Symmetrisch Venndiagram voor 11 verzamelingen ontdekt

Het 3-Venndiagram bestaat uit zeven gebieden. In het algemeen bestaat een n-Venndiagram uit 2ⁿ – 1 gebieden.

In 1880 ontwierp de Britse logicus John Venn geometrische plaatjes om relaties tussen verzamelingen te visualiseren. Overbekend is het Venndiagram voor drie verzamelingen: drie overlappende cirkels, waardoor zeven gebieden ontstaan. Zie het plaatje hiernaast, waarin de verzamelingen A, B en C respectievelijk in geel, roze en lichtblauw zijn weergegeven.

Elke verzameling overlapt één keer met elke andere verzameling. Het rode gebied is de overlap van A en B, het groene die van A en C en de donkerblauwe die van B en C. Ten slotte is er nog de overlap van alle drie de verzamelingen: het bruine gebied in het midden.

Het plaatje hierboven is mooi symmetrisch van vorm, en dat is een eigenschap die wiskundigen aanspreekt. De vraag voor welke aantallen verzamelingen er een rotatiesymmetrisch Venndiagram te maken is, is pas in 2003 beantwoord: het aantal verzamelingen kan elk willekeurig priemgetal zijn. Dus voor 5, 7, 11, 13, … bestaan er plaatjes vergelijkbaar met de afbeelding hierboven (de omgekeerde bewering, ‘voor elk rotatiesymmetrisch Venndiagram is het aantal verzamelingen priem’, was al in 1963 bewezen). Omwille van de helderheid, eist men dat de diagrammen ‘simpel’ zijn, wat wil zeggen dat niet meer dan twee lijnen elkaar in hetzelfde punt snijden (met ‘lijn’ wordt hier ‘rand van een getekende verzameling’ bedoeld).

11-Venndiagram

Hoewel het bestaan van simpele, symmetrische Venndiagrammen voor een priem-aantal verzamelingen dus reeds was aangetoond, is het voor de meeste van zulke Venndiagrammen niet bekend hoe die eruit zien. Duidelijkheid over het 5- en het 7-Venndiagram kwam pas een eeuw nadat Venn met het idee van zijn diagrammen kwam. Het 5-Venndiagram werd gevonden door Branko Grünbaum en het 7-Venndiagram door Grünbaum en Anthony Edwards, onafhankelijk van elkaar. En nu is ook bekend hoe het 11-Venndiagram eruit ziet, zie onderstaande afbeelding.

Het 11-Venndiagram bestaat uit 2¹¹ – 1 = 2047 gebieden.

Khalegh Mamakani en Frank Ruskey

Khalegh Mamakani en Frank Ruskey

Het eerste simpele, rotatiesymmetrische 11-Venndiagram werd gevonden door Khalegh Mamakani en Frank Ruskey van de University of Victoria in British Columbia (Canada). In de bovenstaande figuur is de rand van één van de elf verzamelingen met een witte lijn gemarkeerd. Het diagram heeft 2¹¹ – 1 = 2047 gebieden. Al in 2002 vond Peter Hamburger een symmetrisch 11-Venndiagram, maar dat was niet simpel.

De twee onderzoekers noemen hun creatie ‘Newroz’, Koerdisch voor ‘de nieuwe dag’. De naam klinkt als ‘new rose’ en verwijst daarmee naar de bloemrijke vorm.

Een detail van het 11-Venndiagram.

Khalegh Mamakani en Frank Ruskey

Khalegh Mamakani en Frank Ruskey

Om het roosachtige Venndiagram te vinden, moesten Mamakani en Ruskey talloze potentiële schema’s uitpluizen. Om alle mogelijkheden voor een Venndiagram met 11 verzamelingen na te lopen, gaat zelfs de macht van de snelste computers fundamenteel te boven: het aantal mogelijke diagrammen ‘explodeert’ namelijk met het toenemen van het aantal verzamelingen; al voor 11 verzamelingen is het aantal mogelijkheden veel te groot.

Het symmetrische 5-Venndiagram werd voor het eerst gecreëerd door de Kroatische wiskundige Branko Grünbaum in 1975.

Wikimedia Commons

Wikimedia Commons

Het symmetrische 7-Venndiagram werd, onafhankelijk van elkaar, gevonden door Branko Grünbaum en Anthony Edwards in 1992.

Wikimedia Commons

Wikimedia Commons

Door een paar slimme trucs toe te passen, kon het tweetal dit aantal reduceren zodat het beheersbaar werd. Zo eisten ze dat de diagrammen een eigenschap hebben die ze crosscut symmetry noemen. Dat wil zeggen dat elke verzameling elke andere verzameling exact één keer doorsnijdt.

Soortgelijke methoden werden gebruikt voor het vinden van symmetrische 5- en 7-Venndiagrammen. Dat was echter nog geen garantie dat het ook voor het 11-Venndiagram moest lukken. “Het was het een grote verrassing dat we er eindelijk, na zo lang te hebben gezocht, één hebben gevonden,” aldus Ruskey.