Hoewel wiskundigen met deksels moeilijke problemen bezig zijn, houden ze er van om hun onderwerpen te verpakken in grappige, luchtige namen. Het lijkt daardoor alsof ze met niets anders dan Spielereien bezig zijn. Maar achter de vrolijke namen zitten diepgaande, abstracte ideeën verborgen.
De ham-sandwichstelling
Neem twee sneetjes brood, leg er een plakje ham tussen et voilà, klaar is je sandwich. Met een mes mag je de sandwich één keer doorsnijden (zonder bochten). De vraag is nu: kun je dit zó doen, dat er twee delen ontstaan met beide dezelfde hoeveelheid brood en dezelfde hoeveelheid ham?
Het antwoord is: ja, dat kan altijd. Het doet er niet toe wat de vorm van de sandwich is en hoe de ham ertussen is gelegd. Zelfs de meest bizarre vorm van een sandwich – als die maar bestaat uit twee sneetjes brood en één plak ham – kan in twee gelijke delen worden gesneden.
De ham-sandwichstelling is afkomstig uit een deelgebied van de wiskunde, dat algebraïsche topologie wordt genoemd. De wiskundige beschrijving van de stelling oogt een stuk zwaarder dan de versie in termen van brood en ham:
Gegeven zijn n begrensde, open verzamelingen in Rn. Er bestaat dan een vlak in Rn dat elk van die n verzamelingen in twee delen van gelijk volume splitst.
De naam ham-sandwichstelling refereert aan het geval waarbij n = 3: de drie verzamelingen zijn de twee sneetjes brood en het plakje ham.
Het ham-sandwichraadsel werd opgetekend als Probleem 123 van het Schotse Boek, een aantekenboek uit de tweede helft van de jaren 30 van de vorige eeuw, waarin Poolse wiskundigen tijdens hun cafébezoek wiskundige problemen opschreven.
In 1938 verscheen in het tijdschrift Mathesis Polska het eerste artikel over het ham-sandwichprobleem, over het geval n = 3: “A note on the ham sandwich theorem” van de Poolse wiskundige Hugo Steinhaus (1887-1972). De algemene, n-dimensionale, versie van de stelling werd in 1942 bewezen door de Brit Arthur Stone (1916-2000) en de Amerikaan John Tukey (1915-2000). De eerste pagina van hun artikel ‘Generalized ’sandwich’ theorems’ is gratis op internet te zien.
De honger naar de ham-sandwichstelling bleek ook daarna nog niet gestild. In 1986 verscheen een artikel over de platste ham-sandwich ooit: de tweedimensionale variant, zie ‘Computing a Ham-Sandwich Cut in Two Dimensions’. In 1990 verscheen het artikel ‘An Extension of the Ham Sandwich Theorem’ en in 2004 werd een studie gedaan naar de geschiedenis van het raadsel, in ‘The Early History of the Ham Sandwich Theorem’.
De harige-balstelling
Haardrachten zijn er in vele vormen: een bloempotkapsel, een hanenkam, dreadlocks, een watergolf, om er maar een paar te noemen. Hoe verschillend deze kapsels er ook uitzien, één ding hebben ze gemeen: het haar bestrijkt niet het hele hoofd, maar alleen de bovenkant. Wat gebeurt er als we het kapsel zodanig uitbreiden dat het een volledige bol bedekt? Kunnen de haren dan zo gekamd worden, zonder dat er een punt is waarbij de haardracht in de problemen raakt?
Nee, luidt het antwoord, in zijn algemeenheid lukt dat niet. Op een paar specifieke haardrachten na – zoals stekeltjes – is er altijd een bepaald punt, waar de haren zich niet aan de gedragscode van de betreffende haardracht houden. Bijvoorbeeld een punt waar haren uit steken die in tegengestelde richting wijzen, of een plukje waar haren uit verschillende richtingen elkaar tegenkomen.
Net als de ham-sandwichstelling, is dit een resultaat uit de algebraïsche topologie. Aan het eind van de negentiende eeuw werd het probleem opgeworpen door de Fransman Henri Poincaré en in 1912 werd het bewijs geleverd door de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer.
Deze stelling gaat door het leven als de harige-balstelling. In gewone-mensentaal zegt de stelling dat je de haren van een volledig met haar bedekte bol niet kunt kammen zonder dat op een bepaalde plaats twee haren in verschillende richting wijzen.
Maar ook hier is de wiskundige formulering natuurlijk niet zo eenvoudig. Wiskundigen beschrijven hun stellingen zó, dat het voor andere wiskundigen exact duidelijk is wat ze bedoelen. De keerzijde is meestal dat een niet-wiskundige het juist niet snapt:
Als f: R3 → R3 continu is zo, dat voor iedere p ∈ S2 de vector f(p) raakt aan S2, dan is er een p ∈ S2 zo, dat f(p) = 0.
Een mooie toepassing van de harige-balstelling is dat eruit volgt dat er altijd een plaats is waar het windstil is. Op elk punt van de aarde kunnen we de windrichting en de windsnelheid meten, en dat is precies vergelijkbaar met de richting van de haren op een boloppervlak. Op elk punt van de aarde waait de wind in een bepaalde richting. De harige-balstelling zegt nu dat er ten minste één punt op aarde is waar de windsnelheid precies nul is.
De huwelijksstelling
De stelling van Hall uit 1935 is een resultaat uit de discrete wiskunde. De naam waaronder de stelling bekend is geworden, is de huwelijksstelling, begrijpelijk als je de stelling in de volgende context giet:
Een groep mensen bestaat uit evenveel mannen als vrouwen. Elke man moet aan een vrouw gekoppeld worden. De vrouwen hebben allemaal een lijstje gemaakt van de mannen die ze leuk genoeg vinden. De mannen zijn niet kieskeurig: zij zijn met iedere vrouw tevreden. Is er dan een koppeling mogelijk waarbij de wensen van de vrouwen gerespecteerd worden?
Niet altijd natuurlijk: als de vrouwen bijvoorbeeld allemaal dezelfde man willen en verder niemand, gaat het niet lukken. De huwelijksstelling zegt nu: als voor ieder getal k (waarbij k hooguit gelijk is aan het aantal mannen/vrouwen) iedere k vrouwen samen ten minste k verschillende mannen willen trouwen, dan bestaat er een koppeling waarmee iedereen tevreden is.
Lees hier een artikel over de huwelijksstelling, dat in 2009 verscheen in het wiskundetijdschrift Pythagoras.
Prijsvraag
Kies zelf een bestaande stelling uit de wiskunde en verzin er een toepasselijke, ludieke naam voor. Een uitgebreide lijst van stellingen is te vinden op de Nederlandse Wikipedia of de Engelse Wikipedia. Geef bij de stelling een omschrijving van wat de stelling zegt, en verklaar natuurlijk de naam die je ervoor bedacht hebt.
De vijf origineelste inzendingen worden beloond met De Pythagoras Code – het beste uit een halve eeuw wiskunde voor liefhebbers, het jubileumboek van het wiskundetijdschrift Pythagoras, dat een halve eeuw bestaat. De boeken worden beschikbaar gesteld door uitgeverij Prometheus/Bert Bakker.
Inzenden kan tot 1 juli 2011. Mail je inzending naar [email protected]. Vermeld je naam, adres, telefoonnummer en leeftijd. Winnaars krijgen het boek thuisgestuurd.
Voorwaarden
- Medewerkers van Kennislink en NCWT zijn automatisch uitgesloten van deelname.
- De winnaars worden na 1 juli 2011 bekendgemaakt op Kennislink, en krijgen hun prijs thuisgestuurd.
- Over de uitslag van de wedstrijd kan niet gecorrespondeerd worden.
- Bij deelname ga je automatisch akkoord met deze voorwaarden.
De inzendtermijn is verstreken. De uitslag van de prijsvraag is hier te zien.