Je leest:

Wandelend zand

Wandelend zand

Waarom liggen vlakbij het strand vaak zandbanken? En hoe ontstaat het fraaie kronkelpatroon van geulen en zandplaten in de Waddenzee en de Westerschelde? Antwoorden op deze vragen zijn onder andere van groot belang voor het kustbeheer. Onderzoekers komen al een heel eind met eenvoudige fysische principes en een vernuftig stukje wiskundig gereedschap.

Wandel tijdens laag water langs het strand van de Noordzeekust en de kans is groot dat je een uitgestrekt patroon van zandribbels aantreft: de toppen zijn langgerekt, een paar vingers hoog, en ze liggen een handbreedte van elkaar. Je loopt er wat ongemakkelijk overheen, maar mooi zijn ze wel. Het samenspel van water en zand heeft aan het strand een golfstructuur geboetseerd; soms zie je zelfs een fraaie honingraatstructuur.

Als strandwandelaar zal het je weinig uitmaken hoe het ribbelpatroon er precies uitziet en hoe het in de loop van de tijd verandert. Toch zijn de ribbels zeer belangrijk voor een correcte beschrijving van de bodemwrijving, bijvoorbeeld in golfverwachtingsmodellen. Daarnaast kun je als strandwandelaar ook zandbanken zien in zee. Vaak zijn ze goed zichtbaar vanaf een hoge duin. In vergelijking met de ribbels hebben ze een veel grotere hoogte en liggen de toppen ook veel verder uit elkaar.

Bij eb wordt een uitgestrekt patroon van zandribbels zichtbaar. (Salco de Wolf/Ecomare)

Reuzenribbels

Zandbanken zijn reuzenribbels en kunnen gevaarlijk zijn voor schepen of voor de stabiliteit van boorplatforms. Net als de strandribbels ontstaan deze bodemvormen door het getouwtrek tussen water en zand. In kustzeeën zoals de Noordzee of de Waddenzee vind je golvende bodempatronen met toppen van wel tien meter hoog en tien kilometer van elkaar gescheiden. Hun hoogte, plaats en vorm veranderen voortdurend. Zo kunnen zandbanken in de eerste paar honderd meter uit de kust zich enkele tientallen meters per dag verplaatsen. In dieper water zijn deze snelheden kleiner: enkele meters per jaar.

Het gevaar van zandbanken ligt zowel in die verplaatsing als in hun verandering van vorm. Tegelijkertijd zorgen zandbanken echter ook voor een natuurlijke bescherming van de kust, die daardoor minder snel afslaat tijdens stormen. Hun aanwezigheid draagt tevens bij aan een rijk dierlijk en plantaardig leven.

Kustbeheerders als Rijkswaterstaat hebben behoefte aan modellen die het gedrag van zandbanken beschrijven en voorspellen. Binnen Nederland bestaat voor zulke studies een platform voor verschillende instituten en universiteiten: het Nederlands Centrum voor Kustonderzoek. Hierin werken wetenschappers van diverse pluimage samen: ingenieurs, fysisch oceanografen, fysisch geografen, geologen en wiskundigen. Een van de centrale vragen die de onderzoekers zich stellen is hoe je een goed model bouwt van het ingewikkelde samenspel van water en zand.

Dezelfde wiskunde

Of het nu gaat om strandribbels, zandbanken, geulen en platen in de Waddenzee of de Westerschelde, de wiskundige vergelijkingen die deze diversiteit aan bodempatronenen beschrijven zijn van hetzelfde type. Het zijn vooral de dominante fysische processen die voor elk type bodemvorm anders zijn. Zo worden strandribbels vooral bepaald door windgolven, terwijl geulen en platen ontstaan door de schurende werking van getijstromen.

Om het gedrag van bodemvormen te beschrijven en begrijpen, moeten we weten hoe water en bodem elkaar beïnvloeden. In dit verhaal kijken we alleen naar zand waarvan de korrels afmetingen hebben tussen de 0,1 en 1 millimeter. Een prettige eigenschap van deze deeltjes is dat ze bij onderling contact niet snel aan elkaar plakken, waardoor hun gedrag minder ingewikkeld is dan dat van fijner materiaal, zoals slib. De meest voorkomende vorm van zandkorrels lijkt op die van een rugbybal. Een zandige bodem bestaat dus uit een opeenstapeling van korrels, zoals knikkers in een pot. Om dit sediment te laten opwervelen is een voldoende grote kracht nodig, anders rollen de korrels niet uit de holten. Dat kun je zelf eenvoudig nagaan door een ventilator (met instelbare regeling) te laten blazen over een bak met zand.

In zee zijn de krachten die de waterbeweging op de bodem uitoefent het gevolg van de schurende werking van het water. De waterbeweging zelf ontstaat door getijkrachten (eb en vloed), het waaien van de wind (die zowel stromingen als golven opwekt) en door dichtheidsverschillen (bijvoorbeeld door rivierafvoer, neerslag of verdamping).

Als het zand eenmaal opwervelt, dan verplaatst de stroming het verder. Door variaties in de stroomsterkte ontstaan er van plaats tot plaats verschillen in het zandtransport. Daar waar meer (of minder) zand wordt aangevoerd dan afgevoerd, ontstaat een bank (of juist een geul). Omdat de vorm van de bodem op zijn beurt weer de waterbeweging beïnvloedt, is er sprake van een gekoppeld systeem.

Schematische modellering van een zandbank.

Drie submodellen

Hoe kunnen we de ingewikkelde vorming van zandbanken modelleren? Uit bovenstaand verhaal blijkt al dat een model voor zandbanken uit drie componenten moet bestaan: een submodel voor de waterbeweging, voor het zandtransport en voor de bodemveranderingen. Bekende fysische principes zoals de wetten van Newton en de wet van massabehoud leggen het gedrag van elk van de drie onderdelen vast. Deze principes laten zich vertalen naar wiskundige (differentiaal)vergelijkingen. Voor de meeste toepassingen zijn deze vergelijkingen te ingewikkeld om met potlood en papier op te lossen en moet een grote computer soelaas bieden.

Op het eerste oog lijkt dit een routineklus, maar in de praktijk treden er grote problemen op. Een belangrijke reden is dat we een groot aantal verschillende processen moeten beschrijven die zich op heel verschillende tijd- en lengteschalen afspelen. Zo heeft een windgolf een typische periode van tien seconden en een golflengte van enkele tientallen meters, terwijl veranderingen in een zandbank nabij de kust (met afmetingen van enkele kilometers) pas merkbaar zijn na vele tientallen jaren.

Wandelend zand

Niet elk detail

Zelfs met een supercomputer is het onmogelijk om bij het modelleren van zo’n zandbank ook elke afzonderlijke windgolf in detail te beschrijven, terwijl uit waarnemingen blijkt dat ze wel van groot belang zijn. De invloed van dergelijke kleinschalige processen kunnen we alleen in een model verdisconteren door ze op een effectieve en fysisch onderbouwde manier te parameteriseren: we nemen niet elke afzonderlijke windgolf mee, maar een netto effect van vele windgolfjes op stroming en zandtransport. Hierbij maken we veel gebruik van kennis die tijdens meetcampagnes in het veld is opgedaan.

Een ander probleem is dat het lastig is om een precieze formulering te geven van de hoeveelheid zand die wordt opgewerveld en getransporteerd bij bekende stromingscondities. Vanwege de enorme aantallen deeltjes is het onmogelijk dit transport op korrelniveau te beschrijven; daarom maken we ook hier gebruik van bulkformuleringen. Globaal gezien komen deze neer op de volgende simpele uitgangspunten: hoe harder het stroomt, hoe meer sediment er wordt getransporteerd; verder bewegen korrels gemakkelijker een helling af dan een helling op.

Zulke bulkformuleringen worden getest en fijngeregeld door modeluitkomsten te vergelijken met veld- en laboratoriummetingen. Voor stromingen met een dominante richting (zoals in rivieren) is de nauwkeurigheid van deze formuleringen zeer behoorlijk: in de orde van vijf tot tien procent. In kustzeeën is echter meestal sprake van sterke, heen en weer gaande stromingen, die het gevolg zijn van eb- en vloedverschillen en golven. Aangezien het gedrag van bodemvormen wordt bepaald door het netto zandtransport over een lange periode, kan er sprake zijn van grote relatieve fouten. Je trekt immers twee relatief grote getallen (denk bijvoorbeeld aan de transporten tijdens eb en vloed) van elkaar af. Vergelijk dit met het eenvoudige sommetje (10 ± 1)-(9 ± 1) = 1 ± 2. De relatieve fout in het eindantwoord is enorm groot; zelfs het teken (positief of negatief) is onzeker.

Kijk en vergelijk

Ondanks alle problemen bij de modellering is de huidige generatie computermodellen in staat om het gedrag van zandbanken te simuleren; afhankelijk van de toepassing lukt dat over een periode van maanden tot enkele jaren. Langere perioden zijn nog niet mogelijk vanwege de onzekerheden in de modelformulering, maar ook vanwege de beperkte geheugen- en rekencapaciteit van computers.

Als alternatief gebruiken we daarom voor het maken van voorspellingen over langere perioden op waarnemingen gebaseerde modellen. Deze gaan uit van waargenomen relaties tussen fysische grootheden, bijvoorbeeld tussen de dwarsdoorsnede van een geul en de hoeveelheid water die per getijperiode door die geul wordt getransporteerd. Dit soort modellen zijn ondermeer gebruikt bij het voorspellen van de invloed van gaswinning op het gedrag van de bodem van de Waddenzee. Hierin schuilt echter een gevaar: omdat de modellen gebaseerd zijn op ervaringen uit het verleden, geven ze zeker geen garantie voor een juiste voorspelling naar de toekomst. Daarnaast verschaffen ze weinig inzicht in de onderliggende fysica.

Voor het vinden van antwoorden is het dan ook nuttig om geïdealiseerde modellen te ontwikkelen en te analyseren. In zulke modellen maken we verregaande aannamen over de geometrie van een gebied en de natuurkundige processen die we meenemen. Zo vervangen we grillige kusten door meer gladde randen en bekijken we bijvoorbeeld alleen het sedimenttransport door getijden. Het resultaat is een sterk vereenvoudigd model, dat daardoor wel zeer geschikt is om het te bestuderen met wiskundige methoden. Dit leidt tot nieuwe en boeiende inzichten.

Ingedamde Lauwerszee

Laten we naar een praktijkvoorbeeld kijken, en wel naar een Nederlandse stukje Waddenzee, namelijk het Friese Zeegatsysteem, gelegen tussen Ameland en Schiermonnikoog aan de ene kant, en de ingedamde voormalige Lauwerszee aan de andere kant. Voor 1969 bevonden de hoofdgeulen van het Friese Zeegatsysteem zich in een gebied van ongeveer dertig kilometer lang en vijf kilometer breed. In 1969 werd de Lauwerszee, de zeeinham op de grens van de provincies Groningen en Friesland, ingedamd, waardoor het oppervlak van het Friese Zeegatsysteem met ongeveer dertig procent afnam. Het gevolg was een afname van de getijdestromen, een verschuiving van de ‘kanalen’ in oostwaartse richting en een netto import van sediment. Tussen 1970 en 1987 bedroeg de netto zandimport ongeveer 300.000 vrachtwagens.

Wat onderzoeken we in zo’n geïdealiseerde modelversie? We gaan uit van sterk vereenvoudigde aannamen over fysica en geometrie van het beschouwde stukje Waddenzee. Zo beschouwen we in dit voorbeeld een rechthoekig domein waarbij we voorschrijven dat er in de richting dwars op de kusten geen transporten van water en sediment plaatsvinden. Vervolgens rekenen we uit hoe de getijdebewegingen inwerken op het zandtransport, welke gevolgen dat weer heeft voor de getijbeweging.

De eerste vraag, die we dikwijls met een dergelijk model onderzoeken, is of er, bij vaste gegeven externe omstandigheden, eenvoudige bodemprofielen voorkomen, zodanig dat er nergens in het gebied netto zandtransporten bestaan. Dergelijke, zogeheten morfodynamische evenwichten hebben eigenschappen die dikwijls al een goed beeld geven van wat er in een bepaald gebied aan bodemvormen verwacht kan worden. Zo heeft een geïdealiseerd model van een Waddenzeebekken een morfodynamisch evenwicht dat zich kenmerkt door een hellende bodem, waarbij de waterdiepte vanaf zee richting land met een constante hellingshoek afneemt. De berekende bodemprofielen en het gedrag van de waterbeweging blijken behoorlijk goed overeen te komen met waarnemingen in diverse Waddenzeebekkens. Ook de netto zandimport in een bekken als het Friese Zeegatsysteem ten gevolge van verkleining van het oppervlak of door zeespiegelstijging wordt goed beschreven.

Bodemkaart Friese Zeegatsysteem. De blauwe kleur geeft diep aan; de gele kleur ondiep. De pijltjes stellen de netto stroming voor.(Rijkswaterstaat & Anneke Hibma (TU Delft))

Storingen

Uiteraard heeft dit evenwicht ook beperkingen: het geeft bijvoorbeeld geen verklaring voor het bestaan van geulen en zandplaten. Laatstgenoemden kunnen we begrijpen door een studie van de stabiliteit van zo’n morfodynamisch evenwicht. We verstoren het evenwicht door op willekeurige plaatsen een heel klein beetje zand weg te halen of toe te voegen. Vervolgens berekenen we met het model de ontwikkeling van deze storingen in de tijd. Vergelijk het maar met de situatie van een knikker die bovenop een heuvel ligt. Dit is een evenwichtssituatie, maar ze is instabiel: door een zetje rolt de knikker van de heuvel af. Ligt de knikker echter in een kuil, dan zal een zetje de knikker wat heen en weer laten slingeren, maar de uitwijkingen worden in de loop van de tijd steeds kleiner. De knikker blijft dus in de kuil: dit evenwicht is stabiel.

In een water-zand-model kunnen we via de zogenaamde lineaire stabiliteitsanalyse nagaan hoe de waterbeweging (en daarmee het zandtransport) reageert op aangebrachte verstoringen. De amplitude van zo’n verstoring als functie van de tijd beschrijven we door een differentiaalvergelijking. Neemt de amplitude in de loop van de tijd alleen maar af, dan dempt de verstoring uit. Dit komt overeen met de situatie waarbij er een netto zandtransport vanaf de banken naar de geulen plaatsvindt. Er zijn echter ook omstandigheden (bijvoorbeeld bij een voldoende sterke ge-tijstroming) waarbij er zich netto zand verplaatst vanuit de geulen richting de banken. In dat geval treedt er groei op van bepaalde verstoringen, die een bekende ruimtelijke structuur hebben. Het patroon met de grootste groeisnelheid zal, binnen de geldigheidsgrenzen van deze theorie, gerealiseerd worden.

Meerdere evenwichtssituaties

In een eenvoudig model komen we zo al heel wat te weten over zeer elementair gedrag van een zandbank. Door zijn eenvoud geeft het model ook een helder conceptueel inzicht. De evenwichtssituatie van een bodempatroon en de vorming van geulen en platen zoals in het Waddenzeevoorbeeld is nog relatief eenvoudig te vinden. Veel moeilijker te beantwoorden, maar daarmee natuurlijk ook een enorme uitdaging, is de vraag wat het gedrag is van bodempatronen lange tijd nadat ze zijn ontstaan. Ze hebben dan amplitudes bereikt die niet langer meer klein zijn ten opzichte van de waterdiepte. De lineaire stabiliteitstheorie is dan niet langer meer geldig, omdat afzonderlijke patronen elkaars ontwikkeling gaan beïnvloeden. Diverse patronen gaan dan niet-lineair met elkaar wisselwerken. Toch kunnen we hier met niet-lineaire wiskunde inzicht in verkrijgen. Niet-lineaire modellen laten bijvoorbeeld het bestaan toe van meerdere evenwichtssituaties bij dezelfde externe omstandigheden.

Tevens bestaat er de mogelijkheid op het aantreffen van chaotische oplossingen. Dergelijke oplossingen kenmerken zich door een extreme gevoeligheid voor beginwaarden, zodat kleine fouten in de loop der tijd groeien en daarmee op den duur een voorspelling waardeloos maken. Chaotisch gedrag wordt vrij vaak gevonden in onder andere modellen die het gedrag van luchtstromingen in de atmosfeer beschrijven.

In de morfodynamica is het bestaan van chaotische oplossingen tot nu toe echter niet op overtuigende wijze aangetoond. Wel bestaat het sterke vermoeden dat ze bestaan. Daartoe moeten we modellen analyseren die uit zeer grote aantallen niet-lineaire differentiaalvergelijkingen bestaan. Momenteel gebeurt veel onderzoek om deze stelsels weer te reduceren door op een slimme manier andere basispatronen te kiezen.

Stabiliteitsanalyse – een vernuftig stukje wiskundig gereedschap

Stabiliteitsanalyse is een krachtig wiskundig hulpmiddel om de groeisnelheid, maar ook om de patronen en verplaatsingssnelheden van de bodemverstoringen te berekenen. Tevens geeft deze methode de mogelijkheid om te begrijpen hoe het groeiproces precies werkt en welke processen daarbij belangrijk zijn. Hoe groter de groeisnelheid, hoe meer waarschijnlijk dat zo’n patroon zich zal voordoen. De verstoring met de grootste groeisnelheid is dominant. Voor een zandribbel geldt een typische verdubbelingstijd van enkele minuten, bij Waddengeulen en platen ligt dat in de orde van enkele jaren!

Uit lineaire stabiliteitsanalyse, de meest eenvoudige stabiliteitsanalyse, weten we dat we vrijwel alle waargenomen bodemvormen (waaronder geulen en platen in de Waddenzee, strandribbels en zandbanken) kunnen verklaren als spontane instabiliteiten: ze ontstaan door de interne dynamica van het gekoppelde water-bodemsysteem en niet door externe krachten. In de Waddenzee is daarbij het getij belangrijk, dichter bij het strand is vooral de invloed van golven cruciaal.

Ook al is lineaire stabiliteitsanalyse een krachtig wiskundig hulpmiddel, het heeft een grote beperking: het geeft namelijk geen inzicht in het uiteindelijke gedrag van de bodemverstoringen. Dit gedrag is alleen geldig zolang de verstoringen klein zijn, dus tijdens de eerste ontstaansfase, maar in de loop van de tijd moeten we ook andere, niet-lineaire processen in rekening brengen. Dit zorgt ervoor dat het gedrag van de bodemvormen wordt beïnvloed door hun eigen bestaan en dat van andere verstoringen.

Om dit gedrag in water-zand modellen te beschrijven, stellen we de bodem (die een functie is van de plaats en de tijd) samen uit een reeks van bodempatronen die we kennen uit de lineaire stabiliteitsanalyse. De patronen zijn daarbij zo gerangschikt dat de eerste patroon de meest dominante mode is, het tweede patroon is de mode met de op één na grootste groeisnelheid, enz.. De reeks wordt afgekapt na een eindig aantal modi. Afhankelijk van het soort probleem dat we bestuderen, nemen we tussen de 10 en 1000 patronen mee.

Zandbanken bekijken vanuit de luie stoel

Zandbanken in de eerste paar honderd meter uit de kust zijn vaak al met het blote oog te zien omdat golven de neiging hebben om boven zulke ondiepten te breken: het witte schuim verraadt dus de positie van de banken. Vergeleken met de strandribbels hebben deze bodemvormen aanzienlijk grotere hoogten: ongeveer één tot drie meter. Tegenwoordig maken videocamera’s op een aantal plaatsen ter wereld (ondermeer in Amerika, Australië en Nederland) om de tien minuten opnamen van deze schuimpatronen. Je kunt ze bekijken via internet (Costal imaging lab).

Daar waar de witte schuimintensiteit kleiner is, bevinden zich de bij zwemmers beruchte, en voor surfers zeer gewenste, zeewaarts gerichte terugstromen. De posities ervan kunnen van uur tot uur variëren.

Bronnen:

Waves, tides and shallow water processes, Open University Course Team (1989) Open University, Walton Hall, in samenwerking met Pergamon Press.

Dit artikel is een publicatie van Natuurwetenschap & Techniek.
© Natuurwetenschap & Techniek, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 april 2001

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE