Irrationale getallen

De schrijfwijze van een rationaal getal als breuk ligt niet ondubbelzinnig vast, want als je de teller en de noemer met hetzelfde gehele getal (dat niet nul mag zijn) vermenigvuldigt, verandert de breuk wel, maar het getal niet. Als de teller en de noemer van een breuk geen gemeenschappelijke delers groter dan 1 hebben, heet zo’n breuk onvereenvoudigbaar. We geven twee voorbeelden van een serie breuken die allemaal hetzelfde rationale getal voorstellen. De laatste twee breuken in elke serie zijn onvereenvoudigbaar.

28/49 = 571428/999999 = -4/-7 = 4/7,
-195/66 = 130/-44 = 65/-22 = -65/22.

Ook de gehele getallen zijn als breuk te schrijven, bijvoorbeeld -5 = -5/1 en 0 = 0/2003 = 0/1.

Elk rationaal getal is op precies één manier te schrijven als een onvereenvoudigbare breuk met een positieve noemer.

Voorbeelden van irrationale getallen

Naast rationale getallen kennen we ook getallen die niet rationaal zijn, zoals √2, ²log3, ¹⁰log7, π, e en φ. Daarbij is π (pi) de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel, e het grondtal van de natuurlijke logaritme en φ (phi) het zogenaamde gulden-snedegetal, dat wil zeggen de lengteverhouding tussen een diagonaal en een zijde in een regelmatige vijfhoek.

In figuur 1 zie je van deze getallen de eerste vijftig decimalen. Maar hoe kun je van zo’n getal bewijzen dat het irrationaal is? In veel gevallen is een bewijs uit het ongerijmde de aangewezen methode. Je neemt daarbij aan dat het getal in kwestie wél als een breuk geschreven kan worden, en leidt daaruit een ongerijmdheid, een innerlijke tegenstrijdigheid af. De conclusie luidt dan dat het uitgangspunt, de aanname dat het getal als een breuk te schrijven is, onjuist moet zijn.

Het vinden van zo’n irrationaliteitsbewijs is lang niet altijd eenvoudig. Pas in 1761 slaagde de Duitse wiskundige Lambert erin te bewijzen dat π irrationaal is, en ook thans zijn er nog steeds heel wat getallen waarvan we niet weten of ze rationaal of irrationaal zijn. Dat geldt bijvoorbeeld voor het getal π^e. Maar er zijn ook getallen waarbij het heel gemakkelijk is om te bewijzen dat ze irrationaal zijn. Het eenvoudigste voorbeeld is misschien wel het getal ²log3.

Het getal ²log3 is irrationaal

Stel dat ²log 3 = t/n, waarbij t en n positieve gehele getallen zijn. Dan is 2^t/n = 3, dus 2^t = 3ⁿ. Het linkerlid hiervan is een geheel getal met alleen maar factoren 2 in zijn priemgetallenontbinding, terwijl het rechterlid een geheel getal is met alleen maar factoren 3 in zijn priemgetallenontbinding. Die getallen kunnen dus niet aan elkaar gelijk zijn, een tegenspraak. Iets meer moeite kost het om te bewijzen dat je √2 niet als een breuk kunt schrijven.

Figuur 1. Enige irrationale getallen

Het getal √2 is irrationaal

Iets meer moeite kost het om te bewijzen dat je √2 niet als een breuk kunt schrijven.
Stel √2 = t/n, waarbij t en n positieve gehele getallen zijn zonder gemeenschappelijke deler groter dan 1. Dan is 2 = (t/n)², dat wil zeggen

2 n² = t².

Het linkerlid is een geheel veelvoud van 2, dus het rechterlid ook. Maar dan kan t niet oneven zijn, want het kwadraat van een oneven getal is oneven (ieder oneven getal kun je immers schrijven als 2 k + 1, en omdat (2 k + 1)² = 4 k² + 4 k + 1 is het kwadraat ervan dus weer oneven). Als t even is, is t van de vorm t = 2 u, en dan is 2 n² = 4 u², dus

n² = 2 u².

Dezelfde redenering, nu toegepast op deze vergelijking, laat zien dat n ook even moet zijn. Maar nu hebben we een tegenspraak bereikt, want als t en n allebei even zijn, hebben ze de gemeenschappelijke deler 2, wat in tegenspraak is met het feit dat we hadden aangenomen dat t en n geen gemeenschappelijke delers groter dan 1 hebben.

Het gulden-snede-getal is irrationaal

Bij het gulden-snedegetal φ vertalen we de meetkundige definitie eerst in algebraïsche termen. In figuur 2 zie je een regelmatige vijfhoek ABCDE met diagonalen AC, AD, BD, BE en CE. Als de zijden van de vijfhoek lengte 1 hebben, hebben de diagonalen dus lengte φ.

Elke diagonaal is evenwijdig met de zijde die er tegenover ligt, en dus is vierhoek BCDR een parallellogram (zelfs een ruit!), zodat ook DR = 1 is. Verder zijn om dezelfde reden de driehoeken EAR en DBC gelijkvormig, zodat RA : EA_= _CB:DB = 1 : φ en dus is RA = φ.

Uit φ = DA = DR + RA = 1 + 1/φ volgt dan dat φ een oplossing is van de vergelijking x = 1 + 1/x, die ook geschreven kan worden als x² – x – 1 = 0. Deze vergelijking heeft een positieve en een negatieve oplossing. De positieve is (1 + √5)/2, en dat moet dus de waarde van φ zijn. Omdat √5 irrationaal is (dat bewijs je net zo als de irrationaliteit van √2, volgt hieruit dat φ irrationaal is.

Figuur 2.Vijfhoek en gulden snede

Een meetkundig bewijs

De irrationaliteit van φ kun je ook meetkundig bewijzen. Natuurlijk ook weer uit het ongerijmde. Neem aan dat de onvereenvoudigbare breuk t/n gelijk is aan φ. Uiteraard is de noemer n dan minimaal: elke andere breuk die φ voorstelt, heeft een grotere noemer.

Uit figuur 2 is duidelijk dat φ < 2, want φ = BD < BC + CD = 2. Verder is φ = RA = DA – DR = φ – 1 = t/n – 1 = (t – n)/n, dus φ = n/(t – n) is ook een schrijfwijze van φ als breuk. Maar uit φ < 2 volgt t < 2n, dus t – n < n, en dus heeft de nieuwe schrijfwijze φ = n/(t – n) een noemer die kleiner is dan n, een tegenspraak!

51 miljard decimalen

Het geven van bewijzen dat π en e irrationaal zijn, is moeilijker. Je hebt daarvoor wiskundige technieken nodig die in het eerste jaar van een universitaire wiskundestudie worden behandeld. Ook het vinden en uitvoeren van algoritmen om de decimale ontwikkeling van zulke irrationale getallen te bepalen, is vaak veel moeilijker dan het vinden van de decimale ontwikkeling van een breuk. Dat laatste gaat gewoon met een staartdeling. Het is een sport geworden om zoveel mogelijk decimalen in de ontwikkeling van π te bepalen: op dit moment zijn er al meer dan 51 miljard decimalen bekend!

Wat men in feite altijd doet bij het bepalen van de decimale ontwikkeling van een irrationaal getal, is het berekenen van een rij breuken die het desbetreffende irrationale getal steeds nauwkeuriger benaderen. Elk van die breuken zet men daarbij om in een decimale ontwikkeling die men na een voldoende aantal stappen afbreekt.

De decimalen van het getal e

Voor het getal e, het grondtal van de natuurlijke logaritme,
geldt de reeksontwikkeling

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + …

Hierbij betekent k! (uitgesproken als ‘ k_-faculteit’) het product 1×2×3x…x _k. Als je die reeks voor het getal e na n termen afbreekt, de som onder één noemer brengt en de breuk zoveel mogelijk vereenvoudigt, krijg je een benadering van e. In figuur 3 staan deze benaderende breuken met hun decimale ontwikkeling voor n = 3, 4, …, 11. Merk op hoe snel de reeks convergeert! Om de 50 correcte decimalen uit figuur 1 te vinden, hoef je niet verder te gaan dan n = 42. Ter vergelijking: een ander bekende benaderingsrecept van e door een rij breuken wordt gegeven door de formule a_n = ((n + 1)/n)ⁿ. Men kan bewijzen dat de limiet voor n naar oneindig van a_n gelijk is aan e, maar bij de duizendste term zijn er nog maar twee decimalen goed: a₁₀₀₀ = (1001/1000)¹⁰⁰⁰ = 2,7169… Dat schiet niet op!

Figuur 3. Benaderende breuken uit de reeksontwikkeling voor het getal e