Je leest:

We raken nooit meer uitgeteld

We raken nooit meer uitgeteld

Tellen gaat ons meestal zo gemakkelijk af, dat het lijkt alsof het een aangeboren vaardigheid is. Kinderen kost het echter jaren om met getallen leren om te gaan en sommige volkeren hebben nog steeds heel primitieve telsystemen. Maar de eenvoudigste manieren van rekenen zijn niet altijd de domste.

Vraag een onderzoeker die zich bezighoudt met diergedrag of dieren ook kunnen tellen. Hij zal met het volgende verhaal komen. Een boer wilde van een kraai af die een nest had gemaakt op de hooizolder. Herhaalde malen had hij geprobeerd de kraai bij verrassing te grazen te nemen. Maar telkens als hij de vogel naderde, vloog die van zijn nest. Totdat de boer de hooizolder was afgedaald, wachtte de kraai in een tegenovergelegen boom.

Op een dag probeerde de boer het daarom op een andere manier. Met een knecht ging hij de hooizolder op, maar slechts één van beiden ging naar beneden. De kraai liet zich niet van de wijs brengen: hij bleef in de boom tot ook de andere persoon de ladder was afgedaald. De volgende dagen probeerde de boer het met twee en met drie knechten, maar weer zonder succes. Pas toen hij met vier knechten de zolder opging, raakte de kraai de tel kwijt. Niet in staat om onderscheid te maken tussen vier en vijf, vloog het dier naar zijn nest terug toen vier mannen de hooizolder waren afgedaald. Vervolgens kwam hij jammerlijk aan zijn eind.

In 1904 baarde de Duitse hengst Hans veel opzien. Door met zijn hoeven te trappen gaf hij de uitkomsten aan van ingewikkelde optellingen van breuken en van vermenigvuldigingen. Pas jaren later bleek het allemaal oplichterij. Zijn eigenaar, Wilhelm von Osten, gaf hem stiekem signalen. Sommige dieren, zoals chimpansees en papegaaien, kunnen tot acht tellen, maar ze kunnen absoluut niet rekenen.

De mens is geboren om te tellen, dieren kunnen dat niet of nauwelijks, kan aan de hand van het bovenstaande voorbeeld worden geconcludeerd. Maar brengen wij het er zoveel beter van af dan een kraai? In veel primitieve culturen wordt geteld met ‘één+één+één’ en daar ontbreekt elk begrip van een abstract getal.

Neem bijvoorbeeld de Wedda’s, de oorspronkelijke bewoners van Sri Lanka, van wie nu nog slechts een paar honderd leven op het zuidoostelijk deel van het eiland. Antropologen hebben waargenomen dat een Wedda die kokosnoten telt, dat doet met een stapel stokjes. Daarbij kent hij telkens één stokje toe aan elke kokosnoot. Bij iedere nieuwe kokosnoot neemt hij een nieuw stokje en zegt: “Dat is één.” Als wordt gevraagd naat het aantal kokosnoten dat hij bezit, wijst hij naar de inmiddels ontstane stapel stokjes en zegt: “Zoveel.” Enige notie van het precieze aantal heeft een Wedda echter niet.

Zouden primitieve telsystemen nog zijn aan te tonen in de ontwikkelingsgang van de westerse mens? De Zwitsterse psycholoog Jean Piaget heeft het logisch denken onderzocht bij kinderen van verschillende leeftijden en kwam tot het volgende resultaat. Niet lang nadat een baby heeft leren lopen en praten, kan hij de tafel dekken met een indrukwekkende precisie – één bord, één vork, één lepel, één mes, voor elk van de vijf aangewezen plaatsen.

Heel snel daarna wéét een peuter dat hij vijf borden, lepels, messen en vorken op de tafel heeft gelegd. Een tijdje later loopt dit op tot vijftien stuks. Na op een dergelijke manier vertrouwd te zijn geraakt met de regels van het optellen, volgt het aftrekken. De telvaardigheid ontwikkelt zich in het begin dus zo snel, dat het lijkt alsof er een inwendige wiskundige klok bestaat, die op den duur zal leiden tot een volwassen getalsbegrip.

Het Maya-getallenschrift is door zijn eenvoud eenvoudig leesbaar. De Maya’s gebruikten een twintigtallig stelsel en kenden in de eerste jaren van onze jaartelling al de nul. Het Westen moest nog bijna duizend jaar wachten alvorens de nul via Arabische kooplieden uit India zou komen overwaaien – om aanvankelijk maar met grote moeite worden geaccepteerd.

In werkelijkheid is het natuurlijk niet zo eenvoudig. Wat Piaget namelijk óók observeerde, was dat maar heel langzaam een abstract getalsbegrip wordt aangeleerd. Pas op een gemiddelde leeftijd van zes jaar wordt een woord als ‘vijf’ zonder fouten met daadwerkelijk vijf voorwerpen in verband gebracht. Bij het overschenken van water uit een kort breed glas in een lang dun glas, weigeren zesjarigen nog te geloven dat de hoeveelheid water onveranderd blijft.

Gevraagd naar het totale aantal rode en blauwe potloden op een stapel worden weliswaar de afzonderlijke aantallen blauwe en rode potloden gemeld, maar bij het totaal van rode én blauwe potloden gaat het bijna altijd mis. Dat lijkt dus heel veel op het één+één+één-tellen van de Wedda’s en geeft aan dat de ingewikkelder regels van het tellen pas later, door kennisoverdracht op school, wordt aangeleerd.

De Maya’s waren rekenaars bij uitstek. Door het gebruik van de nul konden de Maya’s doorrekenen tot in de miljoenen. De kalender die ze aan de hand van hun observaties van zon, maan en planeten samenstelden kon zich dus uitstrekken van oneindig ver in het verteden tot oneindig ver in de toekomst. En met bijna dezelfde precisie als vandaag waagden ze zich aan de voorspelling van hemelverschijnselen. Het resultaat van hun complexe berekeningen beitelden ze in beeldschrift op hun tempels en gedenkzuilen.

Waar zou de bakermat hebben gelegen van ons huidige telsysteem? Opgravingen in het Midden-Oosten hebben ingekerfde beenderen aan het licht gebracht die 15.000 tot 10.000 jaar vóór onze jaartelling werden gebruikt. Vermoedelijk waren het kalenders gebaseerd op de maan-maand, waarbij elke kerf één waarneming van de nachtelijke maan voorstelde.

De eerste tellingen die een hoeveelheid vastomlijnde voorwerpen voorstellen, duiken pas rond 8000 v.Chr. in Mesopotamië op. Kleifiguurtjes, met een doorsnede van 2 cm of minder, werden voor die doeleinden gebruikt: een cilinder voor een dier, en kegeltjes en bolletjes voor twee afzonderlijke maten graan.

Hoewel het ook hier nog ging om één+één+één-tellen (twee dieren werden voorgesteld door twee cilinders, en twee schepels graan door twee bolletjes), betekende het gebruik van verschillende figuurtjes voor verschillende voorwerpen al een enorme vooruitgang: goederen uit de landbouw en veeteelt konden worden geteld en voor latere gegevensverwerking bewaard, zonder onderhevig te zijn aan de menselijke vergeetachtigheid.

In het oude Egypte werden speciale hiërogliefen gebruikt voor elke macht van tien. Opeenvolgend werden die gesymboliseerd door een verticale streep, een beugel, een spiraal, een lotusbloem, een opgeheven vinger, een salamnder of een kikkervisje, en de god van de oneindigheid (miljoen).

Rond 6000 v.Chr. was het gebruik van de kleifiguurtjes door het hele Midden Oosten verspreid. Tot 3300 v.Chr. waren dezelfde cilinders, kegels en bolletjes in gebruik. Toen, tegen het einde van het vierde millennium v. Chr., verschenen veel ingewikkelder kleifiguurtjes: eieren, parabolen, dubbele kegels, spiralen en vierkantjes. Ook waren er kleine afbeeldingen van dieren en gereedschappen.

Het getal 4622 uitgebeeld in hiërogliefen.

Waarom het plotselinge gebruik van zovele vormpjes? De Sumeriërs bouwden in die tijd de eerste steden en de ingewikkelde vormen weerspiegelden het toenemende aantal goederen dat rondging in een stedelijke gemeenschap. Bij de aankoop van een bepaald aantal goederen werden de vormpjes opgeborgen in een omhulsel van klei ter grootte van een tennisbal. Voordat de kleibol werd gedicht, werden de vormpjes ook nog eens aan de buitenkant zichtbaar ingedrukt. Zo hadden koper en verkoper beiden het bewijs van de afgesloten koop.

Het Babylonische getallenstelsel bestond uit slechts twee basiselementen: 1 en <. De Babyloniers gebruikten een sexagesimaal of zestigtallig stelsel. Omdat ze de nul niet kenden, kreeg het getal zestig weer hetzelfde symbool als dat voor één. Klik op de afbeelding voor de getallen 1 t/m 59.

Tegen de tijd dat de Sumeriërs doorhadden dat een koop ook kon worden geregistreerd door het afbeelden en zegelen ervan op een kleitablet, ontwikkelde zich een tweedimensionaal beeldschrift, met ingedrukte cirkels in plaats van bolletjes en wiggen in plaats van kegeltjes.

Op dat moment maakte de mensheid in zijn geheel de beslissende sprong vooruit: de wig, die oorspronkelijk stond voor een kleine hoeveelheid graan, werd nu gebruikt als 1. De cirkel, die tot dan toe een grotere hoeveelheid vertegenwoordigde, stond voortaan voor 10. De twee getallen konden ook worden gecombineerd: 23 bestond uit twee cirkels en drie wiggen. Een veel groter afgebeelde wig werd 60 en een grote cirkel 360, waardoor een vreemd, tweeslachtig systeem ontstond van een tientallig stelsel en een zestigtallig stelsel.

Het gebruik van het zestigtallig stelsel is vermoedelijk terug te voeren tot het aantal dagen in het jaar, afgerond tot 360. Mét het gebruik van de cirkel als symbool hebben we daar tegenwoordig nog de onderverdeling van de cirkel aan te danken: 360 graden van elk 60 boogminuten en met boogminuten onderverdeeld in 60 boogseconden. Ook het uur heeft nog dezelfde onderverdeling in minuten en seconden.

Getallen van diverse culturen met elkaar vergeleken.

Merkwaardig, zo’n zestigtallig stelsel in ons huidige telsysteem als overblijfsel uit de dageraad van het tellen? Er zijn zelfs overblijfselen van getallenstelsels die waren gebaseerd op het gebruik van twintig als rekenbasis. In plaats van vijf vingers aan één hand en tien vingers aan beide handen werd daarvoor doorgeteld op de tenen van beide voeten.

De Maya’s en Azteken in Midden Amerika gebruikten het twintigtallig stelsel. Veel Zuidamerikaanse Indianenstammen volgen deze rekenwijze nu nog. Ook in Europa moet het twintigtallig stelsel ooit in gebruik zijn geweest. Heel bekend is het merkwaardige Franse telwoord quatre-vingt-dix (vier-twintig-tien) voor 90 in plaats van het meer voor de hand liggend nonante, dat overigens wél in Franstalig België wordt gebruikt.

Van de elfde tot de zeventiende eeuw is het tientallig stelsel in Frankrijk deels vervangen geweest door een twintigtallig, met tussenstappen voor de tientallen. Dit ging tot aan dix neuf-vingt (380). Een dertiende-eeuws ziekenhuis in Parijs dat werd gebruikt voor blinde veteranen droeg dan ook de naam ‘Hôpital de Quinze Vingts (Ziekenhuis van de vijftien-twintigen) en een corps van 220 politieagenten in Parijs heette het ’Corps des Onze-Vingts’ (corps van elf twintigen). Tegenwoordig zijn al deze vingts weer verdwenen, op quatre-vingt na.

Zie ook:

Als de stap om tot één duidelijk getallensysteem te komen al zoveel moeite kostte, hoe heeft de mens zich dan rekenregels aangeleerd? Daarbij heeft het telraam, of abacus, een doorslaggevende rol gespeeld. Abacus is een Latijns woord dat is afgeleid van het Griekse abax dat ‘bord’ of ‘tafel’ betekent. Het Griekse abax is op zijn beurt afgeleid van het semitische abq, dat ‘zand’ of ‘stof’ betekent. Wat oorspronkelijk in het zand werd opgetekend, groeide later dus uit tot een teltafel en weer later tot een telraam, waarmee desnoods tot ver in de miljoenen kon worden gerekend.

Het gebruik van een teltafel in de middeleeuwen.

Door teltafels te gebruiken konden de Romeinen ondanks hun ingewikkelde lettersymbolen voor cijfers razendsnel berekeningen uitvoeren als CCLXVI + MDCCCVII + DCL + MLXXX = MMMDCCCIII (266 + 1807 + 650 + 1080 = 3803), ook al lijkt dat nu onwaarschijnlijk. Op de teltafel werden daartoe kolommen aangelegd van machten van tien (1, 10, 102, 103, enz., maar dan in de Romeinse symbolen I, X, C, M, enz.) en daarop werden houten bolletjes of schijfjes geplaatst die het aantal eenheden voorstelden.

Liep een kolom vol tot tien, dan werden de tien bolletjes weggenomen en één bolletje toegevoegd aan de hogere kolom. Ook aftrekken, vermenigvuldigen en delen was zo mogelijk.

Romeinse getallen worden nog steeds gebruikt. Hier heeft een lid van een straatbende in Washington zijn hand getatoeerd met ‘18’, ten teken dat hij bij de gang van Hispanics uit de 18e straat behoort.

Telramen zijn in de een of andere vorm over de hele wereld gebruikt. In Rusland en het Verre Oosten worden ze nog steeds toegepast. Daar bestaat vaak de merkwaardige gewoonte dat aankopen eerst op het verplichte kasregister worden aangeslagen en opgeteld, waarna het resultaat op een abacus wordt gecontroleerd.

In deze winkel in Beijing (Peking) worden aankopen op een telraam gecontroleerd; in de kassa heeft men duidelijk minder vertrouwen! bron: Peter Wouda

Het gebruik van een telraam, met het verschuiven van kraaltjes in de vorm van één+één+één wordt niet alleen als betrouwbaarder ervaren, maar gaat ook razendsnel. Dat bleek ondermeer uit een rekenwedstrijd die op 12 november 1945 werd gehouden tussen Kiyoshi Matsuzaki, een klerk op een Japans ministerie, en Thomas Wood, een administrateur van het Amerikaanse leger, die vier jaar ervaring had met het gebruik van de modernste rekenmachines.

De wedstrijd ging over vijf onderdelen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en een kettingberekening van dertig maal optellen, drie vermenigvuldigingen en driedelingen van getallen met zes tot twaalf cijfers. Matsuzaki, met zijn telraam, versloeg Woods op vier van de vijf onderdelen. Woods won alleen bij het vermenigvuldigen.

In Zuidoost-Azië wordt bij het rekenen bij voorkeur een abacus, of telraam, gebruikt. Hier het Chinese telraam, of suan pan. Van rechts naar links geeft elke kolom toenemende machten van tien aan. In dit geval kan er dus geteld worden van 1 tot maar liefst 1012. Eén van de bovenste twee knopen naar beneden geeft de waarde vijf; de onderste knopen naar boven telkens de waarde één. In een oogopslag is zo te zien welk getal er staat. bron: Carl Koppeschaar

Zie ook:

Tegenwoordig produceert Japan jaarlijks vele tientallen miljoenen elektronische (zak)rekenmachines. Maar ondanks al deze ‘zakjapanners’ is het gebruik van het telraam in Japan zelf en in Zuidoost-Azië vooral bij ouderen nog nauwelijks teruggedrongen. Als westerling sta je daar soms raar te kijken als je op een hypermodern station een kaartje koopt om vervolgens het wisselgeld na uittelling op een abacus terug te krijgen.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 22 augustus 2004

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE