Je leest:

Zonder Einstein zouden we verdwalen

Zonder Einstein zouden we verdwalen

GPS (het Global Positioning System) vertelt ons waar we op of boven de aarde zijn, helpt zeilers en trekkers te bepalen waar ze zich bevinden en wordt gebruikt in navigatiecomputers in moderne auto’s. Maar wie weet dat GPS voor zijn werking gebruik moet maken van de speciale en de algemene relativiteitstheorie?

271930 962 1229676629830 1
Een beeld van de satellieten die het GPS systeem verzorgen. In totaal bewegen 24 satellieten in 6 verschillende grote cirkels met het centrum van de aarde als middelpunt. In elk vlak van zo’n grote cirkel bevinden zich 4 satellieten op ruim 20.000 km hoogte.
Peter H. Dana, The GPS Overview, Geographer’s Craft Project, University of Colorado at Boulder

Het GPS omvat o.a. een systeem van 24 satellieten. Die draaien op een hoogte van ruim 20.000 km in zes verschillende banen met een periode van 12 uur rond de aarde. Deze satellieten, die stuk voor stuk zijn uitgerust met een precisie cesium atoomklok, zenden voortdurend signalen uit met informatie over hun positie en tijdstip van uitzenden.

In een GPS-ontvanger op aarde of in een vliegtuig worden signalen geanalyseerd van tenminste vier satellieten. Een microprocessor legt voor elk signaal de locatie van de zender (lengte, breedte en hoogte) op een bepaald tijdstip vast.

Ook het tijdstip van ontvangst wordt nauwkeurig gemeten zodat de tijdsduur dat het signaal onderweg is kan worden bepaald en dus de afstand die het signaal met de lichtsnelheid heeft afgelegd. De ontvanger ‘weet’ nu afstanden tot de vier satellieten, en kan daaruit bepalen waar hijzelf is.

Uit deze afstanden worden namelijk drie denkbeeldige bollen geconstrueerd, waarvan het middelpunt van iedere “bol” samenvalt met de positie tijdens uitzending van een satelliet. De ontvanger bevindt zich dan op het punt waar deze drie “bollen” elkaar snijden. Het signaal afkomstig van de vierde satelliet wordt gebruikt om het tijdstip van ontvangst beter vast te leggen.

271932 962 1229676629802 2
Het Global Positioning System (GPS): het systeem om de positie op of boven de aardbol te bepalen. De meting van de aankomsttijd van de signalen van (ten minste) 4 satellieten wordt gebruikt om 4 grootheden te bepalen: de plaats in drie dimensies (X,Y,Z) en de tijd T.
Peter H. Dana, The GPS Overview, Geographer’s Craft Project, University of Colorado at Boulder

De signalen die door de atoomklokken op aarde en in de satellieten worden uitgewisseld zijn onderhevig aan effecten beschreven met de speciale en de algemene relativiteitstheorie. Verwaarlozing hiervan zou het GPS onbruikbaar maken. In het volgende zal hierop worden ingegaan.

Cesium klok

Reeds meer dan 35 jaar wordt de eenheid van tijd, de seconde, in het SI-stelsel, gestandariseerd met behulp van de cesium atoomklok. Het atoom Cs133 heeft een laagste energietoestand die in twee subtoestanden wordt opgesplitst door magnetische interactie tussen electron en de kern, de z.g.n. hyperfijnstructuur. De straling die wordt uitgezonden bij een overgang tussen deze twee toestanden heeft een frequentie in het microgolf gebied.

Wanneer de frequentie van een wisselend electromagnetisch veld precies overeenkomt met de interne frequentie van de aanwezige hyperfijnstructuur van het Cs133 treedt resonantie en absorptie op van het aanwezige wisselveld waarvan de frequentie heel nauwkeurig kan worden bepaald. De seconde is gedefinieerd als 9192631770 perioden van deze microgolfstraling, de klok tikt met de frequentie van deze straling.

271934 962 1229676629741 3
De GPS-ontvanger kan de afstand tot drie satellieten berekenen met de verzend- en aankomsttijden van signalen. De drie afstanden vormen bolschillen waarop de ontvanger zich bevindt. Omdat de ontvanger zich op alle drie de bolschillen bevindt, zijn de snijpunten de mogelijke locaties. In de figuur is de zwarte ring de cirkel, waar bol 1 en bol 2 elkaar snijden. De snijpunten van deze cirkel met bol 3 worden weergegeven met de twee dikke zwarte punten. Een vierde satelliet laat maar één punt over, maar meestal is één van de punten al uit te sluiten. Zo’n punt ligt dan bijvoorbeeld in de aarde of ver er boven.
Peter H. Dana, The GPS Overview, Geographer’s Craft Project, University of Colorado at Boulder

Een nauwkeurige en gevoelige tijdmeting is een eerste vereiste voor een goed werkende GPS, immers in 1 microseconde heeft het licht reeds een afstand van 300 m afgelegd. Slechte tijdmetingen zorgen dus voor een onnauwkeurige afstand tot de satellieten en dat brengt de positiebepaling in de war.

Gekromde ruimtetijd

In het zwaartekrachtsveld van de aarde is de ruimtetijd gekromd – hoe sterker de zwaartekracht des te meer gekromd is de ruimte.

Volgens de algemene relativiteitstheorie van Einstein neemt in de gekromde ruimtetijd de frequentie van de straling van het cesium atoom in de atoomklok toe wanneer die van de aarde af wordt opgetild.

Dit betekent dat in het algemeen de klok sneller gaat lopen bij het optillen in het gravitatieveld van de aarde. Het is dus de standaard voor de frequentie die van plaats tot plaats verschilt.

Bovendien leert Einstein ons dat de standaard voor de frequentie wordt beïnvloed door de snelheid van de klok. Losjes samengevat zegt de speciale relativiteitstheorie immers: bewegende klokken lopen langzamer. In een omloopbaan is de snelheid hoog genoeg om een merkbaar effect op de satellietklok te hebben.

Een en ander wordt uitgedrukt door de volgende relatie waarbij alleen de termen van belang voor het functioneren van het GPS zijn meegenomen:

271940 962 1229676629593 5
NEMO Kennislink

waarin de klokken in de satelliet ( tsat), en op aarde ( taarde) elk op zich worden vergeleken met een denkbeeldige verweg-klok ( tverweg), ver weg van het gravitatieveld van de aarde in een vlakke ruimtetijd.

In deze vergelijking staat tsat, taarde, en tverweg voor de voortgang van de tijd op de klokken in de satelliet, op aarde en verweg; G is de gravitatie constante uit de attractie wet van Newton, c de lichtsnelheid (299.792 km/sec), M de massa van de aarde ( G Maarde/c2 = 0,444 cm), rsat de straal van de cirkelbaan van de vrij zwevende satelliet (26.600 km) en raarde de straal van een bol waarvan het volume overeenkomt met het volume van de aarde (6371 km); vsat de snelheid van de satelliet in de cirkelbaan, vaarde is de snelheid van een klok die zich op de evenaar bevindt. De aarde roteert in een dag om zijn as (in 86400 seconden). Om de satelliet in een vaste baan te houden is er een verband tussen zijn snelheid en de baanhoogte (kinetische en potentiële energie):

271938 962 1229676629625 4
NEMO Kennislink

In deze formule is Tomlooptijd de omlooptijd van de satelliet in seconden (ongeveer 12 uur.)

De klok in de satelliet loopt met 50 microsec. per dag sneller dan die op aarde t.g.v. het verschil in hoogte boven het aardoppervlak en 11 microsec. per dag langzamer t.g.v. het verschil in snelheid zodat de klok in de satelliet netto ongeveer 39 microseconden per dag sneller loopt. U ziet dus dat het van belang is zowel de hoogte als de snelheid van de satelliet in aanmerking te nemen om een GPS nauwkeurig te laten werken.

Let ook even op de volgende grappige meevaller: Hierboven is verondersteld dat de snelheid van de klok op aarde overeenkomt met de rotatiesnelheid van de evenaar. Men zou dan een snelheidsafhankelijke correctie verwachten voor de verschillende noordelijke en zuidelijke breedten t.o.v. de evenaar, een correctie die nul bedraagt op de noord- en de zuidpool van de aarde. In de praktijk is er echter geen breedtegraad correctie omdat de aarde niet een zuivere bol is. De straal van de aarde bij de evenaar is groter dan die bij de polen. De kleinere straal bij de polen zorgt voor een toename in de M/raarde term die de afname in de snelheidsterm (vaarde/c)2 compenseert!

We hebben hier een praktisch voorbeeld beschreven van het belang van de speciale en de algemene relativiteitstheorie. Als het GPS systeem geen rekening zou houden met de relativistische effecten, zou het er behoorlijk naast zitten. Doordat de microprocessor in een GPS-ontvanger rekening houdt met de ‘snelle’ klok in de satelliet, werkt het systeem gewoon. Wel zo gemakkelijk als je in een vreemde stad op de boordnavigatie van je auto vertrouwt, of als je vliegtuig in de mist moet landen.

Referentie

E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Project A: Global Positioning System, in: Exploring Black Holes, Introduction to General Relativity, Addison Wesley Longman (2000).

De auteur, prof. dr. R. de Bruyn Ouboter, is emeritus-hoogleraar in de Experimentele Natuurkunde in Leiden.

Dit artikel is een publicatie van Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION).
© Leids Instituut voor Onderzoek in de Natuurkunde (LION), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 11 december 2003

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE