Je leest:

Wiskundige modellen voor filevorming

Wiskundige modellen voor filevorming

Auteur: | 15 februari 2007

Dennis Roubos won met zijn scriptie ‘Wiskundige modellen voor filevorming’ de BWI-scriptieprijs van de Vrije Universiteit. Het eenvoudige ‘cellulaire automaten’ model dat onder meer wordt gebruikt bij de modellering van filevorming, breidde Dennis Roubos uit tot een model dat het gedrag van voertuigen realistischer beschrijft. Hij schreef een simulatie-applet dat inzicht geeft in het onstaan en het oplossen van files.

Dagelijks hebben we te maken met files op de wegen van Nederland. Om een antwoord te geven op de vraag hoe deze files te voorkomen zijn, zal er eerst gekeken moeten worden welke factoren er voor zorgen dat files ontstaan. Dennis Roubos maakte diverse wiskundige modellen waarmee het verkeer gemodelleerd kan worden. Daarmee kan dan onderzocht worden welke factoren een rol spelen bij het ontstaan van files. De wiskundige modellen zijn later gebruikt om een simulatieprogramma te programmeren, waarmee visueel het verloop van het verkeer te aanschouwen valt. Op basis van de gemaakte simulatie-applet vallen een aantal zaken op die van invloed zijn op filevorming en op de doorstroming van het verkeer.

Factoren voor het onstaan van files

Files ontstaan als gevolg van verkeersdrukte. Maar als iedereen zich netjes aan de maximum snelheid houdt en geen rare fratsen uithaalt, kan het verkeer ook mét drukte soepel doorstromen. Drukte alléén is meestal niet voldoende om een file te veroorzaken. De kans waarmee voertuigen remmen heeft veel invloed op het ontstaan van files. Rijden voertuigen dicht op elkaar, dan is de remkans groot en zal er eerder een file ontstaan. Wordt de afstand tussen voertuigen groter, dan neemt de remkans af. Een andere factor voor het ontstaan van files is asociaal rijgedrag. Onder asociaal rijgedrag verstaan we baanverplaatsingen zonder rekening te houden met achterliggend verkeer. Tot slot blijkt de maximum snelheid een rol te spelen. Hoe hoger de maximum snelheid, des te eerder files optreden.

Factoren voor het oplossen van files

De maximum snelheid en de remkans zijn twee belangrijke factoren bij het oplossen van files. Hoe hoger de maximum snelheid is, hoe langzamer een file zich oplost. En wat betreft de remkans: zodra deze kans groot is, treden er stroomafwaarts weer nieuwe kleine files op. Deze nieuwe optredende files worden stop and go waves genoemd. Vaak is het zo dat als je eenmaal een file uit denkt te zijn, je een korte tijd later opnieuw in een file belandt.

Factoren voor de doorstroming

Het spreekt voor zich dat de remkans een belangrijke factor is bij de doorstroming van het verkeer: bij een grotere remkans hoort een lagere doorstroming van het verkeer. Maar er zijn meer factoren van belang bij de doorstroming, zoals het rijgedrag: baanverplaatsingen zonder rekening te houden met het achterliggende verkeer (asociaal rijgedrag) leiden tot een vermindere doorstroming van het verkeer. Daarentegen blijkt uit de simulatie dat bij sociaal rijgedrag (daar waar rekening gehouden wordt met het achterliggende verkeer bij baanverplaatsingen) nauwelijks sprake is van invloed op de doorstroming van het verkeer. Dit betekent dat het aanleggen van extra rijbanen er juist voor kan zorgen dat er een hogere totale doorstroming van het verkeer gerealiseerd kan worden. Tot slot speelt de variatie in de snelheid een rol bij de doorstroming. Als iedereen nagenoeg dezelfde snelheid rijdt, dan is dit gunstig voor de doorstroming van het verkeer.

Het eenvoudige CA model

In het eenvoudige CA (cellulaire automaten) model wordt een éénbaansweg opgedeeld in cellen, waarbij iedere cel slechts één voertuig kan bevatten. Het model houdt de plaats en snelheid bij van ieder voertuig en aan de hand van een aantal stappen wordt de nieuwe snelheid van een voertuig bepaald. Ieder voertuig zal zich daarna een aantal cellen verplaatsen. De verplaatsing is gelijk aan de nieuwe snelheid van een voertuig. Een uitgebreidere beschrijving is in het volgende artikel te lezen:

Wiskundig noteren we het model als volgt: va(t) = snelheid in cellen van voertuig a op tijdstip t da(t) = afstand tot de voorganger, voertuig a-1, op tijdstip t xa(t) = plaats van voertuig a op tijdstip t

Met de afstand tot de voorganger wordt het aantal lege cellen tot de voorganger bedoeld. Het model lijkt misschien ingewikkeld, maar dat is het niet, zo blijkt uit het volgende voorbeeld.

Een schematische afbeelding van een situatie waarin twee voertuigen, a en a-1, achter elkaar rijden. De afstand van het achterste voertuig (a) tot zijn voorganger (a-1) bedraagt 2 cellen, dus da = 2.

Een voertuig verplaatst zich natuurlijk. De snelheid en de plaats van een voertuig op een volgend tijdstip, aangeduid met t+1, hangt af van de snelheid en de plaats op het huidige tijdstip, aangeduid met t. In het CA model gaan we ervan uit dat een weggebruiker zijn snelheid wil verhogen, zolang de maximum snelheid nog niet is bereikt. Aan de andere kant zal een bestuurder moeten afremmen zodra de afstand tot de voorganger te klein dreigt te worden. In het CA model wordt de nieuwe snelheid als volgt berekend:

1. Als een voertuig nog niet de maximum snelheid heeft bereikt, tel dan 1 op bij zijn snelheid. 2. Zijn snelheid kan niet meer bedragen dan het aantal lege cellen tot de voorganger, dus als het aantal lege cellen tot de voorganger kleiner is dan de snelheid verkregen onder punt 1, verlaag dan de snelheid van het voertuig tot het aantal lege cellen tot de voorganger. 3. Een voertuig remt met een bepaalde kans af die constant verondersteld wordt. Wanneer het voertuig remt, trek dan 1 af van zijn snelheid die verkregen is door de voorgaande stappen uit te voeren.

Nadat de nieuwe snelheid van ieder voertuig bepaald is volgens de bovenstaande stappen, wordt het voertuig verplaatst. Het aantal cellen dat het voertuig verplaatst, is gelijk aan zijn nieuwe snelheid. Mocht de snelheid die uit de bovenstaande regels volgt, negatief worden, zet dan de nieuwe snelheid gelijk aan 0.

Op een weg waar de maximum snelheid gelijk is aan 5, rijden twee voertuigen, zie het bovenste plaatje. Het achterste voertuig, a, heeft een snelheid die gelijk is aan 4, het voorste voertuig heeft een snelheid die gelijk is aan 3. Passen we nu voor het achterste voertuig de regels toe, dan krijgen we:

(1). Het voertuig rijdt nog niet met maximale snelheid, dus zijn nieuwe snelheid wordt gelijk aan 5. (2). Het aantal lege cellen tot de voorganger bedraagt slechts 2 cellen, dus wordt zijn nieuwe snelheid gelijk aan 2. (3). Het voertuig ‘besluit’ om niet te remmen, dus zijn snelheid blijft gelijk aan 2.

De nieuwe positie van voertuig a zie je in het onderste plaatje.

Het uitgebreide CA model

In het gewone CA model remt een voertuig af met een bepaalde kans, die constant verondersteld wordt. In het uitgebreide model veronderstellen we dat de remkans afhankelijk is van de afstand tot de voorganger. In de realiteit zul je immers eerder geneigd zijn te remmen als je dicht op je voorganger rijdt. Bovendien zullen bestuurders niet alleen rekening houden met hun directe voorganger, maar ook nog met de tweede voorganger. Het model is nu als volgt.

Een bestuurder zal zijn snelheid aanpassen aan de afstand tot de voorganger. Is deze afstand klein, dan zal hij zijn snelheid willen verlagen. Als een bestuurder ziet dat zijn voorganger óók dicht op zíjn voorganger rijdt, dan besluit hij wellicht om nog iets meer af te remmen. Is de afstand tot de voorganger juist groot en is de afstand van de voorganger tot zijn voorganger eveneens groot, dan is het goed mogelijk dat de bestuurder versnelt. Stap 3 uit het eenvoudige CA model blijft gehandhaafd. In het model spelen diverse parameters een rol, waarmee het gedrag van bestuurders ingesteld kan worden.

In dit voorbeeld heeft voertuig a snelheid 4, de snelheid van voertuig a-1 is 2. De maximum snelheid is gelijk aan 7. In het eenvoudige CA model zou voertuig a een nieuwe snelheid hebben die gelijk is aan 3 en voertuig a-1 krijgt een snelheid gelijk aan 1. In het uitgebreide model kan het zo zijn dat voertuig a een nieuwe snelheid krijgt die gelijk is aan 2 vanwege de afstand die voertuig a-1 tot voertuig a-2 heeft. Voertuig a past zijn snelheid dus iets meer aan dan voorheen. Om het voorbeeld duidelijk te houden is ervan uitgegaan dat geen enkel voertuig zijn snelheid verlaagt volgens stap 3.

Simulatie

De werking van de wiskundige verkeersmodellen kan grafisch worden weergegeven in een zogenaamd x,t-diagram. Dit diagram zet de plaats van een voertuig uit als functie van de tijd. Simulatie is een mooie techniek om te beoordelen wat de gevolgen zijn van nieuwe verkeersmaatregels voor het verkeer. Een java-applet op basis van het CA model, het uitgebreide CA model (eigen model) en nog een ander model is te vinden in de eerste van onderstaande links.

Dennis Roubos studeerde Bedrijfswiskunde en Informatica (BWI) aan de Vrije Universiteit. Met zijn scriptie over wiskundige modellen voor filevorming won hij de BWI-scriptieprijs, die jaarlijks wordt uitgereikt. Op 25 januari 2007 nam hij zijn prijs in ontvangst. Inmiddels is Dennis AiO aan de afdeling Wiskunde van de VU.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 15 februari 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.