Oosterzele, Herzele, Zottegem, Woubrechtegem: het zijn plaatsnamen die beelden oproepen van wielertoeristen die hún Ronde van Vlaanderen rijden. Een wandelclub bestempelde Woubrechtegem als het rustigste dorpje van Vlaanderen, al moet er zeker een Vlaamse film geweest zijn die zich in de streek afspeelde – met Jan Decleir in de hoofdrol, vloekend op een erf. Toch staat er een merkwaardig symbool ter ere van een belangrijk persoon centraal op het dorpsplein: een afgebroken zuil, een teken van een vroegtijdig beëindigd leven.

Belg met Italiaanse roots

Inderdaad, een eersterangswetenschapper is hier gestorven: Gasparo Pagani, een Italiaanse politieke vluchteling. Hij bedacht de triëder uit de differentiaalmeetkunde die nu in de literatuur genoemd wordt naar de Franse wiskundigen Jean Frenet en Joseph Serret. Elke student wiskunde heeft er aan de universiteit kennis mee gemaakt: een waar koninginnenstuk uit de ruimtemeetkunde. Maar eigenlijk was het de Italiaanse Belg Pagani die de triëder ontdekte. En hij ligt begraven in het dorpje Woubrechtegem.

Gasparo Michel-Marie Pagani de la Torre werd geboren op 12 februari 1796 in San Giorgio in de regio van Piemonte. Het gebied in het noordwesten van het huidige Italië behoorde toen tot het koninkrijk van Sardinië, wat in sommige bronnen leidde tot het misverstand dat Pagani op het eiland was geboren. Het gebied zou vandaag ressorteren onder de hoofdplaats Turijn, wat meteen uitlegt waarom hij inderdaad studeerde aan de universiteit van Turijn.

Na zijn wiskundige studies werd hij er benoemd aan De Munt (zeg maar, ‘de bank’). Maar in de turbulente tijden van 1820 – revolutionairen streden voor de Italiaanse eenmaking – vluchtte hij naar Zwitserland om uiteindelijk in 1822 in Brussel te belanden. Hij kwam er in contact met de wiskundige Adolphe Quetelet en schreef twee verhandelingen die in 1824 en 1825 bekroond werden door de Koninklijke Academie van Brussel.

Het leverde hem het lidmaatschap op van deze Academie en – in 1826 – een professoraat aan de universiteit van Leuven. Nadat het voorlopig bewind – in het streven naar één Belgische universiteit – in 1830 de faculteit wetenschappen van de Leuvense universiteit had geschrapt, ging hij in 1832 onderwijzen aan de universiteit van Luik, om ten slotte in 1835 naar Leuven terug te keren toen dat opnieuw mogelijk was. Hij schreef een basiswerk over de meetkunde en de toegepaste mechanica, maar publiceerde ook in gerenommeerde wiskundige tijdschriften.

De stelling van Serret-Frenet-Pagani gaat over een totaal willekeurig krioelende lijn in de ruimte, zoals de baan van een achtbaan.

Hij kreeg internationale erkenning, niet alleen in Turijn, waar zijn voormalige landgenoten zijn wiskundig werk nog steeds bleken te waarderen, maar ook in Frankrijk. Zijn loopbaan eindigde in 1853, toen hij zich om gezondheidsredenen moest terugtrekken.

Miskend topwiskundige

Voor zijn belangrijkste vinding kreeg hij echter niet de erkenning die hij verdiende. Het betreft de drievlakshoek gevormd door de raaklijn, de hoofdnormaal en de binormaal in een punt aan een kromme. De triëder wordt echter in de literatuur steevast vernoemd naar Jean Frenet en Joseph Serret. Frenet had immers in zijn thesis van 1847 zes van de negen formules gepubliceerd, terwijl Serret alle negen formules bewees – volledig onafhankelijk van Frenet, al deed hij dit later – in 1851.

Maar in een publicatie over de geschiedenis van de Leuvense universiteit stelt Jean Mawhin, wiskundige aan de universiteit van Leuven, dat Pagani al in 1832 ruimtekrommen bestudeerde aan de hand van de drievlakshoek gevormd door raaklijn, hoofdnormaal en binormaal in elk punt. De Belgische wiskundige Lucien Godeaux (1887–1975) hield het erop dat Pagani de eerste reeks formules in 1847 neerschreef, nog voor Frenet, al was het dan in hetzelfde jaar. Bovendien wijst ook hij erop dat Pagani hoe dan ook onafhankelijk had gewerkt en dus zeker een naamsvermelding verdient.

De triëder van Serret-Frenet-Pagani

De stelling die vervat zit in de formules van Serret-Frenet-Pagani handelt over een kromme die zich op een totaal willekeurige wijze in de ruimte bevindt. Met andere woorden, over een totaal willekeurig krioelende lijn in de ruimte zoals de baan van een achtbaan die haar passagiers heen en weer door de ruimte doet klieven. Het merkwaardige is nu dat wiskundigen toch ‘veel’ kunnen zeggen over zo’n totaal willekeurige kromme, en hun bevindingen kunnen formuleren in een stelsel dat esthetisch én eenvoudig oogt; zelfs voor niet-wiskundigen.

De begrippen ‘kromming’ en ‘torsie’ liggen aan de basis. De ‘kromming’ in een punt van een kromme is eigenlijk eenvoudig te begrijpen: ze stelt hoe erg een kromme kromt in dat punt, dus hoe erg ze afwijkt van een rechte en hoe goed ze een cirkel benadert. Ze wordt gedefinieerd als het omgekeerde van de straal van een cirkel die in dat punt zo dicht mogelijk bij de kromme ligt, en de ‘raakcirkel’ heet.

Voor een rechte lijn is de kromming nul (de ‘raakcirkel’ zou immers een oneindig grote straal moeten hebben). Als de kromme zelf een cirkel is, is de kromming gewoon het omgekeerde van de straal van die cirkel. De kromming van een cirkel met een straal 1000 is klein (1/1000 = 0,001) en die van een cirkel met straal 0,1 groot (1/0,1 = 10) wat overeenstemt met het intuïtieve idee dat de eerste cirkel van dichtbij gezien bijna recht is, terwijl de tweede veel meer gekromd is. Het symbool voor deze kromming is κ (de Griekse letter kappa).

De raakcirkel ligt in een vlak dat het ‘raakvlak’ heet van de kromme in dat punt. Het is alsof de kromme in dat punt ‘microscopisch’ gezien ‘eventjes’ in dat vlak ligt. Als de kromme zelf vlak is, is dit raakvlak natuurlijk het vlak zelf waarin die kromme ligt. Zoniet, wanneer de kromme willekeurig door de ruimte loopt, kan ze wel ‘tijdelijk’ in het raakvlak liggen, en desnoods is dat alleen maar in een punt zelf, maar zal ze daarna onmiddellijk wegdraaien. De manier waarop ze uit dat raakvlak wegdraait wordt gegeven door de ‘torsie’. Het is als het ware een graadmeter voor het ruimtelijke wringen van de kromme. Een schroef heeft bijvoorbeeld een constante torsie. Het symbool voor de torsie is τ (de Griekse letter tau).

Stel nu dat aan elk punt van een kromme een assenstelsel wordt verbonden, waarvan de oorsprong ligt in dat punt. Eén as leggen we volgens de raaklijn aan de kromme in dat punt, dat is de rechte die in dat punt zo dicht mogelijk bij de kromme komt, die dus aan de kromme raakt. De andere as leggen we volgens de straal van de raakcirkel, en de derde as volgens de loodlijn op de raaklijn en op de straal van de raakcirkel. Welnu, dat is dan de triëder van Frenet-Serret-Pagani.

Indien T, N en B vectoren (‘pijlen’) zijn met lengte 1 volgens deze raaklijn, straal en loodlijn, dan gelden, mits nog enige kleinere afspraken, de volgende formules:

T_s’ = + κ N N_s’ = – κ T + τ B B_s’ = – τ N

Voor de ingewijden: het accent en de index s duiden op de afgeleide naar de lengte s afgemeten op de kromme vanaf een vastgelegd beginpunt. Omdat een vector 3 coördinaten omvat, stelt elke gelijkheid 3 formules voor, wat een totaal van 9 formules geeft voor dit stelsel.

Maar zelfs wie zich de begrippen ‘booglengte s’ en ‘vector’ niet meer herinnert, kan vaststellen dat de formules merkwaardig en esthetisch ogen: het is alsof rechts van de gelijkheidstekens een dambord verschijnt met 3 bij 3 vakjes, waarbij er niets op de diagonalen staat, maar elders wel de symbolen κ en τ, met mintekens volgens een spiegeling om de hoofddiagonaal. Hoe kan dat?

Hoe kan het dat een willekeurige kromme die zomaar los beweegt in de ruimte, heen en weer krioelt, toch beantwoordt aan mooie ‘anti’-symmetrische formules die erg eenvoudig ogen? Het is een kenmerkend voorbeeld van de schoonheid die kan liggen in wiskundige formules.

Het lijvige standaardwerk Geschiedenis van de wetenschappen in België. 1815-2000 besluit daarom terecht als volgt: “Men kan het betreuren dat de triëder nog steeds universeel bekend staat onder de naam triëder van Serret-Frenet.” Inderdaad, waarom is het niet op zijn minst ‘De drievlakshoek van Serret-Frenet-Pagani’?

Markies in Woubrechtegem

Het vermelde boek over de geschiedenis van de wetenschappen in België stelt dat het tekort aan bekwame wiskundigen in het begin van de negentiende eeuw de universiteiten dwong om een beroep te doen op buitenlandse geleerden, zoals Pagani. Als de man al daarvoor in het land terechtkwam, dan was het in de eerste plaats de liefde die hem deed blijven: in 1826 trouwde hij met Francisca Xaveria Coleta de Waepenaert de Termiddel-Erpen. Zoals haar naam doet vermoeden paste deze dame wellicht goed bij Pagani, die de titel droeg van ‘markies’. Hij was immers de zoon van Leopold en Columba Chiesa, markies van San Giorgio.

Het monument op het dorpsplein van Woubrechtegem.

Ze zouden zich vestigen in Leuven, nabij de universiteit, maar Francisca had ook een kasteeltje in Woubrechtegem. Daar zou het koppel het einde van zijn dagen slijten. Pagani overleed in het kasteel (en dus niet in Leuven, zoals al eens wordt beweerd). Bij zijn dood, op 10 mei 1856, liet Francisca de Waepenaert een grafmonument bouwen in Woubrechtegem, en een kapel in de Sint-Jozefskerk in Leuven.

Misschien had de markies tijdens zijn leven iets té veel aan wiskunde gedaan, want de weduwe liet op het monument een tekst beitelen waarvan de eerste zin luidt: “Il vécut trop peu pour les siens” (Hij leefde te weinig voor de zijnen).

Toch vond een van de bewoners van het kasteel, Lucien Van Der Biest, dat zijn monument met de grootste zorg moest worden behandeld. Nadat het jarenlang in stukken verspreid had gelegen na wegwerkzaamheden liet het gemeentebestuur van Herzele, waaronder Woubrechtegem valt, het monument restaureren. Meer zelfs, het kreeg een plaats op het hernieuwde dorpsplein van Woubrechtegem.

Maar de echte erkenning is er nog steeds niet: een plaatsje naast Serret en Frenet in de geschiedenisboeken.

Bekijk hier een filmpje over Gasparo Pagani.