Je leest:

Spontane knopen

Spontane knopen

In het snoer aan je iPod komt al gauw vanzelf een knoop. Twee fysici hebben uitgezocht welke soort knopen spontaan optreden. Het gaat meestal om zogeheten priemknopen.

Vroeger, toen telefoons nog niet draadloos waren, waren ze in elk huis te vinden: draden die spontaan in de knoop zijn gaan zitten. Gelukkig hoeft ook de moderne mens dit wonder der natuur niet te missen, want computerkabels en snoertjes van koptelefoons vertonen hetzelfde gedrag. Gewapend met knopentheorie hebben fysici Dorian M. Raymer en Douglas E. Smith geprobeerd dit probleem te ontwarren.

In het snoertje van de oordopjes van een iPod komt al gauw een spontane knoop

De onderzoekers deden touwtjes in een doos, waar vervolgens flink mee gerammeld werd gedurende een bepaalde tijd. Het resultaat hiervan bleek een heel spectrum aan verschillende knopen te zijn, dat met behulp van wiskundige knopentheorie geanalyseerd kon worden. De experimentele resultaten wijzen erop dat voor lange, flexibele touwtjes de kans dat er een knoop ontstaat naar 100% gaat.

Een computerillustratie van het experiment. Afbeelding: Dorian Raymer, UCSD

Bij het bepalen welke knopen er ontstaan, komt knopentheorie van pas. Je kunt een knoop goed beschrijven door zijn diagram, zie de twee voorbeelden in de figuur hieronder. Het diagram is echter niet uniek bepaald door de knoop. Je kunt bijvoorbeeld het linker diagram eenvoudig vervormen zodat het zichzelf vijf keer kruist in plaats van drie keer. Maar minder dan drie kruisingen is niet mogelijk voor de knoop die door het linker diagram wordt voorgesteld. We noemen het kleinst mogelijke aantal kruisingen in het diagram van een knoop het crossing number.

Een knoop met crossing number 3 (links) en een knoop met crossing number 4 (rechts)

Aan de hand van foto’s van de knopen konden de onderzoekers de bijbehorende knopendiagrammen en Jonespolynomen bepalen die gebruikt worden om knopen te classificeren. In totaal werden er honderdtwintig verschillende soorten knopen gevonden tijdens de experimenten. Het grootste crossing number hierbij was elf.

Bijna alle gevonden knopen waren ‘priemknopen’, dat wil zeggen dat ze geen samenstelling zijn van twee andere knopen, en alle priemknopen met zeven kruisingen of minder waren vertegenwoordigd. Dit is een sterke aanwijzing dat het knopingsproces slechts aan een van de uiteinden van het touwtje begint en niet aan beide uiteinden tegelijk. Ware dit namelijk wel zo, dan is het zeer onwaarschijnlijk dat de beide knopen in het midden van het touwtje samenkomen om een priemknoop te vormen (in plaats van een samengestelde knoop).

Met de computer gegenereerde plaatjes van enkele van de gevonden knopen. Afbeelding: Dorian Raymer, UCSD

De fysici hebben ook getracht een model op te stellen voor de vorming van de knopen, op basis van zogenaamde willekeurige braid moves. Het is met deze bewegingen mogelijk om alle priemknopen te maken en daarom kan dit model dienen als verklaring voor de priemknoopformatie in de doos.

Een oplossing voor in elkaar gedraaide computersnoeren hebben Raymer en Smith niet gevonden. Van Kennislink dit advies tegen ongewenste priemknopen: bind je snoeren aan elkaar met vuilniszakbinders, zodat ze niet kunnen bewegen en niet in de knoop raken. U loopt wel mooie wiskunde in de leefomgeving mis.

Dit artikel is een publicatie van Nieuw Archief voor Wiskunde (KWG).
© Nieuw Archief voor Wiskunde (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 21 maart 2008
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.