is in 24 rijen van 50 op een groot paneel geplakt en hangt nu als het kunstwerk Eén Model bij het bedrijf Xelion in Delft.