Je leest:

Uitbreiding speltheorie van Nash

Uitbreiding speltheorie van Nash

Auteur: | 20 oktober 2008

Wiskundigen van de Shawnee State University in Portsmouth tonen aan dat een bepaalde klasse van spelen met oneindig veel strategieën een Nash-evenwicht heeft. Het wiskundige bewijs wordt gepubliceerd in het februarinummer 2009 van Nonlinear Analysis.

‘Life is a game, boy. Life is a game that one plays according to the rules,’ zo luidt een beroemde quote in Salingers roman The Catcher in the Rye. Waar of niet waar, vanuit wiskundig oogpunt is het zinvol om als spel naar het leven te kijken. Waarom maken mensen bepaalde keuzes wel en andere niet? John Nash, bekend van de film A Beautiful Mind, hield zich met speltheorie bezig en bereikte een baanbrekend resultaat – later het Nash-evenwicht genoemd – waarvoor hij in 1994 de Nobelprijs voor economie in ontvangst mocht nemen.

Nash bewees dat elk niet-coöperatief spel met twee of meer spelers, waarbij elke speler een eindig aantal keuzes heeft, een evenwicht toelaat. Zo’n evenwicht kun je opvatten als een situatie waarin geen van de spelers reden tot klagen hebben, in die zin dat ook al weten ze van tevoren wat het gedrag van de andere spelers zou zijn geweest, de spelers zich op dezelfde wijze zouden hebben gedragen. Met andere woorden, de situatie kan niet worden verbeterd door individuele eenzijdige handelingen (zie ook het onderstaande kader).

John – Beautiful Mind – Nash

John Forbes Nash Jr. (14 juni 1928) is een wiskundige die vooral bekendheid kreeg door zijn werk op het gebied van de speltheorie. Hij ontving hiervoor samen met Reinhard Selten en John Harsanyi de Nobelprijs voor de Economie in 1994.

Na een veelbelovend begin van zijn wiskundige carrière openbaarde zich bij Nash rond zijn dertigste jaar schizofrenie, een geestesziekte waarvan hij pas 25 jaar later redelijk herstelde.

De met vier Oscars bekroonde film A Beautiful Mind beschrijft het levensverhaal van John Nash. Een bekende scène uit de film gaat als volgt (bron: Pythagoras, januari 2008). Als John met zijn medestudenten in de kroeg zit en ze er weer eens niet in slagen indruk te maken op de meisjes, valt hem eindelijk in dat ze allemaal slechter af zijn door achter dat ene spectaculaire blondje aan te gaan. Immers, waarschijnlijk zal ze zich juist door al die aandacht te goed voelen voor ieder van hen, terwijl haar aanvankelijk toeschietelijker vriendinnen zich verwaarloosd voelen en er voor passen om als tweede keus te dienen. Als de vrienden rationeel handelen en elkaars overwegingen goed inschatten, verdelen ze hun aandacht gelijkmatig en heeft iedereen een betere kans om contacten te leggen.

Met deze scène doet regisseur Ron Howard een dappere poging om Nash’ theorieën aanschouwelijk te maken, maar in feite slaat hij de plank mis. De strategie die de vrienden in de kroeg hanteren leidt niet tot het zogenaamde Nash-evenwicht, omdat gegeven het feit dat de anderen niet voor het blondje gaan, het juist optimaal is om zelf, als enige, voor haar te gaan.

Wiskundigen van de Shawnee State University in Portsmouth, waaronder Jinlu Li, hebben voortgeborduurd op het werk van Nash. Terwijl Nash zich beperkte tot spelen met een eindig aantal strategieën, heeft het team van Li gevallen onderzocht waarbij spelers oneindig veel keuzes hebben. Hierbij kun je bijvoorbeeld denken aan een veiling waarbij de bieders de spelers zijn, die elk oneindig veel keuzes hebben, omdat ze elk bedrag kunnen bieden: een strikte bovengrens is niet te geven.

Onder bepaalde voorwaarden blijkt dat er zelfs bij een spel met oneindig veel keuzes een strategie bestaat voor de spelers zodat elke speler het best mogelijke krijgt. Bij zo’n strategie, een verzameling keuzes voor elke speler, kan geen enkele speler het beter doen door van strategie te wisselen. Voorwaarde blijft dat de spelers eenzijdig handelen: het vormen van een kartel met een andere speler om samen onder één hoedje te spelen tegen anderen, is niet toegestaan.

Zodra bij een spel een evenwicht is bereikt, zal het altijd in die evenwichtstoestand blijven – dat is het lot van het spel. Deze voorspellende waarde maakt de theorie van Nash zo bruikbaar in de economie en in de sociale wetenschappen.

Het nieuw ontwikkelde model is een uitbreiding van de theorie van Nash in de zin dat het om spelen gaat met oneindig veel keuzes. Maar er zijn ook beperkingen. Zo zijn bijvoorbeeld alleen nog maar spelen voor twee spelers onderzocht, terwijl Nash ook complexe spelen voor meerdere spelers onderzocht. Een complete oplossing voor het algemene probleem is er nog niet. Maar de ontwikkelingen in de speltheorie staan niet stil.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 20 oktober 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.