Je leest:

Toeval?

Toeval?

Auteur: | 8 februari 1992

Ter ere van haar zestigjarig bestaan reikt het Centrum voor Wiskunde en Informatica op 9 februari 2006 de Van Wijngaarden Award uit. Winnaars zijn informatica-expert Nancy Lynch en ‘kaartschud-professor’ Persi Diaconis. Carl Koppeschaar schreef over Diaconis in een artikel over toeval en kansen.

Een weddenschap met een eenvoudig geldstuk. Ik laat omstanders zien hoe onregelmatig kruis of munt wordt gegooid, en wacht op tweemaal kruis achter elkaar. Op dat moment zeg ik de uitkomst te kunnen beïnvloeden: kruis zal voor een derde achtereenvolgende keer bovenkomen. Het gaat volkomen eerlijk. Willekeurig wie mag gooien. Er mag zelfs een ander geldstuk worden gebruikt. Zijn er mensen die tegen mij willen wedden?

Voor elke twee euro inleg plaats ik een euro bij. Win ik, dan heb ik recht op de inzet. Verlies ik, dan heeft elke tegenspeler er een euro bij. Bijna iedereen vindt dat redelijk en wil het wel eens zien. Groot is de hilariteit als ik verlies. “Ja kunst: toeval!” wordt er geroepen als ik vervolgens win. Maar na een middag spelen is het pleit beslist en ben ik rijk. Ik had toch gezegd dat ik het geldstuk naar mijn hand kon zetten?

De (on)voorspelbaarheid van het gooien van kruis of munt. In de grafiek is de hoogte van de opgooi uitgezet tegen het aantal omwentelingen van het geldstuk. Het patroon van de uitkomsten (rood voor kruis en geel voor munt) wordt gecompliceerder naarmate de opgooihoogte en het aantal omwentelingen toeneemt. Vladimir Z. Vulovic & Richard E. Prange. Klik op de grafiek voor een grotere versie.

Dezelfde fout die de gokkers hierbij maakten, kan in alle casino’s worden waargenomen. Ook daar kan bij roulette op rood of zwart worden gewed. Velen gaan juíst op rood wedden als het balletje een lange tijd achter elkaar op zwart is terechtgekomen. Daarbij wordt vergeten dat telkens opnieuw een gelijke kans op rood of zwart bestaat. Toch heeft een casino op de lange duur een voordeel omdat er bij roulette zoiets als een ongekleurde 0 bestaat. Bij kruis of munt gooien had ik zo’n voordeel niet. Daarom had ik de uitbetaling aangepast. Omdat zich telkens opnieuw een gelijke kans op kruis of munt moest voordoen, werd mijn winst maar liefst 50 procent van de gegokte inzet.

Dr.Persi Diaconis, wiskundige en statisticus van de Amerikaanse Stanford-universiteit, kan hierom hartelijk lachen. “U heeft dat tenminste nog eerlijk gedaan, want het kan ook anders.” Om dat te bewijzen vist hij een geldstuk uit zijn zak en gooit het omhoog. Kruis ligt boven. Hij gooit het opnieuw en weer is het kruis. Hij gooit nog eens en nóg eens en nóg eens. Kruis. Kruis. Kruis! Het geldstuk is niet vals, noch is Diaconis telekinetisch begaafd. Hij is achter een truuk gekomen die hij door zijn onderzoek heeft geleerd.

“Als je het zó doet, is het puur natuurkunde,” vertelt Diaconis. “De hoogte van de opgooi en het aantal omwentelingen bepalen wat er bovenkomt. Collega’s van mij hebben daarvan zelfs een grafiek gemaakt. Kijk, als ik tot geringe hoogte gooi en voor het juiste aantal omwentelingen zorg, is de uitkomst redelijk voorspelbaar. Het is net pijltjes gooien op een wand met metersbrede, afwisselend gekleurde strepen. Pas als de opgooi hoger wordt of het aantal omwentelingen toeneemt, worden de strepen smaller en ontstaan er onregelmatige patronen. Er heerst dan chaos, door héél kleine veranderingen in de begincondities van de opgooi. Je kunt ook zeggen dat toeval daarbij een rol gaat spelen.”

“Of de gemiddelde opgooi dan wel toevallig is? Dat ben ik nagegaan door tandzijde aan muntstukken vast te plakken. Na elke opgooi was dat hopeloos in de war. Door de knopen in de tandzijde te tellen kon het aantal omwentelingen van de muntstukken worden afgeleid. Daaruit bleek dat zo’n vijftien tot twintig omwentelingen plaatsvinden bij een opgooihoogte van dertig centimeter. Zo’n opgooi ligt vér buiten het bereik van de grafiek en is dus volkomen onvoorspelbaar. Kruis of munt gooien blijft daarom het beste middel om iets door het toeval te laten beslissen.”

Waarom zou een geleerde als Diaconis zó in kruis of munt gooien zijn geïnteresseerd? Toeval blijkt een grote rol te spelen in ons leven. Onder andere vormt het een middel om eerlijkheid bij steekproeven of het samenstellen van jury’s te verzekeren. Daarnaast worden toevallige uitkomsten, in de vorm van volmaakt willekeurige reeksen van getallen, gebruikt om computersystemen te beveiligen. Iedereen die een geldautomaat gebruikt, krijgt hiermee te maken. Er moet immers worden voorkomen dat onbevoegden het bank- of gironummer mét de ingetoetsde pincode in handen krijgen. Daarom worden deze gegevens zodanig gecodeerd dat ze alleen met dezelfde toevalscode zijn te lezen. Op dezelfde manier worden sommige televisie-uitzendingen gecodeerd.

Banken gebruiken geheime codes gebaseerd op willekeurige getallen om transacties via geldautomaten te beveiligen. Hoewel geen Nederlandse bank ons wilde vertellen hoe die beveiliging precies verloopt, zijn we nagegaan wat de meest gebruikelijke methode is. Er wordt eerst een toevalscode aangemaakt, die door middel van een sleutel in de centrale computer en de betaalautomaten wordt aangebracht. Door het gebruik van de toevalscode kan veilig tussen geldautomaten en de centrale bankcomputer worden gecommuniceerd.

1. Met behulp van een diode wordt “witte” ruis opgewekt. Er ontstaan spanningswisselingen, die volkomen onregelmatig fluctueren. 2. De spanningswisselingen worden bemonsterd, waarbij de gemeten voltages worden vergeleken met een gemiddelde. 3. De bemonstering levert een binaire getallenreeks op. Een gemeten voltage hoger dan het gemiddelde wordt hierbij een 1, een lager voltage wordt een 0. 4. Een rekenkundige bewerking gebaseerd op DES (Data Encryption Standard) husselt 64 van zulke bits verder door elkaar. 5. Het resultaat is een ‘toevalscode’, die in een elektronische sleutel wordt gestopt. Via deze sleutel wordt de code in de centrale computer en de geldautomaten aangebracht. 6. Een verzoek om geldopname. 7. Opdracht, bankrekeningnummer en pincode worden door middel van DES gecodeerd aan de hand van de eerder met de sleutel aangebrachte toevalscode. 8. Een modem stuurt het gecodeerde verzoek door een telefoonlijn van de geldautomaat naar de bankcomputer. 9. Bij de bank zet een modem het telefonische signaal om in digitale vorm. 10. Door middel van DES en de aangebrachte toevalscode wordt het signaal gedecodeerd. 11. De opdracht wordt verwerkt, het saldo op de rekening wordt gecontroleerd. In omgekeerde richting wordt de geldautomaat geïnstrueerd al dan niet uit te betalen.

Volgens Diaconis zijn echt patroonloze, echt onvoorspelbare uitkomsten een buitengewoon waardevol product geworden. Zelfs de zorgvuldigst geconstrueerde toevalsapparaten, zoals ronddraaiende bollen voor de trekking van de lottogetallen, blijken bij nader onderzoek geen echt toeval op te leveren.

Eén zo’n apparaat veroorzaakte in 1969 een rel bij de invoering van de nationale dienstplichtloterij in de Verenigde Staten. Militaire functionarissen schreven alle verjaardagen van kandidaat-recruten op papier en stopten die in capsules. Vervolgens deden ze de capsules met verjaardagen in januari in een doos en schudden die door elkaar. Daarna werden de februari-capsules erbij gevoegd, waarna de doos opnieuw werd geschud. Dit ging zo door tot en met december.

Tijdens een openbare ceremonie werden de capsules met de hand uit de doos gehaald. Later stelden statistici vast dat de trekking verre van toevallig was geweest: geboortedata laat in het jaar hadden een veel grotere kans te worden ingeloot dan geboortedata in de eerste maanden. Pas toen het volgend jaar de capsules op een willekeuriger manier in de doos werden gestopt, ging er het er iets eerlijker aan toe.

“Het mengen, schudden of door elkaar roeren van dingen om toeval te verzekeren, is dan ook gecompliceerder dan de meesten aannemen,” vervolgt Diaconis. “Uiteindelijk vindt wel een goede menging plaats, maar het probleem is dan dat dit vaak te veel tijd in beslag neemt.” Hoe lang iets moet worden gemengd, levert soms praktische problemen op. Geneesmiddelenfabrikanten kunnen niet te veel mengen, omdat sommige stoffen anders uit elkaar zouden vallen. Toch zijn er soms medicijnen nodig, waarvan slechts de helft van een bepaalde hoeveelheid moet worden ingenomen.

Het schudden van kaarten vormde ook zo’n vraagstuk. Hoe vaak moet een pak speelkaarten worden geschud om een werkelijk willekeurige kaartvolgorde te krijgen? Lange tijd leek dit verre van eenvoudig, omdat er zo verschrikkelijk veel kaartvolgordes mogelijk zijn. Namelijk 1062 (een 1 gevolgd door 62 nullen). Maar samen met zijn collega dr. Dave Bayer, van de universiteit van Columbia, heeft Diaconis dit probleem onlangs opgelost.

De kaarten moeten ongeveer in twee stapels worden verdeeld. Vervolgens wordt een nieuwe stapel samengesteld uit kaarten die willekeurig van de rechter- of de linkerstapel komen. Zeven keer schudden is dan genoeg. Twee spellen kaarten zouden negen keer geschud moeten worden, zes spellen kaarten twaalf keer.

Diaconis en Bayer zijn nagegaan hoe vaak de gemiddelde kaartspeler schudt alvorens rond te delen. De meeste mensen, stelden zij vast, schudden drie of vier keer. Vijf keer schudden wordt al overdreven geacht en door de medespelers als uitermate hinderlijk ondervonden. Dus betogen zij dat miljoenen kaartspelers te weinig schudden. Speltechnisch gezien zijn de gevolgen catastrofaal. Toen bij bridge-toernooien het met de hand geven van de kaarten werd vervangen door gecomputeriseerd geven, trad het verschil aan het licht.

Generaties lang waren de spelers vertrouwd geraakt met slecht geschudde kaarten. Heel vaak hadden zij daardoor een veel te regelmatige kleurverdeling, bijvoorbeeld 4-3-3-3 of 4-4-3-2. Met de nieuwe methode kwamen ook combinaties als 6-1-1-5 of 9-4-0-0 voor. Daaraan was bijna niemand gewend.

Het aan het toeval overlaten door middel van de computer levert trouwens ook de nodige problemen op. Er worden willekeurige-getallengenerators gebruikt die in feite pseudo-willekeurig zijn. Meestal is er sprake van een rekenkundige bewerking, of algoritme. Als daarbij echter dezelfde beginwaarde wordt gebruikt, is ook de einduitkomst gelijk. Wie hierin een verband ontdekt, zou de codering kunnen breken.

Daarom wordt tegenwoordig veel geëxperimenteerd met éénwegfuncties. Dit zijn wiskundige bewerkingen die gemakkelijk zijn uit te voeren, maar nagenoeg niet zijn terug te rekenen. Er worden bijvoorbeeld twee grote priemgetallen vermenigvuldigd: getallen die alleen door zichzelf en door 1 deelbaar zijn. De vermenigvuldiging levert geen problemen op. Maar tot nog toe weet niemand een snelle manier om zo’n product te ontbinden en de begingetallen te vinden.

Rest natuurlijk de vraag: hoe toevallig is voor óns het toeval? Want de manier waarop we in het dagelijks leven tegen toeval aankijken is heel anders dan de manier waarop wiskundigen het probleem beschouwen. Als iemand wordt gevraagd een willekeurige reeks getallen op te schrijven, kiest bijna iedereen een reeks die veel te regelmatig verandert.

Psychologen hebben ontdekt dat ze weinig moeite hebben deze reeksen te onderscheiden van reeksen willekeurige getallen. De door proefpersonen bij psychologische tests opgeschreven reeksen bevatten zelden meer dan vier dezelfde getallen.

Het mooiste voorbeeld op dit gebied vormt echter een studie van een Duitse taalgeleerde, jaren geleden. Hij had zich de moeite getroost de leeftijden die op Romeinse graven stonden vermeld te rangschikken. Daarbij kwam het vreemde feit naar voren dat de meeste leeftijden van overleden Romeinen op 0 eindigden. Het volgende eindcijfer dat het meest op de inscripties voorkwam was 5, daarna 8, 2, 3, 7, 6, 4, 9 en tenslotte 1.

Grafsteen van Marcus Caelius, gedood tijdens de slag van Varus. De inscriptie luidt: M(arco) CAELIO T(iti) F(ilio) LEM BONN (I) O(rdini) LEG X II X ANN L III S CECIDIT BELLO VARIANO OSSA INFERRE LICEBIT P(ublius) CAELIUS T(iti) F(ilius) LEM FRATER FECIT. Vertaling: Voor Marcus Caelius, zoon van Titus, uit Bologna in het district Lemmonia, Aanvoerder van het 18e legioen; hij stierf in de ouderdom van 53 jaar tijdens de oorlog van Varus. De beenderen (van de vrijgegevenen) mogen hier ook worden begraven. Publius Caelius, zoon van Titus, van het district Lemmonia heeft deze grafsteen opgericht.)

Iedereen zal het ermee eens zijn dat van een willekeurige, grote groep getallen even veel eindcijfers op 0 zullen moeten eindigen als op 1, of welk ander cijfer ook. Van een dergelijke gelijkmatige verdeling was bij de Romeinse leeftijden echter geen sprake. Op 29 juli 1954 nam H.Pétillon tijdens een radio-uitzending van de NCRV daarom een proef. Luisteraars moesten de tijdsduur tussen twee gongslagen schatten zonder dat zij van tevoren op de hoogte waren. Ook hieruit kwam een voorkeur in eindcijfers te voorschijn. Bijna 39 procent van de schattingen eindigde op 0, 26 procent op 5, 7 procent op 8, gevolgd door kleine percentages 2, 7, 3, 6, 4, 9, 1. Alleen de cijfers 7 en 3 waren ten opzichte van de Romeinse getallenreeks verwisseld.

De achtergrond van het verschijnsel dat de mens voorkeur voor bepaalde eindcijfers heeft, bleek in beide gevallen de neiging te zijn af te ronden tot veelvouden van 10 en 5. Naburige getallen worden daarbij ‘weggezogen’, waardoor zeer kleine percentages overblijven voor respectievelijk 1 en 9, en 4 en 6. Op grond van dit onderzoek kon toen worden geconcludeerd dat de leeftijden die op Romeinse graven staan vermeld nooit echte, bereikte leeftijden kunnen zijn. Het zijn slechts schattingen daarvan. Omdat een nauwkeurige burgerlijke stand in die tijd ontbrak, moesten de nabestaanden het met hun geheugen doen. Daarbij gokten ze tegen de wetten van het toeval in. Tweeduizend jaar later kon die code worden gebroken.

Dit artikel is een publicatie van Astronet.
© Astronet, alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 08 februari 1992

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.