Je leest:

Stapelen met regelmatige veelvlakken

Stapelen met regelmatige veelvlakken

Auteur: | 13 september 2009

Wiskundigen van de universiteit van Princeton hebben het wereldrecord tetraëders inpakken verbeterd. Het pakkingsprobleem is een variant op het eeuwenoude bolstapelingsprobleem van Kepler. Het zo simpel ogende probleem, dat niet meer lijkt dan een leuke puzzel voor in de vrije tijd, bevat diepe wiskundige inzichten en heeft praktische toepassingen, zoals het efficiënt opslaan van gegevens op een cd.

Salvatore Torquato. Foto: Princeton University, Brian Wilson

De vraag hoe je zoveel mogelijk objecten van dezelfde vorm in een doos propt, lijkt simpel, maar is dat allerminst. Twee onderzoekers van de universiteit van Princeton, Salvatore Torquato en Yang Jiao, hebben gezocht naar optimale pakkingen van de vijf Platonische lichamen en dertien Archimedische lichamen. Platonische lichamen, ofwel regelmatige veelvlakken, zijn driedimensionale objecten waarvan de zijvlakken identieke regelmatige veelhoeken zijn. Er bestaan er slechts vijf: tetraëder (regelmatig viervlak), hexaëder (kubus), octaëder (regelmatig achtvlak), dodecaëder (regelmatig twaalfvlak) en icosaëder (regelmatig twintigvlak). Archimedische lichamen bestaan uit twee of meer soorten veelhoeken, maar de hoekpunten moeten er allemaal hetzelfde uitzien.

De vijf regelmatige veelvlakken: tetraëder, icosaëder, dodecaëder, octaëder en kubus. Plato, naar wie de regelmatige veelvlakken zijn vernoemd, bracht deze objecten in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. Afbeelding: Courtesy of Torquato Laboratory

Stapeldichtheid

De twee wiskundigen hebben geen echte bewijzen geleverd, maar zochten naar optimale stapelingen door middel van computersimulaties. De dichtheid van een stapeling is gedefinieerd als de fractie van de totale ruimte die de gestapelde lichamen innemen (in een kist die zo groot is, dat het niet uitmaakt of je met stapelen toevallig goed uitkomt). Kubussen vullen een ruimte naadloos op: de dichtheid is dan 1. Voor tetraëders vonden de wiskundigen een dichtheid van 0,782021. Dit is een nieuw record: hiervoor was de best bekende dichtheid 0,778. Volgens Torquato en Jiao zou de door hun gevonden dichtheid best eens de allerbeste kunnen zijn. Het is een sterk vermoeden dat ze ‘het 21ste eeuwse analogon van Keplers vermoeden’ noemen. Het is nu wachten op een theoretisch bewijs; pas dan is een wiskundige voor 100 procent overtuigd.

Het vermoeden van Kepler

Hoe stapel je bollen zo compact mogelijk op? Johannes Kepler gaf in 1611 het antwoord: bouw met je sinaasappels een piramide. Hij gaf echter geen bewijs voor zijn stelling dat dit inderdaad de efficiëntste manier van stapelen is. In 1998 beweerde de Amerikaan Thomas Hales het vermoeden van Johannes Kepler te hebben bewezen. Zijn bewijs maakt gebruik van computerberekeningen en werd daarom door sommigen met scepsis ontvangen. Inmiddels is iedereen wel overtuigd van Hales’ bewijs. In 2005 publiceerde het prestigieuze Amerikaanse wiskundetijdschrift Annals of Mathematics het bewijs, althans, het formeel-wiskundige deel daarvan. De computerdelen verschenen in een meer gespecialiseerd tijdschrift, Discrete and Computational Geometry. Afbeelding: Thomas Hales stapelt tennisballen. Bron: Bob Kalmbach

Onregelmatig

De gevonden stapeling van tetraëders ziet er zeer onregelmatig uit. De veelvlakken zitten paarsgewijs tegen elkaar aan in de ‘face to face’ houding. Van buitenaf gezien lijkt het of de paren willekeurig in een bak zijn gestort. De twee onderzoekers bestudeerden niet alleen de tetraëder. Voor de ico-, dode- en octaëders vonden zij een dichtheid van respectievelijk 0,836315, 0,904002 en 0,947003. In tegenstelling tot bij de tetraëders, zijn de stapelingen hier veel regelmatiger. Torquato en Jiao denken dat dit komt doordat alleen de tetraëder niet centraal symmetrisch is (het centrum ligt dan niet, vanuit elke richting bekeken, halverwege het lichaam).

Dichtste pakkingen volgens de simulaties van Torquato en Jiao van (vanaf linksboven met de klok mee) tetraëders, icosaëders, octaëders en dodecaëders. De tetraëderstapeling is als enige zeer onregelmatig. Afbeelding: Courtesy of Torquato Laboratory

Toepassingen

Het pakkingsprobleem mag misschien op een vakantiepuzzel lijken, niets is minder waar. De computersimulaties bevatten diepgaande wiskunde en het probleem heeft toepassingen in onder andere de coderingstheorie. In de coderingstheorie gaat het om het opslaan van gegevens op bijvoorbeeld een cd. Hierbij kunnen kleine fouten in de data sluipen als gevolg van ruis of beschadigingen van de cd. Door in de gegevens redundantie in te bouwen met behulp van zogeheten foutcorrigerende codes, kunnen kleine aantallen fouten echter worden gecorrigeerd.

Leuke puzzel

Wiskundige Jan van de Craats bedacht lang geleden voor de Pythagoras Olympiade de volgende puzzel. Hoeveel tetraëders met ribbenlengte 1 passen er maximaal in een kubus met ribbenlengte 1? Op de weblog Wiskundemeisjes deed deze puzzel veel stof opwaaien. Op het forum verschenen lange discussies van mensen die er slapeloze nachten van hadden. Het juiste antwoord is drie. Op het plaatje hieronder zie je hoe de tetraëders geplaatst moeten worden. Het past precies, maar dan ook precies.

Zie ook:

Computer stapelt sinaasappels Kanonskogels stapelen Formele bewijzen: het DNA van de wiskunde

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 13 september 2009

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.