Je leest:

Snooker-wiskunde

Snooker-wiskunde

Auteur: | 1 september 2003

Bij het spel snooker, dat wel wat lijkt op biljart, gebruik je onder andere vijftien even grote rode ballen. Voordat het spel begint worden deze ballen in een driehoekige mal gelegd. Normaalgesproken haal je de mal weg om te kunnen spelen, maar nu laten we hem liggen en bekijken die situatie met een wiskundig oog.

Met de vijftien rode ballen kun je precies een gelijkzijdige driehoek vormen, zie figuur 2b. We noemen het getal 15 daarom een driehoeksgetal.

Figuur 1. Een snookertafel met alle ballen van bovenaf gezien

Met welk aantal ballen kunnen nog meer gelijkzijdige driehoeken worden gemaakt? Ofwel: welke getallen zijn ook driehoeksgetallen? Aan figuur 2a en figuur 2b kun je meteen zien dat 1, 3, 6 en 10 ook driehoeksgetallen zijn. Wij zijn uiteraard niet de eersten die dit vaststellen: Pythagoras van Samos en zijn volgelingen hielden zich al bezig met driehoeksgetallen, en constateerden dat alle driehoeksgetallen van de vorm ½n(n+1) zijn.

Figuur 2a en 2b Een schematische weergave van een mal met 10 ballen en met 15 ballen.

Minder ballen

Wiskundig is er echter meer te beleven aan de mal met ballen. Ga ervan uit dat de randen van de mal volkomen recht en onveerkrachtig zijn, en dat de ballen perfect bolvormig zijn. Als je nu zomaar één bal uit de mal weghaalt, dan merk je dat de overgebleven ballen nog steeds vast op hun plaats zitten. Blijkbaar kun je met veertien ballen de mal ook zo opvullen dat alle ballen nog vast zitten. Haal je er nu nog een bal uit, dan zijn er twee mogelijkheden: de ballen houden elkaar nog steeds op hun plaats in de mal (stabiele situatie, zie figuur 3a), of de ballen raken los (instabiele situatie, zie figuur 3b). Dat hangt ervan af welke twee ballen je weghaalt.

Vragen: Op hoeveel manieren kan de mal stabiel gevuld zijn met 14, 13, … ballen? Hoeveel ballen kun je maximaal weghalen voordat de overgebleven ballen los komen te liggen?

Figuur 3a en b. Een voorbeeld van een stabiele situatie (links) en van een instabiele situatie (rechts), met twee ballen minder.

Stabiel, op hoeveel manieren?

Voordat we vraag 1 proberen te beantwoorden, kijken we naar het eenvoudigere geval van een driehoek met tien ballen, zie figuur 2a. Op hoeveel manieren kun je één bal weghalen? In principe tien, maar daarvan zijn er veel hetzelfde, omdat je de driehoek kunt draaien en spiegelen. Ga zelf na dat er eigenlijk maar drie manieren zijn.

Op hoeveel manieren kun je twee ballen weghalen, zonder dat de ballen los komen? Er zijn 45 manieren om twee ballen weg te halen, maar daarvan zijn er vele hetzelfde als je spiegelt of draait. En van die overgebleven configuraties zijn er maar enkele die stabiel zijn. Kun je ontdekken onder welke voorwaarde je een stabiele of onstabiele configuratie krijgt?

Ben je eruit voor de driehoek met tien ballen, dan heb je waarschijnlijk voldoende inzicht voor de mal met vijftien ballen.

Ook voordat we aan vraag 2 beginnen, kijken we weer naar een driehoek met tien ballen. Je zult zeker gevonden hebben dat er stabiele configuraties zijn met negen en acht ballen. Wat verder proberen leert dat ook met zeven en zelfs met zes ballen de driehoek nog stabiel kan blijven (op hoeveel manieren?).

Figuur 4. Honingraatpapier: een Platonische vlakvulling.

Hoeveel ballen heb je ten minste nodig om de echte Snooker-mal stabiel te vullen? Wij vonden die vraag gemakkelijker nadat we eerst bekeken hadden hoe je een eindeloos grote driehoek nog stabiel zou kunnen vullen. De ballen in zo’n eindeloze driehoek liggen als de cellen in een honingraat. Onderzoek welke cellen je kunt schrappen zonder dat de andere cellen kunnen schuiven. Je kunt het honingraatpapier, zie figuur 4, op onze website vinden. Wij kwamen bij de echte Snooker-mal tot een vulling met negen ballen, kun jij het met minder?

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 september 2003

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.