Je leest:

Stambreuken bij de Egyptenaren

Stambreuken bij de Egyptenaren

Auteur: | 25 april 2006

In het oude Egypte kende men geen breuken zoals bij ons. De Egyptenaren gebruikten stambreuken; dat zijn breuken met 1 als teller, zoals 1/2 , 1/5 en 1/536 . Er waren enkele uitzonderingen: men werkte wel met 2/3 en 3/4 , waarvoor men ook speciale symbolen had; zie figuur 1, waarin verder de symbolen voor 1, 10, 25, 1/2 , 1/4 , 1/3 en 1/6 te zien zijn. Zo werd 2/3 aangeduid als ‘de twee delen’. De aanvulling tot 1 is dan ‘het derde deel’. En misschien komt daar onze benaming ‘een derde’ voor 1/3 wel vandaan. Bij deze zienswijze is het enigszins begrijpelijk dat men niet kon spreken van ‘drie vijfde’, want er is dan maar één vijfde deel.

Figuur 1. Enkele Egyptische symbolen.

Onze kennis van de Egyptische wiskunde is voornamelijk gebaseerd op een papyrusrol die bekend staat als de ‘papyrus Rhind’, genoemd naar de Schotse egyptoloog mr. A.H. Rhind, die deze papyrus in 1858 in Luxor kocht en later aan het Brits Museum vermaakte. De rol stamt uit 1650 voor Christus en we weten zelfs door wie hij geschreven is. De schrijver deelt namelijk mee dat hij Ahmes heet en dat hij de rol overschreef van een rol die toen al twee eeuwen oud was. De papyrus Rhind bevat 87 vraagstukken met uitwerkingen.

Egyptisch tellen

De Egyptenaren kenden een tientallig stelsel, dat zij weergaven met zeven verschillende symbolen: 1 werd weergegeven met één verticaal streepje; 2 met twee verticale streepjes, 3 met drie… etcetera. 10 werd weergegeven met het Egyptische symbool voor een ossenspan. 100 met een rol touw. 1000 door een lotusplant. 10.000 door een vinger. 100.000 door een kikker(visje). 1.000.000 door een god met z’n armen boven z’n hoofd.

Hiermee konden de Egyptenaren op een heel simpele manier elk (geheel) getal maken dat zij wilden: hogere getallen werden altijd vóór de lagere gezet en waar er meer dan één rij getallen werd gebruikt, begon men bovenaan met tellen (zie voorbeelden hierboven). De Egyptenaren hadden weliswaar een symbool voor 0 (zie hierboven), maar rekenden hier niet echt mee. Wel kenden (en gebruikten) de Egyptenaren al een soort ‘pi’, die met een waarde van 3,16 niet eens zo heel erg afweek van onze huidige pi (3,14159265…).

Opvallend is dat Ahmes breuken met teller 2 niet opsplitst in de som van twee gelijke stambreuken, maar als som van verschillende stambreuken. Zo schrijft hij 2/5 niet als 1/5 + 1/5, maar als 1/3 + 1/15 . En 2/7 als 1/4 + 1/28. De papyrus Rhind bevat onder meer een tabel van dergelijke opsplitsingen voor 2/3 tot en met 2/101.

De techniek van het rekenen met breuken was in die tijd behoorlijk ver ontwikkeld. Zo werden delingen als de volgende uitgevoerd:

37 : (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Een stukje Egyptische wiskunde in hiërogliefen. Goed is te zien hoe getallen en stambreuken geschreven werden. Het fragment gaat over de berekening van de inhoud van een halve bol waarvan de dubbele diameter 9 is. De vertaling luidt: Bereken jij 1/9 van 9, er komt 1; Bereken jij het verschil als 8, bereken jij 1/9 van 8; Er komt 2/3 + 1/6 + 1/18; Bereken jij het verschil van deze 8 met deze 2/3 + 1/6 + 1/18; Er komt 7 1/9; Bereken jij 7 1/9 maal 4 1/2; Er komt 32. Zie het oppervlak is dit. Je hebt het goed gevonden.

Als som van stambreuken

Elke onvereenvoudigbare breuk is te schrijven als de som van verschillende stambreuken, bijvoorbeeld 8/11 = 1/2 + 1/5 + 1/37 + 1/4070. Maar die schrijfwijze is niet eenduidig, zoals bijvoorbeeld blijkt uit 2/19 = 1/11 + 1/70 + 1/14630 en ook 2/19 = 1/10/+ 1/190.

Egyptenaren kenden alleen zogenaamde stambreuken; dat zijn breuken met 1 als teller, zoals 1/2 , 1/5 en 1/536. Een stambreuk gaven ze aan door een streepje, dat ‘gedeelte’ betekende, boven het getal te zetten dat als noemer van de stambreuk zou gaan fungeren. Naast de stambreuken hebben de Egyptenaren nog een tijdje een paar ‘speciale’ breuken gebruikt, namelijk 2/3 en 3/4; maar deze raakten na verloop van tijd in onbruik en men ging “complexere” breuken, bijvoorbeeld 3/8 en 2/7, schrijven als de som van een aantal stambreuken. 3/8 werd bijvoorbeeld opgeschreven als 1/4 + 1/8 en 2/7 als 1/4 + 1/28.

Als we echter afspreken dat we steeds een zo groot mogelijke stambreuk afsplitsen, dan is de splitsing wel eenduidig. Aan de hand van een voorbeeld tonen we aan hoe dat te realiseren is.

Neem 5/11. Omdat 2 < 11/5 < 3, geldt 1/3 < 5/11 < 1/2. Daardoor is 1/3 de grootste stambreuk die kleiner is dan 5/11. Verminder 5/11 met 1/3. Dat levert 5/11 – 1/3 =(15 – 11)/33 = 4/33. Verminder 4/33 met 1/9. Dat levert 4/33 – 1/9 = (12 – 11)/99 = 1/99. Daarmee hebben we dus gevonden 5/11 = 1/3 + 1/9 + 1/99.

Je ziet dat je steeds hetzelfde principe toepast. Het totale proces kan lang duren, en leiden tot stambreuken met een erg grote noemer. Bij elke stap wordt de teller van de restbreuk wel kleiner, zodat het zeker is dat het proces op een gegeven moment eindigt.

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 25 april 2006

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.