Je leest:

Venusovergang 2004: een bijzondere gebeurtenis

Venusovergang 2004: een bijzondere gebeurtenis

Auteur: | 1 juni 2004

Heeft u ze bewaard, de eclipsbrilletjes voor de zonsverduistering van 11 augustus 1999? Mooi, dan heeft u nog ruim de tijd om ze tevoorschijn te halen om ze op 8 juni aanstaande weer op te zetten. Dan kunt u getuige zijn van een nóg zeldzamer kosmisch verschijnsel: een Venusovergang. Steven Wepster legt uit hoe u dan en passant de afstand van de Aarde tot de zon kunt bepalen. Met hulp van een verre kennis…

Op 8 juni 2004 beweegt de planeet Venus vanaf de Aarde gezien voor de zon langs. De laatste keer dat een dergelijke Venusovergang plaatsvond was in 1882 en de volgende is op 6 juni 2012. De overgang is zonder sterrenkijker zichtbaar, als u maar wel uw ogen beschermt met een eclipsbril of een donker lasruitje. De Venusovergangen in de achttiende en negentiende eeuw werden aangegrepen om de afstand van de Aarde tot de zon te bepalen. In het onderstaande leest u waarom ze zo zeldzaam zijn, en hoe ze gebruikt werden voor de afstandbepaling. Om het verhaal te begrijpen heeft u, naast een beetje wiskunde en een goed ruimtelijk inzicht, wat kennis nodig van planeetbewegingen. Die kennis vindt u in de volgende paragraaf.

Astronomie opgefrist

We veronderstellen dat de planeten Venus en Aarde in cirkelbanen om de zon bewegen. Het vlak waarin de aardbaan ligt noemen we de ecliptica. De baan van Venus ligt in een vlak dat een hoek i (genoemd de inclinatie) van i = 3.39o maakt met de ecliptica. Venus staat de helft van de tijd zuidelijk van de ecliptica en de helft van de tijd noordelijk ervan. De twee punten op de baan van Venus die precies in de ecliptica vallen heten de knopen. De knopen liggen op de knopenlijn, dat is de snijlijn van het Venusbaanvlak met de ecliptica. De omlooptijd van de aarde is TA = 365,256 dagen en de omlooptijd van Venus is TV = 224,701 dagen. De baan van Venus is kleiner dan de aardbaan zodat Venus tussen de Aarde en de zon in kan komen. Als de loodrechte projectie van Venus op de ecliptica precies op de verbindingslijn van de zon en de Aarde valt, zeggen we dat er samenstand of conjunctie is. Alleen de benedenconjuncties, waarbij Venus tussen de Aarde en de zon in staat, zijn hier van belang.

Hoewel het voor het midden van de achttiende eeuw nog niet goed gelukt was om de straal van de aardbaan te bepalen, waren wel de verhoudingen van de baanstralen van Venus en Aarde (nl. 1 : 1,38) bekend.

Venus is ongeveer even groot als de Aarde, maar de zon heeft een diameter die 110 keer zo groot is. Voordat de straal van de aardbaan was bepaald, wist men dat niet. Wel had men gemeten dat de diameter van de zon een hoek van D = 32’ beslaat. Tijdens de overgang neemt men de Venusdiameter waar als 1’.

Hoe vaak overgang?

Indien de baan van Venus in de ecliptica lag, dan zouden we een Venusovergang waarnemen tijdens elke (beneden) conjunctie. Immers op dat moment zouden de middelpunten van zon, Venus, en Aarde op één lijn liggen. Maar doordat de Venusbaan gekanteld is, staat Venus bij een conjunctie bijna altijd noordelijk of zuidelijk van de zon. Alleen die conjuncties waarbij Venus in of dichtbij de ecliptica staat, kunnen wij waarnemen als een overgang. Zoeken we de momenten van overgang, dan zoeken we dus naar conjuncties die in de buurt van één van de twee knopen van de Venusbaan plaatsvinden. Eerst berekenen we wat we precies moeten verstaan onder ‘in de buurt van’; vervolgens gaan we op zoek naar de geschikte conjuncties.

Figuur 1: Conjunctie ‘in de buurt’ van een knoop.

In figuur 1 is A de Aarde, Z’ het middelpunt van de zon, en V Venus. De rechte door A en V snijdt de zon in Z zodat er nog net een kleine overgang te zien is. N is de dichtstbijzijnde knoop, zodat ANZ’ in de ecliptica ligt. V’ is de loodrechte projectie van V op de ecliptica. Omdat er conjunctie is, liggen A, V’, en Z’ op een rechte; het vlak AZZ’ valt samen met het vlak AVV’ dat loodrecht op de ecliptica staat. Boldriehoek NVV’ is klein genoeg om als vlakke driehoek te beschouwen. Onder de aanname dat de Venusbaan cirkelvormig is, geldt NZ’ = VZ’. Omdat VV’ veel kleiner is dan V’Z’ geldt dat VZ’ ongeveer gelijk is aan V’Z’, zodat bij benadering driehoek NZ’V’ gelijkbenig is.

Per dag legt de Aarde iets minder dan een graad af in haar baan door de ecliptica. Dus indien een conjunctie plaatsvindt terwijl de Aarde minder dan 1,7 dagreis verwijderd is van een Venusknoop, is er een overgang te zien.

De tijdsduur tussen twee conjuncties berekenen we uit het verschil van de omloopsnelheid van Venus en Aarde:

Deze tijdsduur wordt de synodische periode van Venus genoemd. Toevallig (en ik bedoel werkelijk toevallig) is deze synodische periode bijna een halve dag korter dan 1 3/5 TA. Bijgevolg zijn vijf synodische periodes slechts 2,4 dag korter dan acht jaar. Elke vijfde Venusconjunctie vindt dus plaats op bijna dezelfde kalenderdatum en op bijna dezelfde plaats in de ecliptica: preciezer, circa 2,4o teruggeschoven. Stel nu dat bij conjunctie nummer 1 een overgang plaats heeft op laten we zeggen 1o voorbij een knoop. Conjuncties 2 tot en met 5 zijn dan conjuncties zonder overgang, en nummer 6 is weer wel een overgang maar dan 1,4o vóór dezelfde knoop. Alle overgangen van een paar eeuwen voor onze tijd tot een paar eeuwen erna blijken in dit soort paren van acht jaar voor te komen. Bij conjunctie 11 is de afstand tot de knoop te groot voor een overgang. Intussen schuift het rijtje van conjuncties 2, 7, 12, … langzaam richting de andere knoop van de Venusbaan (precies aan de overliggende kant van de ecliptica), waar bij nummer 67, 72, of 77 de volgende overgang zal plaatsvinden. Na de overgang van 2012 duurt het dus zó lang tot de volgende dat uw leerlingen het waarschijnlijk niet meer meemaken. Door op een bierviltje de knopenlijn en de plaats van de Aarde bij de achtereenvolgende conjuncties te tekenen, kunt u nog duidelijker zien hoe het werkt.

Als het goed is kunt u nu verklaren waarom Venusovergangen hetzij begin juni, hetzij begin december plaatsvinden. In welke maand verwacht u de eerstvolgende overgang na 2012?

Een té simpele voorstelling

Overgangen van Venus werden in de achttiende (1761 en 1769) en negentiende eeuw (1874 en 1882) aangegrepen om de afstand van de zon tot de Aarde te bepalen. Hoe dat werkt wordt soms als volgt voorgesteld.

Figuur 2: Afstand Aarde-zon bepalen.

In figuur 2 ziet u twee waarnemers A en B, die Venus V tegen de zonneschijf waarnemen op respectievelijk C en D. Uit de posities van A en B en de aardstraal laat de lengte van AB zich berekenen. De afstanden van de Aarde en Venus tot de zon waren niet bekend, maar we hebben gezien dat wel de verhouding van die afstanden bekend was, AV : VC is ongeveer 1,38.

Daarmee berekenen we CD = VC/AV * AB, waarbij we voor het gemak aannemen dat AB evenwijdig aan CD is (de driehoeken ABV en CDV zijn dan gelijkvormig). De afstand Aarde-zon dA volgt dan bij benadering uit CD/dA, wat ongeveer de tangens van de hoek CAD is, als maar CD loodrecht op de ecliptica staat.

Deze uitleg bevredigt niet helemaal. De meetkunde rammelt wat, maar dat is eenvoudig op te lossen, ik laat dat buiten beschouwing. Wat niet lekker zit is dat waarnemer A wel de plek van C op de zonneschijf kan vaststellen, maar niet die van D, die door B moet worden vastgesteld. Waarnemer A kan dus alleen hoek CAD weten als B op exact hetzelfde tijdstip zijn waarneming doet en die doorgeeft aan A. In de jaren zestig van de achttiende eeuw was het niet mogelijk de waarnemingen tegelijkertijd te doen. Bij de overgangen aan het eind van de negentiende eeuw werd veel verwacht van nieuwe technieken, zoals nauwkeurige chronometers, fotografie, en deels ook telegrafie, maar de resultaten vielen toch tegen.

Daarnaast is de figuur niet op schaal getekend, waardoor u lichtelijk in de maling wordt genomen. Om het juiste gevoel voor schaal te krijgen denkt u zich de Aarde en Venus ter grootte van een knikker en de zon als een skippybal. De aardknikker legt u aan de voet van de Euromast in Rotterdam en de skippybal hangt u aan de top. De Venusknikker komt op ongeveer een derde van de hoogte voorbijzweven. Volgens bovenstaande uitleg gaan twee ‘waarnemers’ op de onderste knikker elkaar vertellen waar op de achtergrond van de skippybal zij de middelste knikker waarnemen. U begrijpt het al: dat wordt niets. Het te verwachten hoekverschil is kleiner dan de schijnbare Venusdiameter, ja zelfs minder dan 1% van de schijnbare zonnediameter. De meetfout heeft een te grote invloed op de uitkomst van de berekening.

Afstand bepalen door tijdmeting

Is het hele idee van afstandbepaling door middel van een Venusovergang dan hopeloos? Nee, dat niet, maar er is een indirecte meting nodig om de hoek CAD te bepalen. Edmund Halley, geïnspireerd door een overgang van Mercurius in 1677, bedacht de volgende methode.

Halley’s idee was om de tijdsduur van de overgang te meten, vanaf het moment dat Venus zich helemaal aftekent op de zonneschijf tot het moment dat Venus de zonneschijf begint te verlaten. Deze tijdsduur is niet voor alle waarnemers hetzelfde; hij hangt (onder andere) af van de lengte van de koorde die Venus schijnbaar van de zon afsnijdt. Het tijdsverschil is veel nauwkeuriger te meten dan het verschil in de schijnbare positie van Venus op de zonneschijf. Ik denk dat u zich dit het duidelijkst voor kunt stellen met behulp van een kegel, waarvan de top in uw oog gelegen is, en waarvan de zonneschijf zogezegd het grondvlak vormt. Als Venus zich binnen de kegel (en tussen u en de zon in) bevindt, ziet u haar tegen de zon afgetekend. De tijdsduur van de overgang is de verblijfsduur van Venus binnen de kegel. Voor een waarnemer op bijvoorbeeld Réunion in de Indische Oceaan denkt u zich precies zo’n kegel in, met de top dus wat zuidelijker dan de uwe. In de Réunion-kegel passeert Venus daardoor op een iets andere afstand van de kegelas en Venus heeft dus een iets andere weglengte door de kegel. Daar komt nog bij dat de Aarde met beide waarnemers erop ronddraait. De toppen van de kegels bewegen daardoor met verschillende snelheid van west naar oost, dat is tegen de beweging van Venus in. De verkorting van de overgangsduur die daardoor ontstaat laten we verder buiten beschouwing.

De maximale tijdsduur van een overgang berekenen we met de diameter van de zon D = 32’, de synodische periode van Venus T = 583,92 dagen, en de verhoudingen van de baandiameters dA : dV = 1,38. Vanaf de zon gezien is de hoeksnelheid van Venus, vergeleken met de Aarde, 360 / T graden per dag sneller. Bij de conjunctie is vanaf de Aarde gezien de hoeksnelheid van Venus ten opzichte van de zon dan 360*d[~~]/T(dA – dV) graden per dag. Een overgang duurt dan maximaal:

dat is ongeveer 7,9 uur. De meeste overgangen zullen aanzienlijk korter zijn, al naar gelang de afstand van Venus tot het vlak van de ecliptica tijdens de overgang groter is. De overgang van 8 juni aanstaande duurt ongeveer zes uur. We zullen nu onderzoeken hoe de hoek CAD (figuur 2) te berekenen is uit het tijdverschil zoals verschillende waarnemers dat meten op de niet-roterende Aarde. We verwaarlozen het afstandverschil tot Venus tussen het centrum en de oppervlakte van de Aarde.

Figuur 3: Baan van Venus over de zon.

In figuur 3 is Z het centrum van de zon. LMN is de baan van Venus over de zon zoals een van onze waarnemers dat zou meemaken. Aangezien we zojuist hebben uitgerekend hoe lang Venus erover doet om de hele middellijn van de zon te volgen, kunnen we de lengte van de koorde eenvoudig vinden uit de gemeten tijd via LN = D*(t/tmax). Vervolgens vinden we:

Indien een tweede waarnemer de overgang waarneemt als L’M’N’ in tijd t’, dan is het hoekverschil voor de waarnemers:

Met deze hoek kan, zoals boven besproken, de afstand Aarde-zon worden berekend.

Omdat deze methode berust op de meting van tijdsduur, komt de precieze geografische lengte van de waarnemers er niet zo op aan. In de achttiende eeuw was dat zeker een voordeel. Een nadeel was dat zowel de intrede als de uittrede waargenomen moest worden, waar het weer dan wel aan moest meewerken. Bij de overgangen in de negentiende eeuw konden de waarnemers (die naar de uithoeken van de Aarde afreisden) al beschikken over goedlopende klokken, en daardoor konden ze een andere methode toepassen, die berustte op het waarnemen van de (absolute) tijdstippen van alleen intrede of uittrede. Dat maakte hen minder afhankelijk van een heldere hemel.

De resultaten van alle afstandbepalingen via Venusovergangen vielen nogal tegen. Dat kwam vooral omdat het niet goed mogelijk bleek om het moment waarop het Venusbeeld loskomt van de rand van de zon nauwkeurig te bepalen (het zogenaamde druppeleffect). Tegenwoordig wordt de afstand tot Venus en andere planeten gemeten met behulp van radar. Bij de aanstaande Venusovergangen zijn overigens wél directe metingen van de hoek CAD mogelijk, omdat de beelden van verschillende sterrenwachten direct op internet zullen komen.

Dit artikel verscheen eerder in de Nieuwe Wiskrant.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 juni 2004

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.