Je leest:

Schakelen tussen wiskunde en industrie

Schakelen tussen wiskunde en industrie

Auteur: | 13 februari 2008

Van 27 januari tot en met 1 februari 2008 werd aan de Universiteit Twente de tiende editie van de Nederlandse Studiegroep Wiskunde met Industrie gehouden. Tijdens deze studiegroep presenteerden zes bedrijven problemen aan een tachtigtal wiskundigen die vervolgens gedurende een week aan de slag gingen om deze problemen met wiskunde onder handen te nemen. Een van die problemen was afkomstig van NXP Semiconductors.

NXP Semiconductors, een voormalige afdeling van Philips, wil zogenaamde ‘MEMS schakelingen’ produceren. MEMS staat voor Micro Electro Mechanical Systems, wat wil zeggen dat de schakeling zowel elektronische componenten zoals een batterij, als mechanische componenten zoals veertjes, bevat. In het specifieke geval dat NXP voorlegde aan de Studiegroep, bestaat de schakeling uit een geleidend membraan dat aan een aantal veertjes boven een geleidende plaat hangt. De plaat is bedekt met een dun laagje isolator. Als er tussen het membraan en de plaat een spanningsverschil wordt aangelegd, trekt de elektrische kracht het membraan naar beneden waardoor dit zal gaan buigen. Omdat het membraan niet gebogen wil zijn, ontstaat er een mechanische kracht die het membraan weer recht trekt. Als het systeem de tijd wordt gegund om een evenwicht te vinden, zal bij elke waarde voor het spanningsverschil het membraan een bepaalde vorm aannemen. De schakeling zal zich gaan gedragen als een condensator, dat wil zeggen, een opslagplaats voor elektrische lading. Het verband tussen de hoeveelheid lading die in een condensator opgeslagen kan worden en de aangelegde spanning wordt gegeven door Q= C • V, waar Q staat voor de lading, V voor de spanning en C is een constante die de capaciteit van de condensator genoemd wordt. In de condensator van NXP hangt de capaciteit af van de vorm van het membraan en dus indirect van het aangelegde voltage. NXP wilde nu graag weten hoe deze afhankelijkheid precies in elkaar steekt.

De probleemoplossers van de Studiegroep Wiskunde en Industrie 2008

Modellenwerk

Heel belangrijk voor wiskundigen die dit soort problemen willen aanpakken is een geschikt wiskundig model. Aan de ene kant moet het model alle belangrijke kenmerken van de schakelaar bevatten, aan de andere kant moet je ook voorkomen dat het model te groot of te ingewikkeld wordt, want dan wordt het heel moeilijk om het wiskundig te analyseren. Het vinden van een tussenweg is een hele kunst, maar hier kon NXP wel helpen. Zij had al een model beschikbaar, dat uitging van de balans tussen de elektrische kracht die het membraan omlaag trekt en de mechanische kracht die het membraan probeert recht te trekken. De wiskundigen bestudeerden dit model in een doorsnede van de schakelaar, zodat de het probleem in essentie ééndimensionaal werd. Dit heeft als voordeel dat er geen extreem lastige partiële differentiaalvergelijking onderzocht hoefde te worden, maar een gewone differentiaalvergelijking, die iets makkelijker aan te pakken was.

Het model van NXP: de balans tussen de elektrische kracht die het membraan omlaag trekt en de mechanische kracht die het membraan probeert recht te trekken. Afbeelding: wwwhome.math.utwente.nl/~swi2008

Hysterese

Uit het model bleek dat de schakelaar hysterese vertoont, iets wat ook experimenteel al waargenomen was. Dat wil zeggen dat de vorm van het membraan niet alleen afhangt van het aangelegde voltage op het moment zelf, maar ook van de spanning in het verleden. Als er geen spanning op de schakelaar staat, is het membraan recht: er trekt geen elektrische kracht aan. Draai je het voltage langzaam hoger, dan buigt het membraan steeds verder door, totdat het plotseling omlaag klapt en een gedeelte van de geïsoleerde plaat bedekt. Wordt de spanning nog verder verhoogd, dan breidt het contactoppervlak met de plaat zich verder uit. Verlagen we vervolgens echter het voltage, dan krimpt het contactoppervlak weer, totdat het membraan de plaat uiteindelijk nog maar in één punt raakt. Pas dan klapt het membraan plotseling weer heel ver omhoog, waarna het weer rechter en rechter getrokken wordt door de mechanische kracht. Het verschil tussen stijgende en dalende spanning is duidelijk zichtbaar: bij stijgende spanning bedekt het membraan meteen een heel oppervlak als het omlaag geklapt is, bij dalende spanning slinkt dit contactoppervlak tot een punt vooraleer het membraan weer omhoog springt.

Foto van een MEMS switch. Afbeelding: wwwhome.math.utwente.nl/~swi2008

Stabiliteit

De wiskundigen konden NXP ook iets vertellen over de stabiliteit van de vorm van het membraan. Als het membraan zich in een stabiele vorm bevindt, betekent dat dat als er een klein beetje aan het membraan getrokken of geduwd wordt, het vanzelf weer terugkomt in de oude vorm. Als het echter instabiel is, zullen kleine verstoringen de vorm compleet veranderen. Omdat er altijd wel kleine oncontroleerbare invloeden op het membraan werken (denk bijvoorbeeld aan de luchtdruk rond de schakelaar), zal een instabiele vorm in de praktijk nooit voorkomen, omdat deze meteen verstoord wordt. Het is dus belangrijk om te weten welke vormen stabiel zijn. Met enkele slimme berekeningen was het mogelijk in sommige gevallen aan te geven of het membraan stabiel was of niet. Niet alle gevallen konden zo berekend worden, dus er blijft nog genoeg werk aan de winkel voor de toekomst.

Meer over de studiegroep Wiskunde en Industrie 2008

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 13 februari 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.