De rekvrije torus en andere inbeddingen

Nash en Nirenberg werkten veel samen aan ‘baanbrekende bijdragen aan de theorie van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen en toepassingen daarvan op de geometrische analyse’. Partiële differentiaalvergelijkingen (pdv) zijn alomtegenwoordig in de natuurkunde. Vrijwel altijd als je iets wilt berekenen dat in de tijd verandert, zul je een differentiaalvergelijking op moeten lossen. Het voorbeeld dat velen nog wel kennen uit de school-natuurkunde is de beweging van een slinger: k*u + d²u/dt² = 0 waarbij u de uitwijking van de slinger uit zijn evenwichtstoestand is, en d²u/dt² de tweede afgeleide (2^e orde differentiaal) naar de tijd van de uitwijking. Door deze differentiaalvergelijking op te lossen, vind je de positie van de slinger op elk tijdstip.

Gekromde ruimtes

Nash en Nirenberg gebruikten pdv’s ook voor iets heel anders, namelijk om de eigenschappen van abstracte objecten in gekromde ruimtes te ontdekken. De oude Grieken bestudeerden al de eigenschappen van voorwerpen (driehoeken, cirkels, bollen, kegels) in de ons bekende twee- of driedimensionale ruimte. Maar in de negentiende eeuw breidden Gauss en Riemann dat onderzoek uit naar abstracte voorwerpen in gekromde ruimtes. Zo is de som van de hoeken van een driehoek op een (tweedimensionaal) boloppervlak groter dan 180 graden. Hoe zit dat met de som van de hoeken van een piramide in een gekromde driedimensionale ruimte?

De bijdragen van Nash en Nirenberg bevinden zich vooral op het terrein van de zuivere wiskunde. Zulke objecten en ruimtes worden eerst en vooral bestudeerd omdat ze van zichzelf interessant zijn, en interessante connecties hebben met andere takken van wiskunde. Niettemin noemde het Abelcomité als praktische toepassing van hun werk, dat het leidt tot een beter begrip van de stroming van vloeistoffen, zoals water rond brugpijlers of de romp van een schip. Gekromde ruimtes (van vier dimensies) spelen bijvoorbeeld ook een rol in Einsteins Algemene Relativiteitstheorie die zwaartekracht interpreteert als een door een massa plaatselijk gekromde ruimte.

Een belangrijk resultaat van Nash, dat hij samen met de Nederlander Nico Kuiper (overleden in 1994) ontdekte, is het Nash-Kuiper inbeddingstheorema. Dit zegt dat elke abstracte structuur (‘voorwerp’) in een positief gekromde ruimte, isometrisch ingebed kan worden in onze gewone ruimte. ‘Isometrisch’ betekent: zonder vervorming, zonder dat de afstand tussen twee willekeurige punten in het voorwerp verandert.

Een voorbeeld van wat dit betekent zie je in de afbeeldingen hieronder: