Je leest:

Waar wiskunde en astrofysica elkaar ontmoeten

Waar wiskunde en astrofysica elkaar ontmoeten

Auteur: | 12 juni 2008

De zwaartekracht van extreem grote sterrenstelsels kan licht net als een lens in boogjes buigen. Zuiver wiskundig onderzoek heeft nu laten zien hoeveel beelden dan ontstaan: voor n sterren zijn het er 5n – 5. Die formule kwam bij toeval uit een algebra-onderzoek gerold en was meteen nuttig voor astronomen.

Veel wiskundigen doen hun werk zonder zich te bekommeren om eventuele praktische toepassingen. Verrassend genoeg blijken veel abstracte wiskundige ideeën wel degelijk toepasbaar in andere takken van wetenschap. In de Notices of the American Mathematical Society van deze maand publiceren wiskundigen Dmitry Khavinson (universiteit van South Florida) en Genevra Neumann (universiteit van Northern Iowa) een artikel dat een vraagstuk uit de astrofysica beantwoordt.

Een gravitatielens (of zwaartekrachtlens) is een zeer sterk zwaartekrachtveld, zoals dat van een sterrenstelsel of een zwart gat, dat het licht van een daarachterliggend voorwerp afbuigt. Dit lenseffect treedt op wanneer waarnemer, zwaartekrachtveld (lens) en achterliggende voorwerp (bron) ongeveer op één lijn staan. Het effect wordt gebruikt om via de ‘gratis’ telescoop verder de ruimte in te kijken. In deze afbeelding zijn langgerekte lichtbogen en uitgesmeerde sterrenstelsels zichtbaar. Hun licht is door de tussenliggende cluster van duizenden sterrenstelsels zwaar verbogen. Afbeelding: zwaartekrachtlens rond de cluster Abell 1689, gefotografeerd door de Hubble-telescoop.

Einstein

Einstein rekende het voor, maar het was een schok toen waarnemingen het lieten zien: zwaartekracht trekt niet alleen massa uit zijn baan, maar ook gewichtloos licht! Er zijn concentraties van duizenden keer de massa van de zon nodig nodig voor een gravitatielens die duidelijk zichtbaar effect heeft, maar in het heelal is zoveel materiaal ruimschoots voorhanden. Sterrenstelsels als de Melkweg bevatten miljarden sterren en zijn zelf weer gegroepeerd in clusters van duizenden sterrenstelsels. Als zo’n cluster tussen de aarde en een ver verwijderd sterrenstelsel staat, wordt het licht van het ‘doel’ om de cluster heen gebogen en op de aarde gefocust. Net een lens – of een telescoop.

Zwaartekrachtlenzen maken het sterrenkundigen mogelijk objecten te zien op zeer grote afstand in het heelal. Deze lenzen maken van eenzelfde object meerdere afbeeldingen. In de onderstaande afbeelding zie je het zogeheten ‘Einsteinkruis’: vier afbeeldingen van dezelfde quasar, veroorzaakt door het sterke lenseffect van een sterrenstelsel op de voorgrond.

Enkele jaren geleden vroeg Sun Hong Rhie (universiteit van Notre Dame in Indiana, VS) zich af hoeveel beelden een gravitatielens precies kan produceren van hetzelfde object. Ze bestudeerde clusters van sterren en onderzocht hoeveel beelden we hiervan kunnen zien. Bij een cluster van vier sterren – drie in de vorm van een gelijkzijdige driehoek en één in het midden – bleken er 15 beelden mogelijk te zijn.

Later vond Rhie een algemener resultaat: een lens die bestaat uit een cluster van n sterren kan 5 n – 5 beelden produceren. De onderzoekster vermoedde dat dit het maximale aantal is dat mogelijk is, maar kon dit niet bewijzen.

Het Einsteinkruis, vier afbeeldingen van dezelfde quasar (fel stralend sterrenstelsel ver in het heelal) veroorzaakt door het sterke lenseffect van een sterrenstelsel op de voorgrond.

Verrassing

Op hetzelfde moment waren Khavinson en Neumann, beiden wiskundige, bezig met een probleem dat hier ogenschijnlijk niets mee te maken heeft. Zij waren bezig met een soort uitbreiding van de hoofdstelling van de algebra. ‘Wiskunde om de wiskunde’ zou je kunnen zeggen, maar tot ieders verrassing bevatte hun werk het antwoord op de vraag die Rhie zichzelf had gesteld. Khavinson en Neumann bestudeerden zogeheten rationale harmonische functies. Een rationale functie is een quotiënt van twee polynomen, zoals ( x5 + 2 x2 + 1)/( x2 – 2), zie ook het onderstaande kader.

Polynomen en de hoofdstelling van de algebra

Een polynoom is een uitdrukking die bestaat uit getallen en machten van een variabele x. Bijvoorbeeld x2 + 2x + 1 is een polynoom, x – 85 ook, net zoals 15x35 + 26x21 -3x4 + 3. De getallen die vóór de machten van x staan noemen we coëfficiënten.

Een polynoomvergelijking is een vergelijking die bestaat uit polynomen en een =-teken, bijvoorbeeld x2 + 2x + 1 = 0, of x2 + 2x + 1 = x, of x3 – 5 = x4 + x3 – 2. Een polynoom heeft een graad: de graad van een polynoom is de hoogste macht van x die voorkomt. De graad van x2 + 2x + 1 is dus 2 en de graad van x35 is 35.

Een n-degraadsvergelijking is een polynoomvergelijking waarin de hoogste macht van x die voorkomt n is. Op school leer je dat een tweedegraadsvergelijking (ax2 + bx + c = 0) twee oplossingen heeft, die je kunt vinden met de zogeheten abc-formule. De discriminant (b2 – 4ac) moet dan wel positief zijn, anders zijn er geen oplossingen. Als we met complexe getallen rekenen, zijn er ook oplossingen als de discriminant negatief is. In het algemeen geldt dat een n-degraadsvergelijking precies n complexe oplossingen heeft (waarvan sommige mogelijk samenvallen); dit is een van de belangrijkste resultaten in de wiskunde en wordt de ‘hoofdstelling van de algebra’ genoemd. Deze stelling werd al in de achttiende eeuw bewezen.

Van een bepaalde klasse van rationale harmonische functies wisten Khavinson en Neumann te bewijzen dat het aantal nulpunten nooit meer kan zijn dan 5 n – 5 (hierbij is n wederom de graad). De vraag of dit aantal ook werkelijk gehaald wordt, wisten zij echter niet te beantwoorden; het werkelijke aantal nulpunten zou minder kunnen zijn.

Een Einsteinring is een ring van licht die aan de hemel te zien is met een goede telescoop. De ring wordt veroorzaakt door een gravitatielens. Het licht van een zeer verre bron buigt door de zwaartekracht om een sterrenstelsel (de gele objecten in de afbeelding) heen. Bron: NASA, ESA, and the SLACS Survey team: A. Bolton (Harvard/Smithsonian), S. Burles (MIT), L. Koopmans (Kapteyn), T. Treu (UCSB), and L. Moustakas (JPL/Caltech).

Toevallige samenloop

Zowel in het onderzoek van Rhie als van Khavinson en Neumann kwam het aantal 5 n – 5 naar voren. Toen ze dat ontdekten, kwam natuurlijk vanzelf de vraag of dat toeval is of niet. Om het aantal beelden in een gravitatielens te berekenen, moet je een vergelijking die een rationale harmonische functie bevat, oplossen.

Toen wiskundige Jeff Rabin (universiteit van Califonië) een preprint van Rhie’s werk bestudeerde, vielen de puzzelstukjes op hun plaats. Het werk van Rhie bleek het bewijs van de wiskundigen aan te vullen, en het werk van de wiskundigen bevestigde Rhie’s vermoeden: 5 n – 5 is het werkelijke aantal beelden van een cluster van n sterren. Dat iemand buiten de wiskunde iets aan hun resultaat zou hebben, konden Khavinson en Neumann op voorhand niet vermoeden.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 12 juni 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.