“Mijn vakgebied is de topologie. Dat is een soort abstracte, moderne meetkunde. In dit vakgebied probeert men meetkundige objecten – ruimtelijke vormen – te begrijpen en te karakteriseren. Niet alleen in drie of vier dimensies, maar in willekeurig hoge dimensies, of soms helemaal zonder dimensies. Bijvoorbeeld door een nieuw groot object te maken door oneindig veel kleinere objecten op een bepaalde manier bijeen te voegen. Veel verschijnselen in de wis- en natuurkunde, en ook in andere vakgebieden, kunnen bestudeerd worden met technieken uit de topologie.” Dat schreef Ieke Moerdijk een jaar geleden zelf over zijn onderzoek in βupdated, bij zijn overstap van de Universiteit Utrecht naar de Radboud Universiteit Nijmegen.
Moerdijk is internationaal befaamd om zijn werk in de algebraïsche topologie en zijn werk op het snijvlak van de topologie en de logica. Hij is een van de grondleggers van de algebraïsche verzamelingenleer, een gebied dat inzicht verschaft in de grondregels waarop de huidige wiskunde berust, en in mogelijke uitbreidingen daarvan. Met zijn baanbrekende en vernieuwende onderzoek – topologie en mathematische logica is een moderne en ongebruikelijke invalshoek – schaart Moerdijk zich in het rijtje van vermaarde Nederlandse topologen als Luitzen Egbertus Jan Brouwer en Hans Freudenthal. Brouwer werd beroemd vanwege zijn dekpuntstelling. Freudenthal deed topologisch onderzoek in de hoogste dimensie. Hij vroeg zich af wat er gebeurt als de dimensie naar oneindig gaat.
Algebraïsche topologie
In de algebraïsche topologie worden meetkundige objecten algebraïsch geclassificeerd. Op die manier kan bijvoorbeeld blijken dat een ruimtelijke vorm die met enig wiskundig duwen en trekken vervormd wordt tot een andere vorm, in algebraïsch opzicht nog steeds dezelfde kenmerken vertoont. Moerdijk: “Ik ben vooral geïnteresseerd in het samenspel tussen de topologie en extra structuren als symmetrie en algebra. Wat gebeurt er bijvoorbeeld met deze structuren als je een object een klein beetje vervormt? Een vermenigvuldiging van punten kan bijvoorbeeld voldoen aan enkele eenvoudige regels zoals ‘x keer y is y keer x’. Maar na vervorming van het object kunnen die regels exploderen tot een oneindige wirwar van regels, een wirwar die bij nadere beschouwing zelf ook weer een meetkundige structuur blijkt te hebben!”
Topologie en logica: een ongebruikelijke invalshoek
De logica bestudeert hoe wiskundige bewijzen in elkaar steken, en hoe wiskundige objecten precies beschreven kunnen worden, veelal met behulp van verzamelingen. Moerdijk geeft daar een topologisch tintje aan: in topologische termen (‘rekken en pletten mag, maar knippen en scheuren niet’) zou je kunnen zeggen dat hij met begrippen en inzichten uit de topologie de logica oprekt. Moerdijk is een echte pionier in het leggen van dwarsverbanden tussen topologie en logica, twee gebieden uit de wiskunde die op het eerste gezicht ver uit elkaar liggen. Voor hem is deze combinatie vertrouwd terrein: al in 1992 schreef hij samen met de Amerikaanse wiskundige Saunders Mac Lane het handboek Sheaves in Geometry and Logic. A first introduction to topos theory, dat een standaardwerk werd.
Nieuwe wegen
Moerdijk gaat zijn Spinozapremie, een geldbedrag van 2,5 miljoen euro, onder andere gebruiken om jonge onderzoekers aan te trekken. “Ik heb het altijd bijzonder inspirerend gevonden om een groep jonge wiskundigen, promovendi en postdocs om mij heen te hebben. Ik probeer dan een levendig klimaat voor ze te creëren, met werkgroepen, seminaria en buitenlandse gasten, waarbinnen hun onderzoek goed kan gedijen. Het bedenken van nieuwe onderwerpen voor promovendi buiten de gebaande paden houdt je fris, en dwingt je nieuwe wegen in te slaan,” aldus Moerdijk.