Je leest:

Tien vingers of een goed deelbaar getal?

Tien vingers of een goed deelbaar getal?

Auteur: | 14 november 2007

Tot tien tellen is ongeveer het eerste dat je leert. De Babyloniërs telden daarentegen tot zestig en dat zien we nu nog steeds . Een uur heeft namelijk 60 minuten en een minuut heeft 60 seconden. Ook een cirkel verdelen we in 6 × 60 = 360 graden. Het zestigtallige systeem heeft in deze gebieden verbazingwekkend goed stand gehouden, terwijl verder een tientallig stelsel gebruikelijk is.

De Franse wetenschappelijke instelling Bureau des Longitudes wil in 1897 een nieuw tijdssysteem invoeren. De Commission de décimalisation du temps (Commissie voor decimalisatie van de tijd) wordt opgericht en moet onder leiding van de wiskundige Henri Poincaré de aanpassing van het tijdssysteem aan het metrieke stelsel tot stand brengen. Het metrieke stelsel brengt eenheid in de wereld van maten en gewichten.

Zo worden afstanden niet langer gemeten in ellen, voeten of mijlen, maar in tientallen, duizenden en honderdste meters. Elke eenheid in het metrisch systeem wordt in stappen van tien groter of kleiner. Dit tientallige systeem moet de tijdsverdeling van een uur in zestig minuten en een minuut in zestig seconden vervangen. De poging om een uur in honderd minuten en een minuut in honderd seconden op te delen mislukt falikant. Omdat niemand in de wereld het voorstel steunt, durft ook Frankrijk zelf het niet aan en de commissie wordt in 1900 opgeheven.

Franse klok met de dag verdeeld in 10 of 12 uur.

Sumeriërs en Babyloniërs

Een verklaring voor het niet aanslaan van het metrieke stelsel in de tijdstelling kan worden gezocht in de hoge deelbaarheid van het getal 60 (zie kader goed deelbaar). Deze eigenschap was de meest waarschijnlijke reden voor het Sumerische volk om een zestigtallig stelsel te gebruiken. Ze leefden in Mesopotamië, het huidige Irak en omstreken, en hun beschaving was 3500 jaar voor Christus op het toppunt van zijn macht. Nieuwe machthebbers in de regio, de Babyloniërs, namen 1500 jaar later dit zestigtallige stelsel over.

Het Babylonische volk was een ontwikkelde samenleving met veel wiskundige en astronomische kennis. Babylonische sterrenkundigen bekeken de maan en sterren vanaf hun tempels. Met de kennis die ze zo opdeden konden ze hun kalenders opbouwen. In eerste instantie gebeurde dit op basis van waarnemingen: bij zonsondergang begon een nieuwe dag, bij de eerste verschijning van de maansikkel een nieuwe maand en in de lente het nieuwe jaar. Door deze regels bestond een maand uit 29 of 30 dagen. Later deden de Babyloniërs met hun wiskunde ook voorspellingen op basis van eerdere waarnemingen.

Omdat een jaar uit 365 dagen bestaat, past er geen geheel aantal maanden in een jaar. Om dit op te lossen werd er soms een schrikkelmaand ingevoerd na de zesde of twaalfde maand van het jaar. Zo’n kalender wordt ook wel een lunisolaire kalender genoemd, omdat hij rekening houdt met de verschijningen van zowel de maan als de zon.

Babylonisch kleitablet uit 1100-800 voor Christus. Hier staan de twaalf maanden van de Babylonische kalender. Per maand worden de dagen gegeven waarop elke onderneming voorspoedig zal verlopen.

Goed deelbaar

Door zijn hoge deelbaarheid wordt 60 ook wel een hogelijk samengesteld getal genoemd. Dit houdt in dat een getal deelbaar is door meer getallen dan elk kleiner positief getal. Zo is 60 deelbaar door twaalf getallen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 en 60. Hiermee is 60 het eerste getal dat deelbaar is door alle getallen t/m 6. Het getal 100 daarentegen is slechts deelbaar door negen getallen: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 en 100. Een uur van honderd minuten kan derhalve niet meer opgedeeld worden in drie of zes delen, zoals nu gemakkelijk gedaan kan worden in twintig of tien minuten.

Tijdsdelen van zestig

De Babyloniërs rondden het aantal dagen van een jaar soms af tot 360. De Sumeriërs gebruikten al een apart symbool voor dit getal: de cirkel. Zo komen wij aan de opdeling van een cirkel in 360 graden. Door de verdeling van jaar en cirkel in 360 delen vliegt de aarde in één dag ongeveer één graad verder in zijn baan om de zon.

Het jaar en de cirkel werden dus opgedeeld in 360 stukken. Beide zijn goed deelbaar door het belangrijke grondtal 60. Zo is 360 / 60 = 6. Deze verdeling in zes delen van 60 pasten de Babyloniërs ook toe op hun dagen. De dagindeling van 24 uur komt niet rechtstreeks bij de Babyloniërs vandaan,zoals vaak gezegd wordt, want zij deelden hun dagen op in zes ‘uren’, ook wel waken genoemd. Drie van deze waken hoorden bij de dag, de overige drie bij de nacht.

De Babyloniërs deelden hun waken op in zestig ‘tijdgraden’ (UŠ), vergelijkbaar met 4 minuten in onze tijdstelling. Het voordeel van de tijdgraad is dat de aarde in die vier minuten precies 1 graad om zijn as is gedraaid. Voor de Babyloniërs was dit de tijd dat de hemelsfeer 1 graad doordraaide, omdat zij niets wisten van het draaien van de aarde. Deze tijdberekening was dus erg nuttig in sterrenkundig opzicht. Ook de tijdgraden werden weer opgebroken in zestig delen, de ‘tijdminuten’ of NINDA’s genoemd. Een NINDA duurt vier van onze seconden.

Deze verdere opdeling in zestig stukken gebruiken wij tegenwoordig ook nog steeds bij de cirkel. Hier wordt namelijk elke graad opgedeeld in zestig boogminuten, die op hun beurt weer bestaan uit zestig boogseconden. Deze benaming met minuten en seconden is verwarrend als je het vergelijkt met de Babylonische tijdsopdeling. Daar staat een tijdgraad voor een draaiing van één graad en een tijdminuut voor een draaiing van één boogminuut. Onze huidige minuten en seconden zijn dus niet meer direct gerelateerd aan de draaiing in boogminuten en -seconden. Het duurt vier minuten voordat de aarde over een hoek van één graad is gedraaid en vier seconden voor een rotatie van één boogminuut.

Amerikaanse landmeters konden met dit instrument hoeken tot op een boogminuut nauwkeurig bepalen.

24 uur

Onze tijdsrekening heeft zijn wortels in Babylonïe, maar in de loop der tijd hebben ook andere volken er hun stempel op gedrukt. Hoogleraar Jan Hogendijk, professor in de geschiedenis der wiskunde aan de Universiteit Utrecht, zegt hierover op zijn website: ’na de verovering van Babylon door Alexander de Grote hebben de Griekse sterrenkundigen de verdeling van de cirkel in 360 graden en de verdeling van de dag in 360 tijdgraden overgenomen.

Daarnaast gebruikte men ook een verdeling van een etmaal in 24 gelijke uren, die gebruikelijk was in Egypte. In de late middeleeuwen is door de ontwikkeling van klokken met wijzerplaten een soort synthese ontstaan uit tijdgraden en uren. Een dag is 24 uren, maar met de uren wordt in het zestigtallig stelsel gerekend’.

Wiggen

Het zestigtallige systeem van de Babyloniërs heeft de tand des tijds overleefd in ons tijdsysteem en de gradenboog. Dit zijn niet de enige gebieden waarin het Babylonische volk dit systeem gebruikte. Ook voor het dagelijkse tellen gebruikten zij een sexagesimaal stelsel, met het getal 60 als basis. Het basisgetal namen zij van de Sumeriërs over, maar daarna sleutelden ze aan het systeem om het zo makkelijk mogelijk te maken. De Babyloniërs ontwikkelden een positiestelsel (zie Positiestelsel). Het door de Babyloniërs gebruikte systeem ziet er voor de eerste zestig getallen als volgt uit.

De eerste 59 getallen in het Babylonische spijkerschrift. bron: Wikipedia.

Dat 60 het basisgetal is, betekent niet dat de Babyloniërs zestig verschillende symbolen nodig hadden om elk getal tussen 0 en 60 weer te geven. Dit is goed te zien in de afbeelding hierboven. Stiekem gebruikten zij namelijk ook een soort decimaal systeem, waarin een verticale wig (lijkt op een Y) voor 1 staat en een schuine wig (lijkt op het symbool <) voor 10. De manier waarop deze symbolen gebruikt worden, lijkt veel op het Romeinse telsysteem, waarin 12 bijvoorbeeld wordt geschreven als XII.

Het systeem dat de Babyloniërs gebruikten, had nog last van enkele problemen (zie kader positiestelsel). Zo was niet altijd duidelijk bij welke macht een bepaald symbool hoorde, was er nog geen symbool voor het getal 0 bekend en was er nog geen scheidingsteken zoals de komma. Ze losten dit meestal op door naar de context van het getal te kijken, wat niet ideaal is.

De meest waarschijnlijke reden dat de Babyloniërs toch een zestigtallig stelsel gebruikten is dat 60 zo makkelijk deelbaar is. Dit laat zich vooral zien bij het gebruik van breuken. Veel getallen hebben een eindige breuk met 60 als grondtal. Zo kunnen 1/2 en 1/5 bijvoorbeeld geschreven worden als 30/60 12/60. 1/7 is de eerste breuk die een ‘probleem’ oplevert, dat de Babyloniërs oplosten door een benadering te geven.

Dit Babylonische kleitablet geeft data voor de maansverduisteringen tussen 518 and 465 voor Christus. bron: NASA.

Positiestelsel

Tegenwoordig gebruiken wij om te tellen een decimaal positiestelsel, waarbij de basis het getal 10 is. Het getal 3601 betekent dan eigenlijk dat het is opgebouwd uit 3×1000 (10×10×10=103) + 6×100 (10×10=102) + 0×10 (10=101) + 1×1 (1=100). Zo hebben we aan tien verschillende symbolen (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 0) genoeg om elk willekeurig getal te geven. De positie van het getal is daarbij belangrijk, want een getal dat meer naar links staat geeft een hogere macht weer.

Een schijnbaar onbelangrijke functie is in ons decimale positiestelsel weggelegd voor het getal 0. Hiermee geven we aan dat een bepaalde macht niet in het getal voorkomt. In het geval van 3601 betekent dit dat er geen veelvoud van 10 voorkomt. De Babyloniërs kenden het getal 0 niet. Dezelfde symbolen kunnen nu verschillende getallen weergeven. Zo is 3601 in het Babylonisch YY, waar de eerste Y staat voor 602 (= 3600) en de tweede voor 600 (= 1). YY zou echter ook voor bijvoorbeeld 61 (601 + 600) of 2 (2×600) kunnen staan. De laatste twee kunnen van elkaar gescheiden worden doordat de getallen binnen dezelfde macht in groepjes bij elkaar gezet kunnen worden of juist van elkaar gescheiden. 2 blijft dan YY, terwijl 61 wordt weergegeven door Y Y. In figuur 1 is ook duidelijk te zien dat bij elkaar horende wiggen (binnen eenzelfde macht van 60) tegen elkaar aan geschreven worden.

De getallen 61 en 3601 worden dan echter nog steeds allebei als Y Y geschreven. De Babyloniërs konden deze getallen meestal onderscheiden door naar de context te kijken, maar erg handig was dit natuurlijk niet. Het maakt nogal een verschil of je 61 of 3601 schapen aan je buurman verkoopt. De latere Babylonische beschaving loste dit in eerste instantie op door een grotere ruimte tussen twee niet-opeenvolgende machten open te laten. 61 en 3601 worden dan respectievelijk Y_Y en Y_ _Y. Hier wordt gemakkelijk overheen gelezen, dus later werd een apart symbool verzonnen voor de 0. Uit oude Babylonische teksten is echter duidelijk dat zij het niet als getal zagen, meer als het niet-zijn van een getal.

Een derde probleem van het Babylonische telsysteem was dat er geen scheidingsteken gebruikt werd tussen gehele getallen en getallen ‘achter de komma’. Deze getallen achter de komma werden weergegeven door breuken, in feite precies zoals wij dat doen. Waar 0,1 bij ons 1/10 betekent, zou (,)Y voor de Babyloniërs 1/60 betekenen. Het ontbreken van het scheidingsteken zorgde ervoor dat één enkele wig, Y, bijvoorbeeld zowel 3600, 60, 1 als 1/60 kan betekenen. Ook hier was kijken naar de context de oplossing van het probleem, maar in latere Babylonische beschavingen werd hier niets aan veranderd.

Het Plimpton-tablet uit 1700 voor Christus. De getallen in de verschillende kolommen zijn oplossingen van de formule a2 + b2 = c2.

Tien vingers

Waarom gebruiken wij het zestigtallige getallenstelsel alleen nog om klok te kijken, maar niet om te tellen? De kinderziektes van het Babylonische systeem zijn best op te lossen – er moet een symbool voor het getal 0 en een komma of punt worden ingevoerd. Het grootste probleem ontstaat bij grote getallen. In het Babylonische systeem worden dit enorme rijen met verticale en schuine wiggen, waardoor de duidelijkheid verloren gaat. In ons systeem is voor elke macht slechts één symbool nodig en kunnen grote getallen gemakkelijk en overzichtelijk worden weergegeven. Maar toch blijven we steken bij die ene vraag: waarom per se het getal 10 als basis voor dit systeem?

De verklaring ligt waarschijnlijk in het feit dat een mens nou eenmaal tien vingers heeft om mee te tellen. Tellen is een dagelijkse bezigheid, waarbij men de vingers als hulpmiddel erbij haalt. Na 10 begin je opnieuw en zo schrijven we het ook op. In feite zie je dat al gebeuren bij de Babyloniërs, die een nieuw symbool geven aan het getal 10. Alleen beginnen zij niet echt opnieuw maar tellen door tot 60, terwijl wij aan een nieuwe macht van 10 beginnen.

Klokkijken was tot enkele eeuwen geleden veel minder gewoon en heeft zo het decimale getallenstelsel kunnen weerstaan. Bovendien geldt het nadeel van grote getallen niet bij de tijdsweergave en kunnen uren in het zestigtallige systeem gemakkelijk opgedeeld worden in twee, drie, vier, vijf of zes delen.

Voorbeeld van een tijdens de Franse revolutie gemaakte klok die de 24-uurs- en de 10-uursopdeling combineert bron: Wikipedia..

De kracht van het Babylonische getallenstelsel in onze tijdstelling wordt ook duidelijk uit de mislukte pogingen om dit systeem te veranderen. De meest serieuze poging hiertoe is de wet die in 1793 tijdens de Franse Revolutie werd ingevoerd. Deze wet zei dat maanden voortaan waren opgebouwd uit drie decaden van tien dagen, dagen uit tien uren, uren uit honderd minuten en minuten uit honderd seconden. Net als de volgende Franse poging in 1897 faalde dit plan jammerlijk en al na zes maanden keerden de Fransen terug naar de opdeling in zestig minuten en seconden. Zo gebruiken wij elke keer dat we naar de klok kijken nog steeds een systeem van 5000 jaar oud.

Roy Lagerburg is bachelorstudent natuur- en sterrenkunde aan de Universiteit van Amsterdam.

Dit artikel is een publicatie van Universiteit van Amsterdam (UvA).
© Universiteit van Amsterdam (UvA), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 14 november 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.