Je leest:

Scholiere scoort met Desargues

Scholiere scoort met Desargues

Auteurs: en | 11 april 2006

Marleen Kooiman kreeg de Werkstuklabprijs van de Universiteit van Amsterdam voor haar profielwerkstuk over de stelling van Desargues. Ze wist deze stelling uit te breiden en zo als scholiere zelf iets nieuws te verzinnen. In dit artikel leggen we uit wat de stelling van Desargues eigenlijk is.

De zeventienjarige Marleen Kooiman won twee weken geleden de Werkstuklabprijs van de Universiteit van Amsterdam voor haar profielwerkstuk over de stelling van Desargues. Ze voegde zelf nieuwe elementen toe aan deze stelling en werd door de Telegraaf al bijna tot de nieuwe Fermat gekroond. Maar wat zegt die stelling van Desargues eigenlijk?

Marleen Kooiman doet dit jaar eindexamen en maakte een profielwerkstuk voor wiskunde. Zij verdiepte zich in de stelling van Desargues. Voor de prijs waren in totaal zes profielwerkstukken genomineerd. De onderwerpen varieerden van spraakherkenning tot atoommodellen en van longkanker tot de stelling van Desargues. De jury bestond uit wetenschappers uit verschillende vakgebieden. Uiteindelijk kozen zij voor het wiskundige werkstuk.

Marleen legde in een interview met het Noord-Hollands dagblad uit waardoor zij gewonnen heeft: “Het pluspunt van mijn werkstuk vonden ze het persoonlijke element. Anderen hadden zich toch meer gefocust op de literaire bronnen, terwijl ik echt iets heb toegevoegd. Die eigen inbreng vonden ze blijkbaar zwaarder wegen.” (Foto: Kees Blokker, Heemskerk)

Girard Desargues

Girard Desargues (1591 – 1661) was een Franse wiskundige en architect uit Lyon. Nog geen halve eeuw voor zijn geboorte was in Frankrijk de renaissance begonnen. Je hoeft maar aan Leonardo da Vinci te denken om te weten dat wetenschap en kunst goed samengingen in die tijd. Dat gold ook voor Desargues. Hij hield zich bezig met perspectief, iets wat de renaissancekunstenaars steeds beter onder de knie hadden gekregen. In 1648 verscheen zijn beroemde stelling in een boek van zijn vriend Abraham Bosse, een kunstenaar. Deze stelling gaat over driehoeken en perspectief.

De stelling van Desargues

Als een goed wiskundige vereenvoudigde Desargues de perspectiefproblemen van de kunstenaars net zolang, totdat hij alleen de essentie overhield. De kathedraal van Lyon was voor hem hetzelfde als een driehoek in het platte vlak.

Figuur 1.

Behalve een driehoek zie je in figuur 1 ook rechts de waarnemer (de schilder, beeldhouwer, graveur), die vanaf de zijkant naar de platte driehoek ABC kijkt. Vanuit het perspectief van deze waarnemer ligt hoekpunt B boven hoekpunt C, en hoekpunt C boven hoekpunt A. Wat de waarnemer ziet, kan hij op een vel papier vastleggen. De blauwe punten zijn de projecties van de hoekpunten A, B en C op dat vel papier.

Figuur 2.

De groene driehoek abc in figuur 2 levert voor deze waarnemer precies dezelfde projectie op als de rode driehoek ABC. Je zegt dat driehoek ABC en driehoek abc ‘in puntperspectief zijn’ ten opzichte van het punt O, het oog van de waarnemer.

Figuur 3.

Desargues kwam nu op het idee om de zijden van beide driehoeken te verlengen. Vervolgens tekende hij het snijpunt van de verlengde zijden AB en ab, van de verlengde zijden BC en bc, en van de verlengde zijden AC en ac. Desargues beweerde en bewees dat deze snijpunten alle drie op één rechte lijn liggen, de paarse lijn in figuur 3. Het omgekeerde is ook waar: als de snijpunten op één lijn liggen, dan zijn de driehoeken in puntperspectief.

De voorplaat van het boek van Bosse, waarin de stelling van Desargues werd gepubliceerd. Dit boek werd in 1686 vertaald als Algemeene manier van de Hr. Desargues, tot de practijck der perspectiven… doorsicht-kunde op tafereelen…

Bosse paste Desargues’ stellingen over perspectief toe om dit soort platen te maken. De rechter muze legt de linker muze uit hoe dat nu precies werkt met dat perspectief.

(Klik op de afbeelding voor een grotere versie.)

De nieuwe Fermat?

Wiskundige Leendert van Gastel van de Universiteit van Amsterdam was onder de indruk van het gemak waarmee Marleen in hogere dimensies werkte en het gevoel dat zij heeft voor bewijsvoering. Volgens hem kan Marleen een goede wiskundige worden. Haar werkstuk zou zeker niet misstaan voor een hogerejaars student in de zuivere wiskunde.

Marleen heeft de stelling van Desargues uitgebreid op twee manieren: ze bewees deze stelling niet alleen voor configuraties met drie punten (driehoeken), maar voor willekeurige configuraties met n punten. Daarnaast gaf ze een generalisatie voor alle hogere dimensies. Dat is heel knap voor iemand die deze hogere dimensies niet op school tegengekomen is. Marleen heeft laten zien dat je ook als scholier zelf nieuwe dingen kan verzinnen en dat wiskunde springlevend is. En wat ze gaat studeren? Wiskunde, want daar is ze echt fan van.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 11 april 2006

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.