“Alles staat stil,” argumenteerde de Griekse filosoof Parmenides van Elea rond 500 v. Chr. “Immers: het zijnde is, en het niet-zijnde is niet. Volheid maakt beweging onmogelijk. Voor beweging is dus een lege ruimte nodig. Maar: lege ruimte is het niet-zijnde en bestaat dus niet. Daarom is beweging ónmogelijk!”

Toen Parmenides deze uitspraak deed, krabden heel wat Griekse wijsgeren zich op het hoofd. Zijn conclusie was zo sterk in tegenspraak met de alledaagse ervaring, dat zij niet waar kón zijn. Toch was er geen speld tussen te krijgen. En áls iemand dat toch probeerde, dan kreeg hij al snel te maken met een leerling van Parmenides, Zeno van Elea (circa 490-430 v. Chr.). Zeno was een spitsvondig redenaar. Elke aanval op de stelling van zijn leermeester pareerde hij met behulp van een scherpzinnige paradox:

“Een lichaam dat op een plaats is die aan zijn volume gelijk is, is in rust. Een pijl die voort vliegt, is ieder ogenblik op een plaats die gelijk is aan zijn volume. Op ieder ogenblik is de pijl dus in rust. Als we al deze ogenblikken bij elkaar optellen, dan blijkt dat de pijl steeds in rust is geweest.” Zeno’s paradox van de pijl kon door geen enkele wijsgeer worden weersproken.

Iedereen kon aanvoelen dat Zeno’s redenering op een drogreden berustte, maar niemand kon precies aangeven waar zijn fout zat. Alle pogingen van de Grieken .om het ongelijk van Parmenides en Zeno aan te tonen, leidden tot nieuwe dwaalsporen. Enerzijds resulteerden ze in speciaal hiervoor ontworpen principes als ‘het niets bestaat evengoed als het iets’, anderzijds in het filosofisch systeem van Aristoteles (384-322 v. Chr.). Dat zat zo gedegen in elkaar, dat het de westerse wereld vijftien eeuwen zou kosten om er zich aan te ontworstelen.

Alleen de Griekse filosoof Diogenes van Sinope (412-323 v. Chr.) is dicht bij de oplossing van de paradox van de pijl gekomen. Diogenes, die in een ton woonde, zou als antwoord op Zeno’s paradox uit zijn ton zijn gekropen, een paar passen hebben gemaakt en weer in zijn ton zijn gaan zitten. Op die manier demonstreerde hij zonder woorden het bestaan van beweging. Maar een echt bewijs was het niet. Er zou een nieuwe wetenschap voor nodig zijn alvorens het definitieve bewijs tegen Zeno’s paradox geleverd kon worden.

De Duitse filosoof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) leverde dat bewijs. Leibniz ontwikkelde de differentiaal- en integraalrekening. En het was met déze wetenschap dat het begrip beweging voor het eerst glashelder kon worden beschreven: als een variabele functie van plaats en tijd. Zo leidde de eerste paradox uit de geschiedenis uiteindelijk tot een vernieuwing van de wiskunde.

Achilles en de schildpad

Volgens Zeno was het onmogelijk een afstand te overbruggen. Als je een afstand wil overbruggen, moet je eerst de helft van die afstand overbruggen. Maar om dat te doen moet je eerst de helft van die afstand overbruggen en ook voor die helft eerst een helft te overbruggen. Aangezien afstanden oneindig deelbaar zijn, kan men onmogelijk een gegeven afstand afleggen. Daaruit volgt de paradox van Achilles en de schildpad:

De snelvoetige Achilles gaat een wedstrijd aan met een schildpad. De laatste krijgt een voorsprong. Wanneer Achilles het punt A bereikt waar de schildpad kort tevoren was, is de schildpad inmiddels verder gekomen. Arriveert Achilles op dit nieuwe punt B, dan is de schildpad intussen weer wat verder in punt C, enzovoorts. Conclusie van Zeno: de achterstand wordt kleiner, maar Achilles haalt de schildpad nooit in.

In werkelijkheid haalt Achilles de schildpad natuurlijk wel in. De paradox wordt onder meer veroorzaakt door het feit dat de som van een oneindig aantal stappen toch eindig is. Start de schildpad bijvoorbeeld met 1000 meter voorsprong, en loopt Achilles tien keer sneller dan dan de schildpad, dan convergeert de voorsprong van de schildpad via 1000 > 100 > 10 > 1 > 0,1 > 0,01 > 0,001 naar nul.

Ook de tijdsafstand tussen het door Achilles bereiken van de punten A, B, C, enz. convergeert naar nul. Met behulp van enkele formules van wiskundige rijen en limieten is gemakkelijk uit te rekenen dat Achilles de schildpad inhaalt na een afstand van 10000/9 meter. De Grieken konden het begrip limiet niet. Zij geloofden niet in de nul en konden evenmin overweg met het begrip oneindig.

In de geschiedenis van de filosofie wemelt het van de onopgeloste raadsels. Vaak is het moeilijk om vast te stellen of een probleem onopgelost is, dan wel onoplosbaar.

Zijn onoplosbaar geachte problemen wel echte problemen? Dan doet zich immers de paradoxale situatie voor dat ze zijn opgelost als bewezen wordt dát ze onoplosbaar zijn! De Oostenrijkse filosoof Ludwig Wittgenstein zag het zo: “Als een vraag kan worden gesteld, kan deze ook worden beantwoord.” En in het geval van een paradox redeneerde Wittgenstein: “Als men géén antwoord kan formuleren, kan men ook de desbetreffende vraag niet formuleren!”

Echte paradoxen bestaan niet. Elke paradox roept een tegenspraak op die er niet is. De meeste paradoxen berusten op een taalkundige drogreden. Een sprekend voorbeeld hiervan is de paradox van de onverwachte terechtstelling, die in de jaren veertig van de vorige eeuw is bedacht:

“Een misdadiger wordt op een zaterdag ter dood veroordeeld. “De executie zal ’s middags plaatsvinden,” vonnist de rechter, “op één van de zeven dagen van de volgende week. Maar u zult niet weten op welke dag u wordt terechtgesteld totdat dit in de ochtend van de dag waarop u wordt terechtgesteld aan u zal worden medegedeeld.” Zodra de veroordeelde terug in zijn cel is wrijft hij zich in de handen. “De rechter is een eerlijk man;” redeneert hij, “hij zal zijn woord dus niet breken. Op zaterdag kan ik niet worden opgehangen, want dat is de laatste dag van de volgende week. Als ik vrijdagmiddag nog in leven ben, weet ik dus van te voren dat de terechtstelling op zaterdag zal plaatsvinden. Het is dus duidelijk dat vrijdag de laatst mogelijke dag is dat ze me kunnen ophangen. Maar op donderdag doet zich dezelfde situatie voor. Zo kan ik achtereenvolgens donderdag, woensdag, dinsdag en maandag uitsluiten. Blijft alleen morgen over. Maar morgen kunnen ze me niet ophangen, omdat ik het vandaag al weet!” Opgelucht wacht de gevangene zijn tijd af, in de verwachting dat hij aan het eind van de week zal worden vrijgelaten. Dan, op donderdagmorgen, wordt hij door de beul uit zijn slaap gewekt. Volkomen verbijsterd wordt de veroordeelde die middag opgehangen. Dit was wel het laatste dat hij had verwacht; de uitspraak van de rechter was bewaarheid!"

Het ongelijk van de ongelukkige veroordeelde kan gemakkelijk worden aangetoond. Hij redeneert vanuit zijn eigen standpunt en verbindt de taalkundige formulering van het vonnis aan de situatie van het vonnis zélf. Dat zijn twee aparte dingen die los van elkaar staan. Op donderdagmiddag kán de veroordeelde nog niet weten of hij op vrijdag óf op zaterdag zal worden terechtgesteld. Zelfs op zaterdagochtend, als hij in de zekerheid verkeert dat hij zal worden vrijgelaten, zal hij verbaasd zijn als hij tóch die dag wordt opgehangen.

Veel gelukkiger dan bovenstaande veroordeelde was een Chinese boer die voor het gerecht werd gesleept. Aldaar deelde de magistraat hem mee dat hij moest sterven, maar dat hij zélf mocht bepalen op welke wijze hij de dood zou vinden. “Je mag nog één zin uitspreken, één uitspraak doen. Is die zin onwaar, dan word je gewurgd. Is hij daarentegen waar, dan word je opgehangen.” De boer, die veel slimmer was dan de magistraat, deed de volgende uitspraak: “Ik zeg dat ik word gewurgd.”

De executie ging niet door. Want als die magistraat hem zou laten wurgen, zou die zin bewaarheid worden. Maar in het geval van een ware uitspraak zou de boer opgehangen moeten worden. Als de magistraat hem daarentegen zou laten ophangen, dan zou de uitspraak van de boer onwaar zijn, terwijl een onware zin juist tot een wurging zou leiden. De magistraat was dus in zijn eigen netten verstrikt geraakt!

Toch heeft de Chinese boer onnoemelijk veel geluk gehad. Want ook dit probleem is een schijnparadox. De uitspraak van de boer is aanvankelijk noch waar, noch onwaar, maar wordt dit pas op het moment dat het vonnis is voltrokken. Pas dán krijgt de uitspraak betrekking op zichzelf en ontstaat er een tegenstrijdigheid. Maar voor de boer is het dan al te laat!

Aan het eind van de negentiende eeuw regende het van de paradoxen. In de wiskunde ging men er steeds meer toe over een kunstmatige symbolentaal te gebruiken. Maar in het begin haperde er nogal wat: aan de juiste definiëring van die symbolen. Daardoor ontstonden telkens weer paradoxen op grond waarvan de wiskunde met zichzelf in tegenspraak kwam. Dit leidde tot een crisis in het grondslagenonderzoek van de wiskunde. Want wat was een wetenschap waard, als zij niet kon bewijzen dat zij een wetenschap was?

Het verlossende woord kwam pas in 1902: paradoxen bestaan niet. De Engelse wiskundige en filosoof Bertrand Russell (1872-1970) kreeg het geniale idee om een paradox te bedenken die een einde zou maken aan alle voorgaande paradoxen:

“In een dorp is een barbier gevestigd die alle mannen scheert die zichzelf niet scheren. Vraag: wat doet die dorpsbarbier, scheert hij zichzelf, of niet?”

Deze vraag kan bevestigend noch ontkennend worden beantwoord. Want als de dorpskapper zichzelf scheert, kan hij zich volgens de definitie niet zelf scheren. Maar scheert hij zich niet, dan moet hij zichzelf wél scheren! De enige conclusie die nu kan worden getrokken is dat zo’n dorpskapper niet bestaat. Hij is slechts een fictie, een zinnetje op een vel papier. In de paradox wordt verondersteld dat zo’n kapper wel bestaat. Die veronderstelling is onjuist. De paradox bestaat dus niet.

Dankzij Russell was de wetenschap herboren. Vierentwintig eeuwen lang hadden paradoxen als een spook door de geschiedenis gewaard eri vele malen hun tol geëist. Ook Russells laatste paradox. Want voor Russells tijdgenoot, de filosoof en wiskundige Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925), betekende het de vernietiging van zijn belangrijkste werk.

Frege meende de crisis in de wiskunde te hebben opgelost en eindelijk definitief de grondslagen van de wiskunde te hebben vastgelegd. Juist in die tijd ging het tweede deel van zijn Grûndgesetze der Arithmetik ter perse. Tot hij een brief kreeg van zijn collega Russell, met daarin de paradox van de dorpsbarbier.

“Een geleerde kan nauwelijks in een minder benijdenswaardige positie geraken,” schreef Frege in het naschrift van zijn boek, “dan wanneer hij de grondslagen ineen ziet storten juist op het moment dat zijn levenswerk is voltooid. In deze positie heeft een brief van Bertrand Russell mij gebracht.” Het spel met de paradoxen heeft soms ernstige gevolgen gehad.

‘Wat hier staat is niet waar!’, is niet waar!

Taalkundige paradoxen kunnen worden opgelost als men verschillende taalniveaus onderscheidt. Het beroemdste voorbeeld is dat van Epimenides, de Kretenzer, die beweert: “Alle Kretenzers zijn leugenaars.” Zonder de paradox op te merken, herhaalde de apostel Paulus deze zin in zijn brief aan Titus: “Iemand uit hun eigen kring, hun eigen profeet, heeft gezegd: de Kretenzers zijn altijd leugenaars.”

Als we het probleem aan de werkelijkheid toetsen, zal blijken dat sommige, maar niet alle, Kretenzers misschien leugenaars zijn. En zij zullen soms liegen, evenals Epimenides zelf. Deze schijnparadox is van dezelfde vorm als de uitspraak: ‘Wat hier staat is niet waar!’ Hier is niet alleen sprake van een zin met een grammaticale structuur, maar ook van een zin met een bepaalde inhoud.

Hiertussen bestaat een essentieel verschil. Als deze taalniveaus met elkaar verward worden, kunnen we het woord ‘fiets’, een woord van vijf letters, verwarren met fiets, een voorwerp met twee wielen. Als we een duidelijk onderscheid maken tussen de taal over de dingen en de taal over de taal kunnen er geen paradoxen meer optreden.

In de normale omgangstaal gaan we er niet van uit dat we onware beweringen doen. ‘Wat hier staat is niet waar!’, betekent dus eigenlijk dat wat hier staat inderdáád niet waar is. Daarom had de kop van ons artikel beter kunnen luiden: “‘Wat hier staat is niet waar!’, is niet waar!” Dan kan er geen verwarring meer over bestaan dat we een waar verhaal hebben verteld!