Je leest:

Topologisch raadsel opgelost

Topologisch raadsel opgelost

Auteur: | 7 mei 2009

Een team van drie wiskundigen uit de Verenigde Staten heeft een 45 jaar oud wiskundig probleem opgelost. Het betreft het ‘Kervaire Invariant Probleem’ uit de topologie, een tak van meetkunde waarbij ‘afstand’ een heel abstract begrip is.

‘Dit probleem is een van de belangrijkste vraagstukken uit de algebraïsche een geometrische topologie.’ ‘De meeste wiskundigen dachten dat het probleem niet zou worden opgelost in de tijd dat ze nog leven.’ ‘De oplossing van dit probleem leidt tot nieuwe, diepe inzichten en legt verbanden tussen topologie enerzijds en algebra en getaltheorie anderzijds.’ Dit zijn drie uitspraken over het Kervaire Invariant Probleem, een uiterst complex probleem dat in de jaren 1960 werd geformuleerd door de Franse wiskundige Michel Kervaire en dat in wiskundige taal abracadabra is voor niet alleen het gewone volk, maar ook voor veel beroepswiskundigen: ‘voor welke waarden van n bestaan er n-dimensionale differentieerbare variëteiten waarvan de Kervaire-invariant gelijk is aan 1?’

De oplossing van het Kervaire Invariant Probleem werd gepresenteerd op een conferentie ter gelegenheid van de tachtigste verjaardag van wiskundige Sir Michael Atiyah

Drie Amerikaanse wiskundigen, Mike Hopkins (Harvard University), Douglas Ravenel (University of Rochester, New York) en Mike Hill (University of Virginia, Charlottesville) presenteerden onlangs bij een conferentie in Edinburgh hun oplossing van het Kervaire Invariant Probleem. Bij wiskunde die zo abstract is als deze, gaat het meestal om ‘wiskunde om de wiskunde’. Toch is dat hier niet het geval: volgens de drie wetenschappers is het probleem relevant voor de kwantumtheorie en de snaartheorie.

Topologie

De topologie is een tak van meetkunde die zich bezighoudt met eigenschappen van objecten die onveranderd blijven bij vervorming: uitrekken, draaien, pletten – alles mag zolang ze maar niet scheuren of anderszins ‘kapot’ gaan. De grootte van een voorwerp doet dus in de topologie niet ter zake. Wel hoeveel gaten er in zitten, of het begrensd is, en het aantal dimensies. Voor een topoloog zijn een theekopje met oor en een donut hetzelfde: het zijn beide driedimensionale begrensde objecten met één gat.

Een koffiekopje of een donut? Een topoloog ziet het verschil niet!

Een topoloog kijkt echter niet naar voorwerpen uit het dagelijkse leven zoals koffiekopjes en donuts. Hij bestudeert abstracte vormen: krommen, oppervlakken, 10-dimensionale ruimten of zelfs oneindig-dimensionale ruimten. Al deze objecten tezamen heten variëteiten, in het Engels: manifolds. Ze worden geclassificeerd volgens bepaalde ‘invariante eigenschappen’; een invariant is een ‘onveranderd blijvende grootheid’.

Elke variëteit heeft een zogeheten Kervaire-invariant (zie de links onderaan dit artikel). Michel Kervaire gebruikte zijn invariant om bepaalde variëteiten te construeren. De Kervaire-invariant is een getal, voor de meeste variëteiten gelijk aan 0. Sommige variëteiten hebben echter een dusdanige vorm dat de Kervaire-invariant gelijk is aan 1. Het betreft dan variëteiten met dimensies 2, 6, 14, 30 en 62. In deze rij zit een regelmaat: het zijn allemaal getallen van de vorm 2n – 2 (zo is 14 gelijk aan 24 – 2 en 30 gelijk aan 25 – 2). In 1969 bewees William Browder, wiskundige van de Princeton University, dat er geen variëteiten bestaan waarvan de Kervaire-invariant ongelijk is aan 0, buiten deze speciale gevallen. Maar de vraag hoe het met die speciale gevallen zit – de rij 2, 6, 14, 30, 62 kan oneindig lang worden voortgezet: 126, 254, 510, 1022, … – bleef onbeantwoord.

De oplossing: nieuwe methoden

Hopkins en zijn collega’s hebben nu aangetoond dat voor elke variëteit met dimensie groter dan 126 (= 27 – 2), dus ook de speciale gevallen 254 (= 28 – 2), 510 (= 29 – 2), etcetera, gelijk is aan 0. Het geval van een 126-dimensionale variëteit is hardnekkig: dit ene geval moet nog worden uitgezocht.

De wiskunde die is gebruikt om tot deze ontdekking te komen, is pas recent ontwikkeld. ‘Het werk is gebaseerd op volstrekt nieuwe concepten,’ aldus Mark Hovey, een wiskundige uit Connecticut die enthousiast reageert op de oplossing. ‘In zekere zin lijkt de oplossing op Wiles’ bewijs van de Laatste Stelling van Fermat,’ zegt Allen Hatcher uit New York. ‘Het belang zit hem in het feit dat er nieuwe technieken en inzichten zijn gebruikt om een oud probleem op te lossen.’ Al gaat de vergelijking niet helemaal op: Fermat’s raadsel is nog veel ouder dan dat van Kervaire en is bovendien voor een kind te begrijpen – althans, het probleem, niet de oplossing! – en dat geldt niet voor Kervaire’s probleem.

Kervaire invariant (Wikipedia, Eng.) Conferentie t.g.v. Atiyah’s 80ste verjaardag Het Kervaire-probleem op de website van Douglas Ravenel

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 07 mei 2009

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.