Je leest:

De rekvrije torus en andere inbeddingen

De rekvrije torus en andere inbeddingen

Abelprijs 2015 voor John Nash en Louis Nirenberg

Auteur: | 25 maart 2015

De ‘Nobelprijs’ voor wiskunde 2015 gaat naar twee wiskundigen die onder andere bewezen dat allerlei abstracte objecten die in gekromde ruimtes voorkomen, werkelijk afgebeeld kunnen worden als 3D-plaatjes.

Vue8
Hevea Project

Het komt bijna nooit voor dat een wiskundige die een prestigieuze wiskundeprijs wint, daarvóór al wereldberoemd was. Maar dat geldt wel voor John Nash. Over zijn veelbewogen leven verscheen in 2001 de Holllywoodfilm A Beautiful Mind. Nash ontving in 1994 de Nobelprijs voor economie, voor zijn ontdekking van het Nash-evenwicht in de speltheorie. Rond zijn dertigste kreeg hij steeds meer last van psychoses, en de daaropvolgende dertig jaar werd hij met tussenpozen gedwongen opgenomen in een psychiatrische kliniek, hoewel hij tussendoor soms nog tot wiskundig werk van hoog niveau in staat bleek.

Samen met Louis Nirenberg krijgt Nash nu de Abelprijs (de onofficiële ‘Nobelprijs’ voor wiskunde) voor baanbrekend werk op een heel ander terrein dan de speltheorie. Daarmee is Nash de enige persoon op de wereld die zowel een Nobel- als Abelprijs won.

Medium
De Abelprijswinnaars 2015. Links John Nash, rechts Louis Nirenberg.

Nash en Nirenberg werkten veel samen aan ‘baanbrekende bijdragen aan de theorie van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen en toepassingen daarvan op de geometrische analyse’. Partiële differentiaalvergelijkingen (pdv) zijn alomtegenwoordig in de natuurkunde. Vrijwel altijd als je iets wilt berekenen dat in de tijd verandert, zul je een differentiaalvergelijking op moeten lossen. Het voorbeeld dat velen nog wel kennen uit de school-natuurkunde is de beweging van een slinger: k*u + d2u/dt2 = 0 waarbij u de uitwijking van de slinger uit zijn evenwichtstoestand is, en d2u/dt2 de tweede afgeleide (2e orde differentiaal) naar de tijd van de uitwijking. Door deze differentiaalvergelijking op te lossen, vind je de positie van de slinger op elk tijdstip.

Gekromde ruimtes

Nash en Nirenberg gebruikten pdv’s ook voor iets heel anders, namelijk om de eigenschappen van abstracte objecten in gekromde ruimtes te ontdekken. De oude Grieken bestudeerden al de eigenschappen van voorwerpen (driehoeken, cirkels, bollen, kegels) in de ons bekende twee- of driedimensionale ruimte. Maar in de negentiende eeuw breidden Gauss en Riemann dat onderzoek uit naar abstracte voorwerpen in gekromde ruimtes. Zo is de som van de hoeken van een driehoek op een (tweedimensionaal) boloppervlak groter dan 180 graden. Hoe zit dat met de som van de hoeken van een piramide in een gekromde driedimensionale ruimte?

De bijdragen van Nash en Nirenberg bevinden zich vooral op het terrein van de zuivere wiskunde. Zulke objecten en ruimtes worden eerst en vooral bestudeerd omdat ze van zichzelf interessant zijn, en interessante connecties hebben met andere takken van wiskunde. Niettemin noemde het Abelcomité als praktische toepassing van hun werk, dat het leidt tot een beter begrip van de stroming van vloeistoffen, zoals water rond brugpijlers of de romp van een schip. Gekromde ruimtes (van vier dimensies) spelen bijvoorbeeld ook een rol in Einsteins Algemene Relativiteitstheorie die zwaartekracht interpreteert als een door een massa plaatselijk gekromde ruimte.

Een belangrijk resultaat van Nash, dat hij samen met de Nederlander Nico Kuiper (overleden in 1994) ontdekte, is het Nash-Kuiper inbeddingstheorema. Dit zegt dat elke abstracte structuur (‘voorwerp’) in een positief gekromde ruimte, isometrisch ingebed kan worden in onze gewone ruimte. ‘Isometrisch’ betekent: zonder vervorming, zonder dat de afstand tussen twee willekeurige punten in het voorwerp verandert.

Een voorbeeld van wat dit betekent zie je in de afbeeldingen hieronder:

Medium
Voorbeeld van een abstracte structuur in een positief gekromde ruimte: een platte torus. Dit is te visualiseren als een vierkant zonder randen: als je over de rand schuift, kom je aan de tegenoverliggende zijde weer tevoorschijn.
Medium
Een platte torus kun je in drie dimensies afbeelden als een gewone torus, maar dat kan niet ‘isometrisch’, met behoud van de onderlinge afstanden tussen alle punten in de platte torus. In dit geval kun je de verticale afstand tussen twee punten wel gelijk houden, maar de horizontale afstand tussen twee punten moet je oprekken om de uiteinden van de buis op elkaar aan te sluiten.
Torus1
Het Nash-Kuiper theorema zegt dat zo’n isometrische inbedding moet bestaan, maar geeft geen recept om die in concrete gevallen te vinden. Pas in 2012 ontdekten Franse wiskundigen een manier om een platte torus in een rekvrije torus in drie dimensies om te zetten. In deze en de volgende plaatjes wordt deze transformatie in vier stappen uitgebeeld.
Hevea Project
Torus2
Het idee is, dat je ribbels aanbrengt die de omtrek van de buis vergroten, zodat die gelijk wordt aan de omtrek van de hele torus.
Hevea Project
Torus3
Al is het idee intuïtief goed te begrijpen, er is geavanceerde wiskunde en veel computerkracht nodig om de precieze vorm te berekenen, en om te bewijzen dat echt voor elke twee punten op het oppervlak geldt, dat hun onderlinge afstand door de transformatie niet verandert.
Hevea Project
Torus4
In feite bestaat de volledige transformatie van een platte torus tot een driedimensionale torus uit oneindig veel stappen, wat een oneindig gedetailleerd object met een fractal-structuur oplevert.
Hevea Project

Mysterieuze verbanden

Nash (1928) en Nirenberg (1925) zijn beiden hoogbejaard, dus het is maar te hopen dat ze in mei nog in staat zijn om hun prijs in Oslo in ontvangst te nemen. Nash kreeg naarmate hij ouder werd geleidelijk aan minder last van zijn psychotische wanen en leidt nu een min of meer normaal leven. Maar volgens eigen zeggen is met het verdwijnen van zijn ziekte ook zijn vermogen om nieuwe wiskunde te ontdekken verdwenen.

Nirenberg klonk nog helder van geest en energiek tijdens een telefoongesprek vanuit Canada met de presentator van de Abel-ceremonie. Blijkbaar volgt hij de laatste ontwikkelingen nog. “De laatste tijd ontdekken we steeds meer mysterieuze verbanden tussen heel verschillende takken van de wiskunde. Dat is wat wiskunde zo fascinerend maakt, hoewel je het grootste deel van de tijd vast zit, en niet weet hoe je verder moet komen.”

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 25 maart 2015

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.