Je leest:

Vol van tetraëders en octaëders

Vol van tetraëders en octaëders

Drie wiskundigen van Princeton University hebben een methode gevonden om een ruimte te vullen met regelmatige viervlakken en regelmatige achtvlakken. Toepassingen van deze resultaten liggen op het gebied van de materiaalkunde.

Yang Jiao en Salvatore Torquato – beiden verbonden aan Princeton University – zijn oude bekenden als het gaat om het opvullen van een driedimensionale ruimte met verschillende meetkundige objecten. De afgelopen jaren hebben ze samen verschillende resultaten behaald op het gebied van pakkingen: zo veel mogelijk van een ruimte vullen met regelmatige veelvlakken van gelijke grootte. Met regelmatige viervlakken bereikten ze een vullingsgraad van ruim 85 procent.

Het vullen van de driedimensionale ruimte met voorwerpen anders dan kubussen is een oud probleem, maar nog altijd onderwerp van hedendaags onderzoek. Jiao, Torquato en Conway hebben een vulling gevonden die gebruik maakt van tetraëders (regelmatige viervlakken) en octaëders (regelmatige achtvlakken). De afbeelding toont vier mogelijke manieren van vullen, waarop oneindig veel variaties mogelijk zijn.
Salvatore Torquato

In een artikel dat deze zomer verscheen in de Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS), hebben ze samen met John Conway – een van de beroemdste wiskundigen van deze tijd en net als Jiao en Torquato verbonden aan Princeton – gekeken naar betegelingen van een ruimte. Ze hebben octaëders (regelmatige achtvlakken) en tetraëders (regelmatige viervlakken) gebruikt om de hele ruimte zonder gaten mee op te vullen.

De simpelste manier om een ruimte op te vullen met regelmatige veelvlakken is door kubussen op elkaar te stapelen. Ook is er al lang een betegeling bekend met octaëders en tetraëders waarbij iedere octaëder vergezeld wordt door twee tetraëders.

Hier zijn tetraëders afgebeeld. In de gaten passen precies octaëders.
Ruggero Gabbrielli

Conway, Jiao en Torquato hebben een nieuwe betegeling gevonden waarbij iedere octaëder vergezeld wordt door zes kleinere tetraëders. Volgens Torquato is deze betegeling op een essentiële manier anders dan de tot nu toe bekende betegelingen met dezelfde veelvlakken.

Bovendien heeft de betegeling een veel rijkere structuur. De ruimte wordt onderverdeeld in 694 aparte concave cellen die herhaald worden. En er zijn oneindig veel variaties op deze betegeling mogelijk.

Het drietal wiskundigen vindt het verwonderlijk dat deze betegeling zo lang over het hoofd is gezien. Mogelijke toepassingen van deze resultaten liggen vooral op het gebied van materiaalkunde, het bestuderen van eigenschappen van materialen en het ontwerpen van nieuwe materialen, maar bijvoorbeeld ook bij het verbeteren van transportnetwerken of het opslaan van data.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van Nieuw Archief voor Wiskunde (KWG).
© Nieuw Archief voor Wiskunde (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 26 augustus 2011
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.