Ton Dieker deed de afgelopen vier jaar onderzoek naar wachtrijtheorie. Hierbij worden systemen bestudeerd waarbij klanten aankomen, eventueel wachten tot ze aan de beurt zijn en weer weggaan als ze geholpen zijn. Denk maar aan een dokterspraktijk, de patiënten komen binnen en wachten in de wachtkamer tot ze aan de beurt zijn. In een goed werkend systeem hoeven de patiënten niet al te lang in de wachtkamer te zitten en is er voor iedereen plaats om te wachten.

Dieker bestudeerde geen dokterspraktijken, maar juist systemen waar heel veel klanten vlak achter elkaar binnen komen en waarbij klanten niet lang geholpen hoeven te worden. Voor deze systemen kunnen de aankomende klanten als een steeds doorgaande vloeistofstroom gezien worden. Dit soort modellen is van toepassing op verschillende moderne communicatienetwerken. Denk maar aan internet of netwerken voor mobiele telefonie.

Vloeibare klanten

Bij het vloeistofmodel dat gebruikt wordt voor dit soort systemen komt vloeistof in een buffer terecht die met een bepaalde vaste snelheid leegstroomt. Als er meer vloeistof binnenkomt dan er weg kan stromen, wordt de extra vloeistof opgeslagen in de buffer. Als er later minder vloeistof binnenkomt dan er wegstroomt, dan loopt de buffer weer leeg.

De buffer heeft een vaste grootte en een belangrijke vraag is nu hoe groot de kans is dat de buffer vol raakt. Dieker onderzocht de kansverdeling van de bufferinhoud. Als je systeem lange tijd loopt, hoeveel klanten zitten er dan in de buffer? En als de buffer lang achter elkaar niet meer leeg wordt, hoe komt dat dan? Om deze vragen te beantwoorden werkte Dieker met extremen (maxima in de processen). Het voordeel is dat de opgebouwde theorie daardoor ook gebruikt kan worden in risicotheorie en financiële wiskunde.

Meer dan één model

Om bijvoorbeeld internetverkeer op deze manier te analyseren, moet een model bedacht worden voor de aankomst van de klanten. Je weet niet wanneer er klanten zullen binnenkomen en hoeveel tijd ze nodig hebben om geholpen te worden. Dieker: “De meningen over hoe je dit het beste kan modelleren lopen uiteen. Je moet eerst kiezen wat je precies wil meten. Alleen al bij internetverkeer zijn er veel verschillende mogelijkheden. Emailen levert een heel ander patroon dan online video kijken of films downloaden. Een model voor een van deze dingen hoeft helemaal geen goed model te zijn voor iets anders.”

Twee veel gebruikte modellen voor de instroom van klanten zijn Gaussische en Lévy inputstromen. De eerste zijn vooral geschikt voor internetverkeer en de laatste voor telefonienetwerken. Bij Gaussische stromen zijn er sterke overeenkomsten mogelijk tussen klanten op verschillende tijdstippen. Dat komt overeen met wat er gebeurt bij downloaden van grote bestanden. Als je ’s morgens begint met het downloaden van een film, dan is de kans groot dat je computer daar een paar uur later nog mee bezig is. Natuurlijk is dit belangrijk bij het analyseren van de buffer, het downloaden van een grote file werkt lang door. De verschillende modellen zijn met verschillende technieken aangepakt en geven ook compleet verschillende resultaten.

Dieker heeft met zijn proefschrift vooral naar de theoretische kant van dit probleem gekeken. Andere promovendi zijn bezig met het maken van de tweede stap: Wat betekent dit nou voor de praktijk?