Een jaar geleden regende het prijzen voor wiskundige Terence Tao. Een van de vele onderscheidingen was de SASTRA Ramanujanprijs, een prijs die sinds 2005 jaarlijks wordt uitgereikt, en bedoeld is voor wiskundigen die bijdragen hebben geleverd op het gebied waar het wiskundige genie Srinivasa Ramanujan zich mee bezighield. Het zal de jury niet lekker hebben gezeten dat ze de prijs vorig jaar alleen aan Tao hebben kunnen toekennen, want een van zijn belangrijkste resultaten – namelijk dat in de rij priemgetallen rekenkundige rijen van willekeurige lengte voorkomen – vond hij niet in zijn eentje, maar samen met Ben Green.
Het is dan ook geen grote verrassing dat de jury dit jaar heeft besloten om Tao’s compagnon in het zonnetje te zetten. Ben Green mag dit jaar de prijs van 10.000 dollar in ontvangst nemen. Behalve over de resultaten die hij met Tao boekte, wordt in het juryrapport melding gemaakt van Greens bewijs van het vermoeden van Cameron-Erdös.
Ben Green, pas dertig jaar oud, is Hershel Smith Professor aan de Cambridge University in Engeland. Hij wordt gezien als een van de grootste jonge wiskundigen van de wereld. Deze foto werd gemaakt tijdens het Nederlands Mathematisch Congres in april 2007, toen Ben Green (samen met Terence Tao!) de Ostrowskiprijs in ontvangst nam.
Het vermoeden van Cameron-Erdös
Een verzameling V van gehele getallen heet somvrij indien er geen oplossingen zijn van de vergelijking x + y = z, waarbij x, y en z elementen van V zijn. Hierbij hoeven x, y en z niet alle verschillend te zijn. Voorbeelden van somvrije verzamelingen zijn {1, 3}, {1, 4, 10} en {1, 3, 7, 15}. Voorbeelden van verzamelingen die niet somvrij zijn, zijn {1, 2, 3} (want 1 + 1 = 2 en 1 + 2 = 3), {1, 2, 5, 8, 10} (want 5 + 5 = 10 en 2 + 8 = 10) en {1, 2} (want 1 + 1 = 2).
De wiskundigen Cameron en Erdös keken naar somvrije deelverzamelingen van de verzameling {1, 2, …, n}, waarbij n een natuurlijk getal is. Zo heeft de verzameling {1, 2, 3} (het geval n = 3) de volgende somvrije deelverzamelingen: ∅ (de lege verzameling), {1}, {2}, {3}, {1, 3} en {2, 3}. De niet-somvrije deelverzamelingen zijn {1, 2} en de hele verzameling {1, 2, 3}.
Cameron en Erdös vroegen zich af wat het aantal somvrije deelverzamelingen is van {1, 2, …, n}. Voor n = 1, 2, …, 8 zijn deze aantallen achtereenvolgens 2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61. Zij vermoedden dat dit aantal wordt begrensd door c⋅2n/2, voor een zekere c > 0. Het was Ben Green die dit vermoeden in 2003 kon bewijzen.
Zie ook:
- De SASTRA Ramanujan Prize, over Ben Green (Engels)
- SASTRA Ramanujanprijs 2006 voor Tao (Kennislinkartikel)
- Eindeloze priemen (Kennislinkartikel)