Wiskundig probleem Hilbert-16 opgelost?

Parijs, het jaar 1900, het tweede Internationale Congres voor wiskundigen. Aan het woord is de Duitser David Hilbert, en hij daagt zijn collega’s uit. Een lijst van 23 problemen is ‘hun’ opdracht, of eigenlijk de opdracht van de wiskunde in zijn geheel, voor de twintigste eeuw.

Hilbert’s 23 problemen bestrijken allerlei gebieden van de wiskunde, en zijn nog niet allemaal opgelost. Nummer zestien is bijvoorbeeld een taaie. De 22-jarige studente Elin Oxenhielm van de Universiteit van Stockholm heeft er haar tanden in gezet en haar oplossing van een deelprobleem opgestuurd naar het vakblad Nonlinear Analysis. Zelf zegt ze dat haar methode werkt en uitgebreid kan worden om het hele probleem mee op te lossen. Andere wiskundigen zijn daar beduidend kritischer over.

Hilbert’s Zestiende

De problemen die Hilbert zijn vakgenoten voorlegde gingen over verschillende onderwerpen. Het was dan ook zijn bedoeling om de hele wiskunde van de komende eeuw vooruit te helpen, niet één deelgebied.

Het tweede deel van zijn zestiende probleem gaat over differentiaal-vergelijkingen. Dat zijn vergelijkingen waarin functies en een of meer van hun afgeleiden als onbekenden voorkomen. In het speciale geval van dit probleem gaat het om de twee functies x en y, die allebei afhangen van een variabele t (de tijd) (zie kader: Formules).

De vraag die Hilbert stelde was, hoeveel limietcykels een set differentiaalvergelijkingen had en waar die lagen.Een limietcykel is een periodieke oplossing: een oplossing die in het xy-vlak een gesloten lus vormt. Hilbert wilde met die vraag een overzicht krijgen van de oplossingen van simpele differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen worden in alle bèta-wetenschappen gebruikt, maar ook in de economie en de sociale wetenschappen. Wetenschappers beschrijven er uiteenlopende zaken mee, zoals chemische reacties, reproductie van insectenpopulaties, deeltjes in de kwantummechanica en nog veel meer. Een beschrijving van de mogelijke oplossingen zou dus niet alleen voor wiskundigen interessant zijn!

Formules

Hilbert’s zestiende probleem gaat over een tweetal relatief eenvoudige differentiaalvergelijkingen. In dit geval de functies x en y in de volgende formule:

dx/dt = F(x,y) dy/dt = G(x,y)

Voor de functies F en G worden willekeurige polynomen in x en y genomen. Dat zijn optelsommen van 1, x, y, x², xy, y², etc. Bijvoorbeeld F(x,y) = 3x³ + 5x² + y⁴ of G(x,y) = x² 3xy 12y². Een oplossing van deze differentiaalvergelijkingen bestaat uit functies x(t) en y(t) die aan de vergelijking hierboven voldoen.

Dit stelsel van vergelijkingen kan in sommige gevallen exact worden opgelost, maar het is ook nuttig om de algemene vorm van alle oplossingen te bekijken. Dan komt het begrip limietcykel om de hoek kijken: dat is een oplossing die in het xy-vlak een gesloten lus vormt. Door de vorm en ligging van de limietcykels in kaart te brengen, krijg je een overzicht van het gedrag van een set differentiaalvergelijkingen. Van elk startpunt kun je dan voorspellen hoe de functies zich zullen ontwikkelen.

Elin Oxenhielm probeerde het zestiende probleem – of eigenlijk een speciaal geval van het tweede deel daarvan – aan te pakken door eerst naar een versimpelde versie te kijken.

“Oxenhielm probeert deze periodieke oplossingen (limietcykels, red.) te benaderen en daarmee hun aantal af te schatten,” zegt dr. Ale Jan Homburg, als specialist in niet-lineaire analyse en dynamische systemen werkzaam aan de Universiteit van Amsterdam. Oxenhielm rekende aan de Liénard-vergelijkingen, die maar een onderdeel vormen van de polynomen uit het volledige Hilbert probleem. Ze voerde verder benaderingen uit, zoals limietcykels beschrijven met ellipsen. “De uitbreiding naar betere benaderingen wordt echter niet uitgewerkt,” zegt Homburg. “Aan het algemene Hilbert probleem komt ze niet toe.”

Voor een wiskundige is dat een doodzonde. Eerst een probleem in een benaderend geval oplossen is een veel gebruikte aanpak tijdens het onderzoek, maar dan moet je niet zomaar claimen dat daarmee ook het echte probleem is opgelost!

Oxenhielm’s paper is al wel geaccepteerd door het internationale tijdschrift Nonlinear Analysis. Voordat zo’n tijdschrift een artikel publiceert, vraagt het experts op een vakgebied er eens kritisch naar te kijken. In principe moeten zo grotere of kleinere fouten, en zeker blunders, in gepubliceerde artikelen voorkomen worden.

In de ogen van prof. Grigori Rozenblum van de Chalmers universiteit in Gothenburg, Zweden is die controle in dit geval niet gelukt. Hij is een harde criticus van Oxenhielm’s paper: op een internetsite reageert hij fel op mensen die haar werk verdedigen. “Het enige nieuwe aan Elin’s paper zijn haar overduidelijke fouten. (…) Het zijn algemene en bekende methoden uit een leerboek.” Rozenblum zegt, dat hij met zijn kritiek een misverstand onder het algemeen publiek wil tegengaan, namelijk dat Hilbert’s zestiende probleem nu zou zijn opgelost. Hij citeert ook een collega die (begrijpelijk) anoniem wil blijven: “De auteur heeft geen idee wat een wiskundig bewijs is.” Wat voor werk wordt dan wél serieus genomen?

Eerder werk aan Hilbert’s zestiende probleem

De Fransman Écalle en de Rus Ilyashenko bewezen in de jaren negentig onafhankelijk van elkaar dat voor vaste polynomen F en G het aantal limietcykels eindig is. Het aantal cykels dat bij elke set functies F en G hoort, wisten ze níet vast te leggen, maar het waren er dus nooit oneindig veel. Ook eenvoudiger versies van het zestiende probleem worden bekeken, zoals in het 121-programma. Daarin worden differentiaalvergelijkingen met kwadratische polynomen bestudeerd (naar een lijst van 121 verschillende manieren waarop zogenaamde polycykels kunnen voorkomen). Door op dit soort deelproblemen te studeren, hopen wiskundigen inzicht te krijgen in het grote probleem zelf.

Of Oxenhielm’s berekeningen stand houden, of dat ze worden bijgeschreven in de lijst van onvolledige aanvallen op Hilbert’s zestiende probleem, is officieel nog niet beantwoord. Gaat de redactie van Nonlinear Analysis wellicht in het openbaar reageren op het tumult rond het accepteren van dit artikel? Wel heeft inmiddels haar begeleidster Yishao Zhou zich openlijk van de inhoud van het artikel gedistancieerd. Elin zelf citeert op haar website e-mails van haar begeleidster. Die geven volgens haar aan, dat Zhou nu haar eigen reputatie probeert te redden ten koste van die van Elin. Hoe het ook zij: Elin heeft nu naamsbekendheid…positief of negatief, dat moet nog blijken.

Voorlopig geen publicatie

“Tot we een grondig onderzoek hebben afgerond wordt publicatie uitgesteld,” zegt V. Lakshmikantham, hoofdredacteur van het vakblad Nonlinear Analysis. Op 4 december besloot het blad Elin Oxenhielm’s artikel voorlopig niet te plaatsen. Het artikel, dat aanvankelijk door slechts één reviewer is gecontroleerd, wordt nu door twee andere experts in het veld doorgekeken. Het lijkt erop, dat Hilbert’s zestiende probleem nog niet is opgelost.