Willem Wagenaar, hoogleraar in de psychologische functieleer en oud-rector magnificus van de universiteit Leiden, heeft een periode gehad dat hij avond na avond in het casino zat. "Niet om zelf te spelen, hoor, maar om het gedrag van gokverslaafden te observeren. Zelf heb ik nog nooit gegokt, want ik geloof niet in ‘de wet van de kleine getallen’. Die stelt dat ook in heel korte series de algemene, statistische verdeling weerspiegeld wordt. Zo denkt iedereen dat bij het inzetten op rood of zwart een uitkomst RZRRZZRRZZ waarschijnlijker is dan RRRRRRRRRZ.
“Onzin, want zoiets kan heel goed gebeuren. Op 18 augustus 1933 kwam in Monte Carlo het rouletteballetje zelfs 26 maal achter elkaar op zwart terecht. Wie toen het lef zou hebben gehad om zijn winst al die tijd te laten staan, zou ruim 67 miljoen maal zijn inzet hebben gewonnen! Maar iedereen die vanwege de zogenaamd ‘toegenomen’ kans steeds hogere bedragen op rood ging zetten, was meer en meer geld kwijt. Een balletje heeft echt geen geheugen!”
Wat de voorgeschiedenis ook geweest mag zijn: de kans op een kleur is en blijft gelijk aan een half. Sterker nog, die kans is minder dan een half. Want als dat zo was zou het casino niets verdienen. Daarom is de neutraal gekleurde ‘nul’ ingevoerd. Valt die, dan is de speler de helft van zijn inzet kwijt. In de praktijk wint het casino op enkelvoudige kansen (rood of zwart, even of oneven, 1 tot en met 18 of 19 tot en met 36) daardoor 1/74 deel, ofwel 1,35 procent van de inzet. Doordat een casino dat percentage wint, heeft het spel een negatieve verwachte waarde.
Met andere woorden: de negatieve verwachte waarde is feitelijk de winstmarge van het casino. Deze winstmarge zit ’m in het verschil tussen de kans op winst bij een bepaalde inzet en het percentage dat het casino uitkeert als een bepaalde inzet valt (zie het kader hieronder).
Nul is niet niks…
De ‘negatieve verwachte waarde’, ofwel de verlieskans, is feitelijk de winstmarge van het casino. Als het casino namelijk precies net zoveel zou uitkeren als alle gokkers bij elkaar zouden inleggen, zou het casino zelf natuurlijk nooit winst maken! Die winstmarge haalt het casino uit het verschil tussen de kans op winst bij een bepaalde gokmogelijkheid en het percentage (van de inzet) dat het casino uitkeert als een een bepaalde gokmogelijk valt en uit de nul. De volgende voorbeelden maken het één en ander wat duidelijker:De uitkering wanneer je op één bepaald getal speelt (’ En plein‘, zie tabel hierboven) is 35 tegen 1. Dat betekent dat als je 10 Euro op een bepaalde getal zet en de bal komt op jouw nummer terecht, je 35 × 10 Euro + je inzet van 10 Euro = 360 Euro terug krijgt. Met 37 getallen (0 t/m 36) is de kans daarop echter 1 op 37. Stel nou dat 37 mensen ieder 10 Euro op een ander getal zouden zetten, dan zou één van deze mensen altijd moeten winnen. Die persoon wint dan weliswaar 360 Euro (350 Euro winst + 10 Euro inzet), maar aangezien alle 37 daar gezamelijk 370 Euro voor in hebben moeten zetten, steekt het casino 10 Euro in eigen zak! Een speciaal geval is de nul: als die valt, dan is de speler sowieso de helft van zijn inzet kwijt (aan het casino!).Die nul speelt ook een belangrijke rol in de negatieve verwachte waarde van de andere gokmogelijkheden. Zo is er bijvoorbeeld 12 keer een verschillende ’transversale pleine’ (zie hierboven) mogelijk. Wanneer nu 12 mensen ieder 10 Euro in zouden zetten op een andere ‘transversale pleine’, dan zou één van hen altijd winnen. Die persoon wint dan 11 keer de inzet + de eigen inzet van 10 Euro, dus 120 Euro. Gezamelijk hebben ze daarvoor 12 × 10 Euro = 120 Euro voor in moeten zetten. Dus ongeacht welke ‘transversale pleine’ ook valt, het lijkt alsof het casino altijd quitte speelt.Hier komt echter de nul weer in het spel…Wanneer er, zoals in het voorbeeld hierboven, op alle twaalf de 12 ‘transversale pleine’s’ ingezet wordt, zijn alle getallen van 1 t/m 36 ‘bezet’. Er is echter ook nog een nul in het spel als 37e getal. De feitelijke kans dat het balletje op één van de twaalf ‘transversale pleine’s’ valt wordt hiermee eigenlijk 36 (de getallen 1 t/m 36 waarop er altijd een ‘transversale pleine’ valt) op 37 (de werkelijke getallen, 0 t/m 36, waarop het rouletteballetje kan komen te vallen).Met andere woorden: bij 36 van 37 getallen waarop het rouletteballetje kan vallen, verliest het casino niets, maar bij die ene keer (van de 37) dat het balletje op de nul terecht komt, wint het casino! Hoe het balletje dus ook rolt, aan het eind van de avond ‘wint het huis altijd’.
“Bij meervoudige kansen (het gokken op nummers of combinaties van nummers) is de negatief verwachte waarde zelfs nog groter. De kans om met een vol nummer (’ _plein_’) te winnen is 1:37. De prijs bij winst is 36 maal de inzet. Maar het spelen zelf kost eenmaal de inzet. De verwachte waarde is dus 36/37-1 = -1/37. Dat komt overeen met een verlies van 2,7 procent van je inzet.
Wie lang genoeg blijft spelen, ontkomt niet aan dergelijke verliezen. Die bewuste uitspraak over de ene avond winnen en de andere avond nóg meer winnen werd dan ook gedaan door de casino-eigenaar. En terecht: hij was de enige die van al het gokken beter werd!"
Bijgeloof in het gokpaleis
Als het om gokken gaat kun je de mensheid in twee kampen verdelen. De ene helft denkt aan verliezen, gevaar lopen en bedrogen worden. De andere helft kent geen groter plezier dan aan de roulettetafel plaats te nemen en de wispelturige sprongen van het balletje te volgen. Voor hen staat gokken gelijk aan winst, sensatie en avontuur.
Omdat het met die winst mathematisch gezien nogal tegenvalt laten gokinstellingen niets na om het element spanning zoveel mogelijk te benadrukken. Winnaars van grote bedragen worden uitgebreid in het zonnetje gezet. En er zitten niet voor niets metalen bakken onder speelautomaten. Er is immers geen mooier geluid dan het gerinkel van de munten die erin vallen! Maar verliezen gaat geluidloos.
Verliezen is verslavender dan winnen
Gokken kan tot een ernstige verslaving leiden. Veel spelers die vijf à zes keer per avond een casino of speelhal bezoeken, menen dat die gelegenheden eigenlijk verboden moesten zijn omdat de verslaving erger is dan bij alcohol en drugs. In een essay over de schrijver Dostojevski, een bezeten roulettespeler, heeft Sigmund Freud de theorie uiteengezet dat de gokker vornamelijk speelt om te verliezen. Rationeel weet de gokker dat zijn kansen minder zijn dan die van de bank, maar tegen beter weten in wil hij zijn geluk beproeven.De theorie van Freud werd in 1995 bevestigd door Charles Warren en Bruce McDonough van de University of Illinois in Chicago. Zij onderzochten gokverslaafden en gelegenheidsgokkers en maakten elektroencephalogrammen (EEG’s) van hun hersenen tijdens het gokken. Bij de gokverslaafden trad 350 tot 450 milliseconden na winst sterke hersenactiviteit op. Dat ging vermoedelijk onbewust, want het duurt ongeveer een halve seconde voordat het besef dat men gewonnen heeft ook daadwerkelijk bij de speler begint de dagen. Bij de gelegenheidsgokkers vond pas na 600 tot 900 milliseconden activiteit plaats en des te sterker bij winst.Ná 900 tot 1250 milliseconden was er een zeer duidelijk verschil. De gelegenheidsgokkers waren zeer opgewonden omdat ze alweer met hun nieuwe inzet bezig waren. Voor de zware gokkers was het tegengestelde waar. Hun hersenactiviteit werd juist minder scherp als ze hadden gewonnen. Volgens de onderzoekers duidt dit op een gedragspatroon waarin verslaafden blijven vervallen totdat ze blut zijn, omdat zij meer hun ‘kick’ krijgen uit het vooruitzicht op het tegen de kansen in winnen, dan het eigenlijke winnen zèlf.
Avontuur? Neem Monte Carlo, waar het beroemdste casino ter wereld staat. Van voor tot achteren ziet het er als een paleis uit. En als ik er voor dit verhaal zelf eens een gokje wil wagen, blijkt dat het ook zo is ingericht. Het casino, zo wordt me verteld, werd door prins Karel III opgericht. Door de slechte bereikbaarheid waren er in het begin maar weinig klanten. Dat veranderde pas toen François Blanc, een door speculaties op de beurs schatrijk geworden ex-kelner, in 1861 de exploitatievergunning verwierf. Blanc zorgde dat er een spoorlijn kwam, hij liet operasterren uit Parijs overkomen en legde een mooi park aan rond het casiono. De ene na de andere grootheid diende zich aan.
De inwoners van het vorstendom waren allesbehalve ingenomen met de gok-enclave; ze verdienden er niks aan. Maar Blanc kwam met een gouden vondst. Hij kreeg de prins zover dat de burgers van Monaco geen belasting meer hoefden te betalen. Zo kon hij ongestoord zijn imperium uitbouwen.
Het casino van Monte Carlo is letterlijk en figuurlijk een waar gok- PALEIS…
Ondertussen zorgde Blanc ervoor dat schandalen tot elke prijs vermeden werden. Het kwam nogal eens voor dat zware verliezers de dood verkozen boven de armoede. Jaarlijks pleegden een stuk of zeven mensen zelfmoord. Zodra een lijk gevonden werd liet Blanc de zakken vol bankbiljetten proppen om op die manier de indruk te wekken dat de ongelukkige zich niet om financiële redenen van het leven had beroofd. Aan dit gebruik kwam een einde toen handige figuren zich onder de tomatenketchup smeerden en zogenaamd zwaargewond over het tapijt begonnen te kruipen.
Werpen met dobbelstenen
De Griekse geschiedschrijver Herodotus claimt dat de Lydiërs ten tijde van koning Atys al met dobbelstenen gokten. Maar de Griekse wijsgeer Sophocles is het daar niet mee eens en schrijft de dobbelstenen toe aan de Griek Palamedes, ten tijde van het beleg van Troje. Archeologen vonden dobbelstenen in vierduizend jaar oude Egyptische graven.Dobbelstenen worden meestal als een paar geworpen, zodat een totaal van 12 ontstaat. Die totalen hebben eenvoudig te berekenen kansen (zie het schema hiernaast). Bij twee dobbelstenen met getalswaarden van 1 tot en met 6 zijn 36 combinaties mogelijk. De kans om een totaal van 7 te gooien is het hoogst, want 6/36. De totalen 2 en 12 hebben de geringste kans van elk 1/36.Het gokken met dobbelstenen is in de VS erg populair in het casinospel ’ _craps_’.
Bijgeloof vormde een hoofdstuk apart. Op een gegeven moment werden in de plaatselijke kerk niet langer psalmen met een lager nummer dan 37 gezongen. Het gebeurde namelijk nogal eens dat bijgelovige kerkgangers bij het inzetten van bijvoorbeeld psalm 36 de kerk uitrenden om in het casino vlug op nummer 36 hun geluk te beproeven.
Een Italiaanse graaf kwam naar de speelzaal met een doos waarin een spin zat. De doos was in een rode en een zwarte helft verdeeld. Als het dier in het rode deel zat, speelde hij op rouge; zat het dier op zwart, dan was de keuze noir.
Blanc bevorderde het spelen met systemen. Want des te meer er gegokt werd, des te meer hij verdiende. Of zoals het zelf zei: “Dikwijls wint rood en vaak wint zwart, maar wit (Blanc) wint altijd!.”
Systematisch winnen?
“Casino’s verwelkomen systeemspelers met open armen,” vertelt Wagenaar. "Ze blijven langskomen en zijn daardoor betrouwbare verliezers. Daarom worden in de meeste casino’s de recent gevallen nummers en hun kleuren duidelijk bij de roulettetafels aangegeven. Op alle mogelijke manieren willen ze je maar laten geloven in de wet van de kleine getallen.
Maar we zagen al dat dat onzin is. Alleen bij blackjack (‘éénentwintigen’) zou je door kaarten te tellen een miniem voordeel op de bank kunnen behalen. Maar bij blackjack laat het casino het wel uit zijn hoofd om de getrokken kaarten van de vorige rondes te tonen. Het is ook streng verboden ze op te schrijven."
Basisstrategie van Blackjack
Blackjack (‘eenentwintigen’) is het bekendste casinospel. Een kundige speler kan er het meeste uithalen, maar alleen als hij het geduld en geheugen heeft om alle kaarten die voorbij komen te onthouden. Een aas telt als 1 of 11, de ‘poppen’ (plaatjes) tellen voor 10. De overige kaarten hebben de waarde die ze aangeven. De bedoeling is 21 punten te halen of een totaal zo dicht mogelijk daaronder, maar in feite is het voor de spelers voldoende om een hoger totaal te bereiken dan de bank.De bank geeft, nadat is ingezet, iedere speler twee open kaarten. De tweede kaart van de bank zelf is dicht en wordt onder zijn eerste, open kaart gelegd. Na zijn eerste twee kaarten kan de speler passen of een kaart ‘kopen’ (erbij vragen). Na elke volgende kaart geldt hetzelfde. Overtreft hij daarbij de 21 punten, dan is hij ‘dood’ en verliest zijn inzet. De bank is als laatste aan de beurt, maar met enkele afwijkende regels. Hij moet kaarten blijven trekken als hij 16 of minder heeft en passen bij 17 of meer. Koopt de bank zich dood, dan betaalt hij alle spelers die gepast hebben eenmaal hun inzet. Als een speler 21 heeft met twee kaarten (een aas en een plaatje of een 10) heeft hij blackjack en wordt er anderhalf maal de inzet uitbetaald. Hebben de speler én bank meteen blackjack, dan wisselt er geen geld tussen die twee.Gokt een speler zuiver op geluk, dan zal hij ‘door de bank genomen’ verliezen. Maar gebruikt hij een basisstrategie met gewogen kansen voor het passen, kaart vragen en verdubbelen van de inzet, dan heeft hij een heel klein voordeel.
Heel bekend bij gokkers is het verhaal van de Amerikaanse wiskundige Edward Thorp. Die won met zijn systeem aanzienlijke bedragen in Las Vegas. Blackjack werd toen nog met slechts één spel kaarten gespeeld. Nadat Thorp de toegang tot de casino’s ontzegd was maakte hij zijn geheim openbaar. Toen was het snel gedaan met het succes van zijn systeem.
De casino’s besloten alleen nog maar blackjack te spelen met vier of meer ‘stoks’ van 52 kaarten elk. Ook worden de kaarten na een aantal rondes opnieuw geschud. Wie nu een voordeel op de bank wil hebben, zou een forse computer mee moeten nemen. En dat is natuurlijk verboden.
Verdubbelingssysteem
Om de roulette de baas te worden, zijn veel systemen bedacht. Een hele bekende is de Martingale of het verdubbelingssysteem. Dit zou als volgt moeten werken. Begin met één fiche op rood, en verdubbel bij verlies de inzet. Wordt weer verloren, plaats dan vier fiches. Plaats bij nogmaals verlies acht. Wie nu eindelijk wint, krijgt acht fiches uitbetaald, terwijl hij er 1+2+4=7 had verloren. Na iedere serie van verliezen die tenslotte wordt afgesloten met één winnende ronde is er dus een winst van één fiche. Aangezien bij gokken op rood ongeveer de helft van de ronden te winnen is, is de verwachte waarde ongeveer ½ fiche per ronde en dat is dus positief.Het systeem zou goed werken als het casino geen limiet stelde aan de hoogte van de inzetten. Maar wat gebeurt er na negen keer rood? Als de inzet begon met 10 Euro, staat het verlies na negen keer rood op 5110 Euro, en nu moet er 5120 Euro op tafel worden gelegd. Stel dat dit de hoogste inzet is die de bank accepteert. De speler kan dan kiezen uit opnieuw beginnen met 10 Euro en het verlies van 5110 Euro accepteren, of het maximum van 5120 Euro inzetten. In de helft van de gevallen gaat dat goed. In de andere helft loopt het verlies op tot 10.230 Euro. Hoe de keus ook is, na negen keer verliezen zal hij 5110 Euro tekort komen Om dat verlies goed te maken, moeten 511 series winnend worden afgesloten. Omdat de kans op negen keer rood ongeveer eenmaal op de vierhonderd rondes is, zit er natuurlijk weer een van negen keer rood bij. Wie het precies uitrekent, ziet dat bij dit spelletje ook weer precies 1/37 van de inzet verloren gaat.
“Wie de uitkomst vermoedelijk wel kan beïnvloeden is de croupier die bij roulette de cilinder in beweging zet en vervolgens het balletje werpt,” zegt Wagenaar. "Ik heb eens aan zo’n bouleur gevraagd of hij op of heel dichtbij een door hem te kiezen nummer kon werpen. Toen antwoordde hij: ‘Dat mogen we niet.’ Het feit dat hij niet ‘Dat kan ik niet’ zei gaf natuurlijk al te denken. De vraag of de worp berekenbaar is werd een jaar of dertig geleden ook behandeld in het Nederlandse parlement.
Er is toen een onderzoek geweest naar een gemiddelde draaisnelheid van twintig toeren per minuut, waarbij het balletje ongeveer twaalf seconden langs de rand gaat. Daarna volgt de afdaling, waarbij het balletje ook nog eens tegen de ‘soldaatjes’ botst, de nokken die het balletje afremmen en ook heftig laten bewegen. In het hele proces doet het balletje er ongeveer veertien maal de schijf over, ofwel zo’n 518 nummers. Zou de bouleur met succes op een bepaald nummer mikken, dan heeft zijn worp een precisie van 1:518, ofwel 2 promille.
Geconcludeerd werd dat dit te gering is en dat roulette wel degelijk een kansspel is en geen behendigheidspel. Toch blijf ik twijfelen. Want de snelheden van de draaischijf en het balletje zijn niet constant, maar juist afhankelijk van de bouleur. Hij hoeft ook niet per se op een nummer, maar op een sector te richten. Hij zou dus de grootste inzetten kunnen ontwijken, of juist met een speler samen kunnen werken. Dat zal overigens niet makkelijk zijn, want zodra de winst van de tafel af gaat wijken van het gebruikelijke percentage is die tafel natuurlijk verdacht."
‘Rien ne va plus’: het geld is niet meer van u!
Waarom blijven mensen ondanks de negatieve kansen gokken? Volgens Wagenaar komt dat door de amusumentswaarde. Tachtig procent van de spelers is gewoon een avondje uit. In de superluxe omgeving van het casino spelen ze dat ze het geld kunnen laten rollen en incasseren ze de verliezen met een achteloos gebaar. “Ik vind het niet erg om te verliezen, maar ik wil wel verliezen met stijl,” zei één speler tegen hem.
“Dat kan ik nog enigszins begrijpen, maar mijn verstand staat stil bij het meespelen in de Lotto, de Postcodeloterij of het kopen van staatsloten. Ze hebben allemaal een negatieve verwachte waarde die tientallen malen slechter is dan die van een casino. Bij de Staatsloterij, met een negatieve verwachte waarde van -34 procent, ben je nog het ‘beste’ af. Toch is de kans op het winnen van de jackpot slechts 1 op 2,9 miljoen.
Bij de Nationale Postcodeloterij is de negatieve verwachte waarde -77 procent en is de kans op het winnen van de hoofdprijs over alle trekkingen gemiddeld slechts 1 op 15,7 miljoen. Om dat te verdoezelen worden naast torenhoge superprijzen ook veel kleine prijzen en ‘eigengeldjes’ uitgekeerd.
Minieme kans
Stel dat de Oudejaarsloterij 4,5 miljoen loten verkoopt. Wie in het bezit is van ‘n heel lot heeft dan een kans van 1 op 4.500.000 om de hoofdprijs te winnen, ofwel 0,000022 procent. In Nederland valen jaarlijks zo’n 1200 dodelijke verkeersslachtoffers. De kans dat je dit jaar op de weg verongelukt is dus 1200 op 16.000.000 ofwel 0,0075 procent. De kans dat je de Staatsloterij wint is dus nog eens 337 keer kleiner dan de kans om door een vrachtwagen wordt geschept. Anders geformuleerd: de kans dat je deze prijs wint is even groot als de kans om vóór overmorgen om het leven te komen.
Het ergste vind Wagenaar nog dat de overheid de boel in de maling neemt. "De burgers worden aangemoedigd loten te kopen en dus tegen beter weten in te gokken. Want dat levert belastingcenten op in de vorm van pure winst, kansspelbelasting en BTW over de speelautomaten. Per jaar wordt in Nederland meer dan een miljard euro vergokt.
Loten kopen om miljonair te worden is een hele domme manier van investeren. En als de overheid vindt dat er meer geld naar goede doelen moet, dan moeten de belastingen maar voor iedereen verhoogd worden. Nu betalen vooral domme mensen meer belasting. Wie geld wil verdienen met gokken moet zelf een loterij organiseren of een casino beginnen. Maar de overheid heeft daar natuurlijk geen belang bij en bezit mede daarom het alleenrecht op de exploitatie van casino’s. Soms wordt vergunning voor een loterij gegeven. Maar ook daarbij vloeit een deel van de opbrengst via het vergunningenstelsel en de belastingen naar de schatkist."
Oorsprong van de Staatsloterij
“God,” schreef de Engelse theoloog Jeremy Taylor in de zeventiende eeuw, “heeft de beheersing van de kansspelen aan de duivel overgelaten.” Toch moet de oorsprong van het loterijwezen in ons land worden gezocht binnen de kerken, zowel de rooms-katholieke als de protestante, Aanvankelijk ging het om de financiering van barmhartige werken. Maar al gauw werd het voorbeeld gevolgd door de steden en staten. Zo werd de eerste Nederlandse loterij in 1444 in Utrecht gehouden om de kas te spekken. Stadhouder Willem III organiseerde in 1694 een loterij om aan geld te komen voor de strijd tegen de Fransen. De inname van Namen werd uit de opbrengst van deze ‘staatsloterij’ betaald. De Nederlandse Staatsloterij is de oudste loterij-organisatie in Europa. De Generaliteitsloterij van 4 april 1726, die werd goedgekeurd door de Staten Generaal, wordt beschouwd als de voorloper van de huidige Staatsloterij.
Voor de organisatoren is gokken zo lucratief dat sommige casino’s in Las Vegas, de beroemde Amerikaanse gokstad, vliegtickets erheen weggeven, spelers gratis laten drinken en ze soms zelfs een beginkapitaaltje verschaffen. Want met wiskundige zekerheid komt al dat geld tenslotte toch wel terug.