Tegels voor keukens en badkamers zijn meestal vierkant of rechthoekig: je kunt er een muur mee betegelen zodat het hele vlak wordt opgevuld – niet echt spannend. Een Penrosebetegeling is een vlakvulling met een speciale eigenschap: de betegeling is a-periodiek. Dat wil zeggen dat je een Penrosebetegeling niet zódanig kunt verschuiven dat hij weer op zichzelf terechtkomt. Een betegeling met vierkanten of rechthoeken is wel periodiek: als je alles precies één vierkant of rechthoek naar rechts verschuift, is het patroon precies hetzelfde. Op de onderstaande foto zie je een Penrosebetegeling op een straat in Helsinki.
Een Penrosebetegeling op een straat in Helsinki.
Penrosebetegelingen en quasikristallen
Een stof heet een quasikristal als de atomen zich bevinden in een a-periodiek rooster – een rooster dat correspondeert met de a-periodieke Penrosebetegeling. Jules Mikhael en Clemens Bechinger van de universiteit van Stuttgart hebben de atoomstructuur van quasikristallen nagebootst op een iets grotere schaal, om de eigenschappen van quasikristallen te onderzoeken.
Zij legden een groot aantal kleine plastic balletjes in een bak met water. Door hun negatieve lading vormen de balletjes in water een perfect periodiek, driehoekig rooster. De balletjes proberen zo ver mogelijk uit elkaar te gaan liggen. Stoffen waarbij de atomen zich in een soortgelijk rooster bevinden, heten kristallen. Vervolgens werden er vijf laserstralen door de bak water heen gestuurd. De balletjes worden aangetrokken door de plaatsen waar de intensiteit van de laserstralen het grootst is, dat zijn de snijpunten van de laserstralen. Daardoor konden Mikhael en Bechinger de lasers zo plaatsen dat de balletjes zich na inschakeling van de lasers verplaatsten naar de gewenste a-periodieke toestand.
Een Archimedische vlakvulling is een vlakvulling met twee of meer soorten regelmatige veelvlakken. Deze figuur toont een Archimedische vlakvulling die bestaat uit drie verschillende regelmatige veelvlakken: de gelijkzijdige driehoek, het vierkant en de regelmatige zeshoek.
In het proces ontdekten de onderzoekers iets verrassends. Ze speelden wat met de intensiteit van de laserstralen en merkten dat de balletjes bij een hele lage intensiteit terugkeerden naar hun oorspronkelijke, periodieke toestand. Dat was zoals verwacht. Bij een tussenliggende intensiteit ontstond er echter ook een tussenliggend patroon, een patroon dat leek op een Archimedische vlakvulling: een vlakvulling met twee of meer soorten regelmatige veelvlakken, waarvan de zijden allemaal even lang zijn en waarbij alle punten waar verschillende veelvlakken elkaar raken identiek zijn. In de tussenliggende toestand vormden de balletjes afwisselend rijen van driehoeken en rijen van vierkanten, zie onderstaande illustratie.
Het patroon bij een tussenliggende laserintensiteit lijkt op een Archimedische vlakvulling. Het is geen echte Archimedische vlakvulling: de ene keer is er maar één rij driehoeken en de andere keer zijn er twee rijen driehoeken. Afbeelding: Nature. Klik op de afbeelding om een echte Archimedische vlakvulling bestaande uit driehoeken en vierkanten te zien.
Het verkregen rooster lijkt op een Archimedische vlakvulling, maar omdat het aantal rijen driehoeken dan eens één en dan eens twee is, zijn niet alle punten waar verschillende veelvlakken elkaar raken identiek. Hierdoor wordt de periodieke structuur onderbroken: er zijn punten waar twee vierkanten en drie driehoeken elkaar raken, maar ook punten waar zes driehoeken samenkomen.
Klik op het plaatje voor een vergroting. Afbeelding: Ingrid Schofron en Jules Mikhael
Fibonacci
Om de zoveel rijen is er dus een extra rij driehoeken. Op het eerste gezicht lijken de plaatsen waar zo’n extra rij driehoeken opduikt, willekeurig te zijn. Maar de rij van Fibonacci, die op zo veel onverwachte plekken in de natuur opduikt, verschijnt hier ook weer ten tonele: de rij rangnummers van plaatsen waar zo’n extra rij driehoeken voorkomt, blijkt precies de rij van Fibonacci te vormen!
De rij van Fibonacci begint zo: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Het volgende getal krijg je door de twee laatste getallen uit de rij bij elkaar op te tellen. Fibonacci-getallen duiken op onverwachte plekken in de natuur op. Een bekend voorbeeld is het hart van de zonnebloem, waar de zaadjes in gebogen ‘armen’ rond het middelpunt liggen. Het aantal armen dat met de klok mee loopt en het aantal dat tegen de klok in loopt, zijn opeenvolgende Fibonacci-getallen (21-34 of 34-55, enzovoorts). De reden is dat zaadjes telkens door jongere zaadjes uit het centrum weg gedrukt worden. Om toch een zo volledig mogelijk gevuld hart te behouden, moeten de zaden op deze manier gerangschikt liggen.
Zie ook:
- Penrose-betegelingen in Middeleeuwse Islamitische mozaïeken (Kennislinkartikel)
- Een extra dimensie aan regelmatige vlakvullingen (Kennislinkartikel)
- Penrosebetegeling (Wikipedia)
- Tiling by regular polygons (Wikipedia; Eng.)
- Een uitgebreide site over betegelingen en (quasi)kristallen (Eng.)