Je leest:

Tieners vinden multi-magisch vierkant

Tieners vinden multi-magisch vierkant

Auteur: | 22 maart 2007

Drie middelbare scholieren uit Nijmegen hebben een eeuwenoud wiskundig raadsel ‘bijna opgelost’. Een opper-sudoku, maar nog nét niet goed ingevuld.

Moet je in een sudoku alleen zorgen dat je getallen geen twee keer in dezelfde rij, kolom of deelvierkant gebruikt, magische vierkanten zijn een stuk ingewikkelder. Jesse Hoekstra (17) en Willem Schilte (17) van het Dominicus College in Nijmegen en Petra Alkema (15) van het Gymnasium Bernrode in Heeswijk-Dinther hebben een vierkant van 12 bij 12 gevonden waarin allerlei getalpatronen verstopt zijn.

De Nijmeegse hoogleraar Klaas Landsman is zeer onder de indruk van de wiskundige creativiteit en het doorzettingsvermogen van de scholieren, die volgens hem een prestatie hebben geleverd die ver uitstijgt boven wat van een profielwerkstuk verwacht mag worden. In kranten en op televisie werd de vondst ongelukkigerwijs een ‘wereldsensatie in de wiskunde’ genoemd. Volgens Landsmans Nijmeegse collega Arno van den Essen is dit onbedoeld in een bericht van het ANP terecht gekomen; hij zou zelf gesproken hebben van een ‘sensatie in de wereld van magische vierkanten’. Magische vierkanten behoren tot de recreatieve wiskunde, het is geen grensverleggende wiskunde. De vondst van de scholieren levert geen doorbraak op naar nieuwe gebieden van de wiskunde, zoals sommige media meldden.

Magisch vierkant

Een magisch vierkant is bijvoorbeeld 10 bij 10 hokjes groot, met als speelmateriaal de getallen 1 tot en met 100. Rijen, kolommen en diagonalen moeten opgeteld hetzelfde getal opleveren. Wiskundigen houden van generaliseren, dus de formele definitie luidt: een magisch vierkant is een vierkant van n bij n hokjes waarin de getallen van 1 tot en met n2 zijn ingevuld, op zo’n manier dat elke kolom, elke rij en de beide diagonalen opgeteld dezelfde uitkomst geven.

De Amerikaanse wiskundige Benjamin Franklin (1706-1790) wist ruim 250 jaar geleden vijf speciale supermagische vierkanten te fabriceren, maar niemand kon er achter komen hóé hij dit voor elkaar kreeg, totdat Arno van den Essen er vorig jaar in slaagde een deel van het mysterie te ontrafelen. De drie scholieren onthullen nu een vierkant van 12 bij 12 hokjes met allerlei prachtige eigenschappen. De echte hoofdprijs krijgen ze nog niet: niet aan alle regels van een Franklin-vierkant is voldaan.

De drie leerlingen namen in het najaar deel aan een masterclass van Van den Essen op de Radboud Universiteit Nijmegen. “Ik heb ze de methode van Franklin uitgelegd. Die hebben ze gebruikt en ze hebben er zelf de nodige inventiviteit bijgedaan. Deze drie kinderen zijn superbriljant. Want dit vind je echt niet toevallig,” zegt Van den Essen.

Het HSA-vierkant. De som van elke rij, kolom, diagonaal, ‘gebogen diagonaal’ en ‘grote cirkel’ (12 getallen; middelpunt op de middelste horizontale lijn) is 870. De som van elke ‘kleine cirkel’ (8 getallen) is 580. De som van elk 2×2-deelvierkant, elke eenderde kolom en elke eenderde rij is 290.

HSA-vierkant

Het nieuwe magische vierkant is ‘HSA-vierkant’ gedoopt, naar de bedenkers: Hoekstra, Schilte en Alkema. De magische som van hun vierkant is 870. De enige eigenschap die nog ontbreekt om écht Franklin-magisch te zijn is de halve rij-eigenschap: de som van alle getallen in een halve rij of halve kolom is niet steeds gelijk. Deze som is 434 of 436 bij de rijen, en 423 of 447 bij de kolommen. Hoogleraar Herman te Riele van het Centrum voor Wiskunde en Informatica concludeert dat het dus nét niet gelukt is. “Maar net niet bestaat niet in de wiskunde,” zegt hij in de Volkskrant.

Toch is het vierkant zeer bijzonder, want in het HSA-vierkant zit een een scala aan andere magische eigenschappen. Zo is het vierkant ‘eenderde Franklin-magisch’. Dat wil zeggen dat de som van alle getallen in iedere ‘eenderde rij’ en iedere ‘eenderde kolom’ (vanaf de rand gerekend) gelijk aan 290, het derde deel van de magische som. Bijvoorbeeld 11 + 110 + 131 + 38 = 290 maar ook 108 + 39 + 98 + 45 = 290 en ook 80 + 53 + 92 + 65 = 290. Verder is het vierkant ‘panmagisch’: alle diagonalen en alle parallelle gebroken diagonalen, zoals bijvoorbeeld 121, 27, 11, 9, 32, 127, 101, 78, 96, 94, 74, 100, hebben som 870.

Maar het HSA-vierkant heeft nog heel wat meer verrassingen in petto. Zo bevat het ook een groot aantal cirkels met gelijke som: iedere uit twaalf getallen bestaande cirkel met het middelpunt op de middelste horizontale lijn heeft als som 870, zoals bijvoorbeeld de cirkel gevormd door de getallen 60, 70, 38, 105, 80, 91, 54, 65, 40, 107, 75, 85 of die gevormd door de getallen 91, 77, 102, 37, 63, 59, 86, 82, 108, 43, 68, 54. Verder heeft iedere cirkel bestaande uit acht getallen, zoals bijvoorbeeld 16, 113, 31, 125, 44, 66, 80, 105 of 123, 107, 40, 17, 32, 9, 134, 118 als som 580. Nog een mooie eigenschap: de som van alle getallen in ieder 2 × 2 deelvierkant is gelijk aan 290.

Tot slot zijn er nog diverse lettervormen in het vierkant te vinden met som 870. Zo kun je bijvoorbeeld met de getallen 37, 106, 74, 59, 86, 71, 39, 108, 61, 96, 49, 84 de letter D en met 14, 46, 72, 85, 60, 73, 99, 131, 87, 50, 58, 95 de letter E vormen, die iedere som 870 hebben.

Update 6 april 2007

Jesse Hoekstra, Willem Schilte en Petra Alkema hebben met hun werkstuk over het HSA-vierkant de Van Melsen Prijs 2007 gewonnen. Deze prijs van de Radboud Universiteit Nijmegen wordt jaarlijks uitgereikt aan leerlingen uit 5/6 vwo die een onderzoek hebben gedaan op het gebied van de natuurwetenschappen, wiskunde en informatica. Jesse, Willem en Petra moesten de eerste prijs delen met Bruno van Albeda, Valentijn Karemaker en Brigitte Sprenger uit Utrecht, die een werkstuk schreven over schuifpuzzels en de Rubikkubus.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 22 maart 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.