Zoeken naar priemgetallen – getallen met precies twee delers, zoals 2, 3, 5, 7 en 31 – doen mensen niet alleen maar voor de kick die het geeft als een computer na uren, soms dagen, weken of zelfs maanden, rekenen de zeldzame boodschap brengt dat het bestudeerde getal priem blijkt te zijn. Cryptografen zijn blij met nieuwe grote priemgetallen, omdat ze een belangrijke rol spelen bij het veilig verzenden van geheime informatie, zoals het doen van betalingen over het internet.

Vijf Woodallpriemgetallen, géén Mersenne-priemgetallen

De zoektocht naar de zogeheten Woodallpriemgetallen was succesvol in 2007. Een Woodallpriemgetal is een priemgetal van de vorm n • 2ⁿ − 1. Niet minder dan vijf priemgetallen van deze soort werden vorig jaar gevonden, en het zijn meteen de vijf grootste Woodallpriemgetallen die bekend zijn. Het laatst gevonden exemplaar is het getal 3.752.948 • 2^3.752.948 − 1. Het is het enige Woodallpriemgetal dat we kennen met meer dan een miljoen cijfers; om precies te zijn: het getal heeft 1.129.757 cijfers. Hiermee staat het op de dertiende plaats van grootste priemgetallen. Het werd gevonden op 21 december 2007 door (de computer van) Matthew J. Thompson. De priemtest duurde 15 uur en 11 minuten.

Ondanks de vijf Woodallpriemgetallen, gaat 2007 niet als uiterst succesvol priemjaar de geschiedenis in. De lijst van grootst bekende priemgetallen wordt al sinds september 2006 aangevoerd door het 9.808.358 cijfers lange getal 2^32.582.657 − 1. Dit is een Mersenne-priemgetal, dat wil zeggen: van de vorm 2ⁿ − 1. Naar Mersenne-priemgetallen wordt sinds 1996 systematisch gezocht. De reden dat de zes grootste priemgetallen die we kennen allemaal Mersenne-getallen zijn (het grootst bekende Mersenne-priemgetal is bijna negen keer zo groot als het onlangs gevonden Woodallpriemgetal), is dat er voor Mersenne-getallen relatief eenvoudige priemtests bestaan, die niet werken voor andersoortige getallen.

Woodall en Cullen

James Cullen (1867-1933) was een Iers wiskundige. Naar hem zijn de Cullengetallen vernoemd; dit zijn getallen van de vorm n • 2ⁿ + 1. Voor sommige waarden van n zijn die getallen priem; 1.354.828 • 2^1.354.828 + 1 is het grootste Cullenpriemgetal dat we kennen en stamt uit 2005. Er zijn slechts veertien Cullenpriemgetallen bekend, maar men vermoedt dat er oneindig veel van bestaan. Een bewijs van deze hypothese heeft echter nog nooit iemand kunnen leveren.

Herbert J. Woodall was een Brits wiskundige. Samen met Allan J. C. Cunningham raakte hij geïnspireerd door de Cullengetallen. Als variant bestudeerden zij getallen van de vorm n • 2ⁿ − 1; dit deden zij voor het eerst in 1917. Net als bij de Cullengetallen die er erg op lijken, vermoedt men dat onder de Woodallgetallen zich oneindig veel priemgetallen bevinden. Het in december 2007 gevonden Woodallpriemgetal is echter pas het 33ste in zijn soort.

Het nieuwe jaar

Wat heeft het nog zo jonge 2008 inmiddels opgeleverd aan priemgetallen? Op dit moment wordt de veertiende plaats op de lijst van grootste priemgetallen bezet door 3.139 • 2^3.321.905 − 1, een getal van 999.997 cijfers waarvan op 14 januari van dit jaar bekend werd dat het geen delers heeft. Dit priemgetal is géén Woodallgetal, omdat de eerste factor (3.139) ongelijk is aan de exponent (3.321.905).

Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) is in januari 1996 opgericht. Sindsdien werd vrijwel elk jaar ten minste één Mersenne-priemgetal ontdekt. Alleen de jaren 2000 en 2002 waren net zo teleurstellend als 2007. Statistisch gezien zou GIMPS in 2008 wel weer een succes moeten boeken. De kans is groot dat het eerstvolgende Mersenne-priemgetal meer dan tien miljoen cijfers heeft. De eerlijke vinder is dan honderdduizend dollar rijker, want dat is de prijs die GIMPS uitlooft aan degene die als eerste een (Mersenne-)priemgetal vindt dat zo groot is.