Naar de content

Wiskundig 'miljoenenprobleem' misschien opgelost

Kazachstaans artikel claimt oplossing Navier-Stokes

Brocken Inaglory, Wikimedia Commons

Een Kazachstaanse wiskundige beweert één van de beroemde milleniumproblemen opgelost te hebben. Mukhtarbay Otelbayev, zoals de man heet, heeft in het Russisch een artikel geschreven dat volgens hem het zogenaamde Navier-Stokes-probleem oplost. Als hij inderdaad de oplossing heeft gevonden, zou hem dit een miljoen dollar opleveren.

In een interview met wetenschapsblad New Scientist laat de Kazach weten dat zijn collega’s de oplossing gecheckt hebben en denken dat het inderdaad een bewijs is. De rest van de wiskundewereld tast echter nog in het duister; de meesten spreken geen Russisch en wachten nu op een Engelse vertaling van het artikel.

Tot die tijd lijken de meesten sceptisch; de Kazach schijnt meer een beleidsfunctie te hebben aan zijn universiteit dan een onderzoekfunctie. Zelf zegt hij echter al dertig jaar ‘af en toe’ bezig te zijn met het probleem, waarvoor hij nu dus misschien wel een oplossing vond.

Navier-Stokes-vergelijkingen in actie: de formules kan je gebruiken om het gedrag van golven te voorspellen. Er zijn nog veel meer toepassingen; zo ziet water in videospelletjes er tegenwoordig zo echt uit doordat ze de vergelijkingen gebruiken. Door met een computer de formules uit te rekenen, krijg je water dat heel realistisch stroomt, golft en kolkt.

 Brocken Inaglory, Wikimedia Commons

Vloeistofgedrag

Het probleem gaat over de Navier-Stokes-vergelijkingen. Deze formules beschrijven het gedrag van vloeistoffen en worden veelvuldig gebruikt in de natuurkunde en vloeistofleer, bijvoorbeeld om cyclonen te voorspellen met een zeepbel. Ze werken prima om de werkelijkheid te beschrijven, maar voor wiskundigen wringt er iets; het is namelijk onduidelijk of er altijd een oplossing bestaat én of deze oplossing netjes is. Voor wiskundigen zijn dat twee grote vragen, die voor deze vergelijkingen heel moeilijk te beantwoorden zijn.

Wanneer bestaat er een oplossing?

Het lijkt misschien gekke vraag: bestaat er altijd een oplossing van Navier-Stokes? Het zijn toch gewoon een paar formules, waar je de lettertjes vervangt door getallen en een uitkomst krijgt? Jawel, maar de vraag is of je een uitkomst krijgt bij élk getal dat je invult. In het bijzonder weten wiskundigen niet of je een ‘nette’ uitkomst krijgt.

Met een nette (in het Engels is de precieze term ‘smooth’ of glad) bedoelen ze dat de formules altijd zo vaak als je wilt een afgeleide hebben, zonder dat er problemen ontstaan met het afleiden. Gladheid is een belangrijke eigenschap van veel functies; als een formule glad is, weet je er meteen veel andere dingen van die handig zijn, ook voor toepassingen.

Dat zo’n belangrijke eigenschap nog niet bewezen is voor een formule die zo veel gebruikt is zit wiskundigen niet lekker. Daarom houden wiskundigen zich regelmatig met dit probleem bezig. Bovendien kan het begrijpen van de ‘gladheid’ van de formules helpen om een natuurkundig fenomeen te verklaren: turbulentie.

Bij simulaties die de Navier-Stokes-vergelijkingen gebruiken zit er namelijk altijd een onverklaarbaar stukje in, dat de turbulentie genoemd wordt. Dit is één van de belangrijke onopgeloste natuurkundige raadsels. Het bewijzen van gladheid van de vergelijkingen is de eerste stap naar het verklaren van dit mysterie.

Het probleem is wel op te lossen in 2 dimensies (waarbij je kan denken een plat vlak gemaakt van water). De redenering die het probleem oplost in dat geval werkt echter niet voor 3 dimensies, waardoor wiskundigen nog steeds aan het puzzelen zijn. Dat deze onbekende wiskundige nu zegt iets te hebben gevonden zou dus op zijn minst opmerkelijk zijn. Mukhtarbay Otelbayev beweert zelfs een globale, sterke oplossing te hebben gevonden. Dat zou betekenen dat het probleem in één keer volledig opgelost is; geen kleine stapjes en veel gezwoeg om uiteindelijk bij de definitieve oplossing te komen, maar in een klap, met een eureka-moment een beroemde hersenkraker uitvogelen.

Taalbarriere

Voorlopig lijkt een taalbarrière echter een misschien wel sensationeel resultaat tegen te houden. Otelbayev laat het stuk nu door zijn studenten in het Engels vertalen en ook online wordt er hard gewerkt aan een vertaling. Hopelijk is de vertaling eenvoudig te maken; de wiskunde zelf spreekt immers voor zich, omdat wiskunde een universele taal is. Aan de andere kant redeneert de wiskundige ook veel in woorden, dus met alleen de formules is er nog geen chocola van te maken. Pas op dat moment dat er een vertaling is kan het Clay-instituut, dat de millenniumprijzen uitreikt, aan het werk om te kijken of zijn oplossing hout snijdt.

In 2006 kwam er ook al een oplossing voor het probleem bovendrijven, maar deze bleek al snel onjuist. Ook andere milleniumproblemen hebben al eens een vermeende oplossing gekregen, zoals het P=NP-probleem uit de complexiteitstheorie. Het enige écht opgeloste probleem is het Poincare-vermoeden, waarvoor de (Russische) oplosser uiteindelijk de miljoen weigerde. Of het Clay-instituut deze keer wél, voor het eerst, een miljoen uit moet betalen zal hopelijk snel blijken.

Mocht je Russisch én hogere wiskunde kennen, dan kan je het artikel hier lezen

Voor meer over de Navier-Stokes-vergelijkingen en een redenering over waarom het in twee dimensies wél lukt kan je hier terecht; een uiteenzetting van het probleem van Joost Hulshof, hoogleraar wiskunde aan de VU.