Drie bronzen medailles voor Nederlands wiskundeteam

De zes scholieren die Nederland vertegenwoordigden op de jaarlijkse ‘wereldkampioenschappen wiskunde’ behaalden als team de 43ste plaats van 105 landen. Na de prima prestaties van de afgelopen vijf jaar zakt Nederland met dit resultaat terug naar de middenmoot. In de top vijf van het klassement valt opnieuw de dominantie van Zuidoost-Azië op.

20 juli 2015

Het olympiade team in Chiang Mai. Van links naar rechts de teamleden Yuhui Cheng, Mike Daas, Rob Zwetsloot, Tim Brouwer, Dirk van Bree. Daarnaast de pas dertienjarige Levi van de Pol, die bij de Benelux Olympiade nog de beste Nederlander was. Bij de laatste selectie viel hij net buiten het Nederlandse team, maar ging wel mee naar Thailand om alvast ervaring op te doen. Helemaal rechts teamlid Eva van Ammers.
NWD

De International Mathematical Olympiad (IMO) wordt elk jaar in een ander land gehouden. In 2011 was hij in Amsterdam, dit jaar in Chiang Mai, in het noorden van Thailand. Meer dan honderd landen selecteren in nationale competities de zes allerbeste scholieren om hun land te vertegenwoordigen.

In twee dagen moeten de scholieren proberen zes zeer lastige wiskundeproblemen op te lossen. Alleen de allerbesten lukt het om de maximale score van 42 punten (6 × 7) te behalen. Sommige IMO-winnaars zijn uitgegroeid tot wereldberoemde wiskundigen, zoals de Amerikaan Terence Tao of de excentrieke Rus Grigori Perelman. De laatste bewees in 2003 het fameuze vermoeden van Poincaré, weigerde vervolgens de prijs van een miljoen dollar en verdween in de anonimiteit.

Brons geen derde plek

De betekenis van ‘goud’, ‘zilver’ en ‘brons’ op de Wiskunde Olympiade is heel anders dan op de Olympische Spelen. Iedereen die een bepaalde puntengrens overschrijdt, wint een medaille, en daaronder ligt nog de categorie ‘eervolle vermelding’. Dit jaar wonnen van de in totaal 577 deelnemers er 39 goud, 100 zilver en 143 brons, waaronder ook Bob Zwetsloot, Evan van Ammers en Yuhui Cheng. Tim Brouwer won een eervolle vermelding.

Wat betreft de teams won dit jaar met de meeste punten de Verenigde Staten, gevolgd door China, Zuid-Korea, Noord-Korea en Vietnam. IMO-teams bestaan natuurlijk uit zeer slimme jongens en meisjes, maar net als voor elke competitie is intensieve training noodzakelijk om mee te kunnen doen voor de prijzen. In Zuidoost-Azië en China wordt van oudsher veel belang gehecht aan goed presteren op de IMO, zodat de selectie en training er op hoog niveau staan. Of heeft het toch ook met erfelijk bepaald talent te maken? In dit verband mag niet onvermeld blijven, dat de helft van het winnende Amerikaanse team ook nog van Aziatische komaf is.

Als team eindigde Nederland op de 43ste plaats. Vergeleken met de voorafgaande jaren, toen Nederland plaats 13, 25, 22 en, 28 en 38 opeiste, is dat niet geweldig. Verstrekkende conclusies over het niveau van het Nederlandse wiskundeonderwijs of de intelligentie van de huidige generatie middelbare scholieren moeten we daar vooral niet uit trekken. De IMO is een podium voor wiskundig toptalent dat niet representatief is voor het niveau in de breedte. Sommige leden van het team zijn volgend jaar ook nog scholier en kunnen meedoen aan de IMO 2016. Ook voor deelname aan de IMO geldt, dat ervaring helpt.

Uitdagend en origineel

Een Nederlands succesje is, dat wedstrijdopgave 1 is bedacht door Merlijn Staps, oud-IMO-deelnemer en nu een van de trainers van het Nederlandse team. Het is namelijk een hele eer als je een opgave voor de IMO mag leveren. Wiskundigen van over de hele wereld sturen problemen in, die van het juiste niveau moeten zijn, maar ook uitdagend en origineel. De selectie van de zes wedstrijdopgaven vond op de IMO zelf plaats, in de week voor de twee wedstrijddagen.

Een schets van de oplossing van opgave 1 door IMO teamleider Quintijn Puite

(a) Voor oneven n kun je de hoekpunten van een regelmatige n-hoek nemen. Kies je immers twee punten, dan liggen er op de ene boog een oneven aantal punten en op de andere boog een even aantal punten. Het middelste van de oneven punten op deze eerste boog ligt precies even ver van de twee gekozen punten. Dus hiermee is het duidelijk dat de verzameling ‘evenwichtig’ is.

Nu voor even n. Voor n=4 kun je twee regelmatige driehoekjes bekijken, tegen elkaar aangeplakt via een zijde. Die verzameling is overduidelijk evenwichtig. We noemen de twee driehoekjes ABC en CBD. Bekijk nu de cirkel met middelpunt B en straal |BC|. Deze gaat door A, C en D. We kunnen nu steeds nieuwe punten X en Y op de cirkel toevoegen waarvoor we zorgen dat BXY een gelijkzijdige driehoek vormt. Op die manier krijg je een evenwichtige verzameling met 6, 8, 10, … punten, dus voor elke even n.

(b) Het voorbeeld van de regelmatige n-hoek voor oneven n is ook ‘excentriek’. Het voorbeeld voor even n niet. We gaan nu bewijzen dat het voor even n nooit werkt en het antwoord op deze vraag dus luidt: voor oneven n.

Stel dat n even is en stel desondanks dat we een evenwichtige, excentrieke verzameling hebben. We gaan een tegenspraak afleiden. Bij twee punten A en B hoort een punt C op hun middelloodlijn. Bij punten A en B’ (met B’ anders dan B) moet wel een punt C’ ongelijk aan C horen wegens excentriciteit. Zo krijgen we, bij vaste A, een afbeelding die aan elk punt B steeds een nieuw punt C koppelt. Nu is dit een afbeelding van alle punten ongelijk aan A naar diezelfde verzameling, dus hebben we te maken met een bijectie. Bij vaste A hoort er bij elke C dus precies één B. Op deze manier kunnen we alle punten ongelijk aan C in paren opdelen. Maar dit is onmogelijk voor even n (want dan zijn er een oneven aantal punten ongelijk aan C).

Facebook-pagina van het Nederlandse Olympiade team

Officiële site van de IMO, met alle opgaven en oplossingen