Onlangs hebben wiskundigen het gecompliceerde 248-dimensionale object genaamd E8 in kaart gebracht. Dat gebeurde in het kader van het grootschalige project ‘Atlas of Lie Groups and Representations’, waarbij gezocht wordt naar representaties van zogeheten Liegroepen, abstracte wiskundige objecten die voor het eerst werden bestudeerd door de Noorse wiskundige Sophus Lie (1842-1899).

De onderzoekers schreven een algoritme waarmee data berekend kunnen worden die belangrijke informatie geven over de representaties van de uiterst ingewikkelde Liegroep genaamd E8. Een supercomputer deed 77 uur over de omvangrijke berekening. Voor de oplossing was een geheugen van 60 gigabyte nodig. Ter vergelijking: met dezelfde hoeveelheid gigabytes kun je MP3-bestanden voor 45 dagen onafgebroken muziek opslaan. De E8-berekening resulteerde in een matrix van 453.060 bij 453.060, samen de zogeheten ‘karaktertabel van E8’. De ruim 205 miljard waarden in de matrix zijn geen recht-toe-recht-aan getallen, maar veeltermen met soms grote coëfficiënten. De complete matrix zou uitgeschreven in een klein lettertype een vel papier ter grootte van Manhattan (ongeveer 60 vierkante kilometer) in beslag nemen.

Het verkregen resultaat is baanbrekend, maar over toepassingen elders kunnen de onderzoekers alleen nog maar speculeren. Zij hebben goede hoop dat de E8-berekening kan worden toegepast in het streven van de natuurkunde, waaronder de snaartheorie, om het standaardmodel voor de zwakke, sterke en electromagnetische interactie te verenigen met de gravitatietheorie.

Liegroepen

De E8 is een Liegroep, een wiskundig object dat voor het eerst werd beschreven door Sophus Lie, een Noors wiskundige uit de negentiende eeuw. Een Liegroep (of ‘continue transformatiegroep’, zoals Lie het zelf noemde) geeft de verzameling van alle symmetrie-operaties van een symmetrisch object, zoals bijvoorbeeld de cirkel. De cirkel kun je over elke gewenste hoek draaien om zijn middelpunt, zonder dat het uiterlijk van die cirkel verandert. Al die draaiingen samen worden in de wiskunde een groep genoemd en omdat deze groep een continue structuur heeft (in tegenstelling tot bijvoorbeeld het vierkant, dat je slechts om een veelvoud van 90 graden kunt draaien zonder dat het vierkant verandert), wordt deze groep een Liegroep genoemd. Een wat ingewikkelder voorbeeld van een Liegroep is de symmetriegroep van alle draaiingen van de bol. Neem je als symmetrisch object iets heel ingewikkelds, bijvoorbeeld objecten in hogere dimensies, dan krijg je uiteraard ook een ingewikkelder Liegroep. “In de wiskunde kun je meestal wel een voorbeeld bedenken dat nóg moeilijker is, maar in de wereld van de Liegroepen is de E8 echt de allermoeilijkste,” zegt David Vogan, verbonden aan het Massachusetts Institute of Technology. Dit reusachtige 248-dimensionale wiskundebouwsel, ontdekt in 1887, beschrijft symmetrieën van 57-dimensionale objecten.

De halfenkelvoudige Liegroepen vormen een belangrijke klasse van Liegroepen. Zoals elk natuurlijk getal te ontbinden is in priemfactoren, is elke halfenkelvoudige Liegroep samen te stellen uit een aantal ‘elementaire Liegroepen’. Deze elementaire Liegroepen, de enkelvoudige Liegroepen geheten, komen voor in families. Er zijn vier oneindige series A1, A2, A3, …, B2, B3, B4, …, C3, C4, C5, …, D4, D5, D6, … en vijf speciale gevallen G2, F4, E6, E7 en E8. Bij elk van deze codenamen hoort ook een graaf (een zogeheten Dynkin-diagram), zie bijvoorbeeld de graaf van E8 in de onderstaande afbeelding. In principe bevat een Dynkin-diagram alle informatie om de bijbehorende enkelvoudige Liegroep te construeren. Om het nog moeilijker te maken: wat men zo construeert is een compacte vorm van de enkelvoudige Liegroep. Sinds het werk van de Duitser Hermann Weyl (1885-1955) heeft men de representatietheorie van compacte enkelvoudige Liegroepen (ook van E8) goed in de vingers.

Uitgebreidere informatie over (Lie)groepen is te lezen in het artikel via de onderstaande link. Deze tekst richt zich op lezers met enige algemene wiskundige ontwikkeling.

Ambitieus project

De E8-berekening is een onderdeel van het ambitieuze ‘Atlas-project’, waaraan een team van achttien wiskundigen, bestaande uit Amerikanen en Europeanen, vier jaar geleden begon. Het doel van dit project is om representaties van de halfenkelvoudige Liegroepen te beschrijven. Preciezer, maar voor niet-wiskundigen onbegrijpelijke taal: het team wil van elke reële niet-compacte enkelvoudige Liegroep alle irreducibele unitaire representaties vinden. Bij E8 gaat het in het nu verkregen resultaat om de groep ‘gespleten E8’, een van de twee niet-compacte reële vormen van E8. Van de gespleten E8 is, in tegenstelling tot het compacte geval, de representatietheorie nog allerminst bekend.

Een van de deelnemers aan het Atlas-project is de Nederlander Marc van Leeuwen, thans werkzaam in Poitiers, Frankrijk. Hij heeft het programmeerwerk waar het Nederlands-Franse teamlid Fokko du Cloux mee was begonnen, tot een goed einde gebracht. Du Cloux overleed vorig jaar aan de spierziekte ALS. Elke zomer ontmoetten de teamleden elkaar in het American Instiute of Mathematics, en door het jaar heen zagen ze elkaar in kleinere groepen. Hun werk bestaat uit een mix van theoretische wiskunde en programmeerwerk. Vogan: “De literatuur over dit onderwerp is zeer ingewikkeld. Zelfs nadat we de onderliggende wiskunde helemaal doorhadden, hadden we nog twee jaar nodig om het programma te schrijven waarmee de supercomputer de berekeningen kon uitvoeren.” Nu de berekening van de E8, die gezien wordt als het meest gecompliceerde deel van het Atlas-project, is geslaagd, is er goede hoop dat het team zijn uiteindelijke doel zal kunnen bereiken.