Je leest:

Risico’s bij het verzekeren van risico’s

Risico’s bij het verzekeren van risico’s

Auteur:

Het leven zit vol risico’s. De meeste tegenslagen die ons treffen, zoals een lekke band, een verkoudheid of een verloren tientje overleven we gelukkig moeiteloos. Maar meer serieuze rampen proberen we uit alle macht te ontlopen. Dat lukt nooit helemaal, maar we kunnen tenminste proberen ons tegen de gevolgen te verzekeren.

Verzekeren is al eeuwen oud. Het principe is heel simpel. Laten we beginnen met een eenvoudig model: stel dat de ervaring leert dat per jaar gemiddeld 1 op de 4000 huizen afbrandt. Neem dan eens 4000 huiseigenaren, die voor het gemak een even duur huis hebben van bijvoorbeeld twee ton. Als zij afspreken jaarlijks allemaal een premie van 50 gulden te betalen, hebben ze daarmee een onderlinge brandverzekering opgezet. De 4000 maal 50 gulden levert immers precies de tweehonderdduizend gulden die nodig is om dat ene huis te vergoeden dat dat jaar in vlammen opgaat.

De werkelijkheid is natuurlijk ingewikkelder. Niet alle huizen zijn even duur en ook niet even brandgevaarlijk. Er moeten taxaties plaatsvinden en risico’s bepaald worden. Verder moet er een administratie bijgehouden worden, er moeten premies geïnd worden, enzovoort. Dit wordt al snel te ingewikkeld om onderling te regelen. Daarmee komt de professionele verzekeraar in beeld, die aan zo’n onderneming iets verdienen wil. Daarom wordt er een opslagfaktor in de premie verwerkt, ter dekking van de kosten en het maken van winst.

Bron: Science Museum London

De rol van het toeval

Tot nu toe zijn we uitgegaan van de gemiddelde schadelast en hebben geen rekening gehouden met toevallige schommelingen. Maar dergelijke schommelingen spelen een belangrijke rol. Laten we nog eens het geval van de 4000 huiseigenaren bekijken. Het is natuurlijk nooit zo dat er elk jaar precies één huis afbrandt. Als er eerst twee, dan drie, en daarna een aantal jaren geen huizen afbranden, dan moeten de gedupeerde eigenaren jarenlang wachten voordat er geld is om hen schadeloos te stellen. Het jaarlijks innen van de gemiddelde schadelast (plus kosten en winst) garandeert dus niet dat de schades altijd gedekt zijn.

De verzekeraar loopt dus een risico, namelijk dat hij meer moet uitkeren dan hij in kas heeft, waardoor hij wel eens failliet zou kunnen gaan. Om dit risico te verkleinen kan hij de genoemde opslagfactor verhogen. Met de zo verkregen extra opbrengst kan een premiereserve worden gevormd, een spaarpotje waarmee tegenvallers worden opgevangen. Volledige zekerheid biedt deze aanpak niet, maar de kans dat het alsnog fout loopt kan zo acceptabel klein worden gemaakt. Hoe kleiner die gewenste kans is, hoe groter het spaarpotje moet zijn en dus hoe hoger de premie. Er moet dus een middenweg gezocht worden tussen een onverkoopbaar dure verzekering aan de ene kant en een niet voldoende gegarandeerde dekking aan de andere kant (zie rekenvoorbeeld 1).

Herverzekeren

Door het aanleggen van een premiereserve kan een verzekeraar voorkomen dat hij in de problemen komt. Maar deze oplossing is niet 100% waterdicht. Uitschieters naar boven blijven mogelijk en de kans hierop is in het algemeen lastig te berekenen. Het van belang om met uitschieters rekening te houden, want als individuele schades niet allemaal even hoog zijn maar van het toeval afhangen, kunnen er ook enorme schadebedragen optreden.

Dit verhoogt de kans op pech voor de verzekeraar, in de vorm van een flinke overschrijding van de verwachte schadelast. Daarom is het vaak verstandig om het niet bij een premiereserve te laten. De verzekeraar kan precies hetzelfde doen als een individuele verzekerde: hij kan op zijn beurt het risico dat hij loopt verzekeren. Dit wordt herverzekeren genoemd. Er wordt bijvoorbeeld afgesproken dat tot anderhalf maal de verwachte jaarschade de verzekeringsmaatschappij zelf betaalt, terwijl alles wat daar boven komt voor rekening van de herverzekeraar is. Deze strijkt daar dan natuurlijk een premie voor op. Zo’n herverzekeraar is ook een verzekeringsmaatschappij, al dan niet gespecialiseerd in dit soort activiteiten.

Herverzekeren is een ingewikkelde bezigheid: allereerst is er de verzekerde, die z’n risico onderbrengt bij een verzekeringsmaatschappij. Die maatschappij brengt het risico van het verzekeren van dat risico onder bij de herverzekeraar. Dus zit de laatste opgescheept met het risico van het verzekeren van het risico van het verzekeren van risico!


Rekenvoorbeeld 1

Hoe berekent een verzekeraar zijn premiereserve? Hoe vindt men een middenweg tussen enerzijds een onverkoopbaar dure verzekering en anderzijds een niet voldoende gegarandeerde dekking? Dit probleem kun je oplossen door een model te maken.

Als voorbeeld nemen we een autodiefstal-verzekeringsmaatschappij met 10.000 verzekerden. De kans dat een verzekerde een claim indient is 0.01. De hoogte van de claim is vast, bijvoorbeeld tienduizend gulden. Een verzekerde kan maximaal één claim per jaar indienen. Het totale aantal schadegevallen N per jaar is in ons model binomiaal verdeeld. De kans op k schadeclaims wordt gegeven door de formule:

P(N=k) = (10.000k ) 0.01k (1-0.01)10.000 – k

Gemiddeld verwacht je 100 schadeclaims per jaar, de verwachte schadelast is dus een miljoen gulden. Maar je kunt in een jaar méér dan honderd claims krijgen. In het ergste geval claimen alle verzekerden schade, en daarvoor zou je honderdmiljoen gulden moeten reserveren. Maar dit geval doet zich natuurlijk nooit voor. Zelfs de kans op 150 claims of meer per jaar is niet groot: P(N >150)=0.0000107894. Boven de verwachte schadelast van een miljoen gulden (100 claims) hoef je dus niet meer dan een half miljoen gulden extra te reserveren.

Maar het reserveren van een half miljoen gulden is duur, we zijn daarom tevreden met een premiereserve die toereikend is voor 97.5% van alle gevallen. We moeten daartoe uitrekenen bij hoeveel schadeclaims de kans op dat aantal of meer schadeclaims ongeveer 2.5% is. Met andere woorden, we willen n oplossen uit: P(N >n) ~ 0.025.

De kans P(N >n) kunnen we berekenen door de binomiale verdeling te benaderen met behulp van een normale verdeling. In figuur 2 zie je een binomiale verdeling (het staafdiagram) en een normale verdeling (de kromme). Je ziet dat de normale verdeling de binomiale verdeling benadert (al is de benadering niet perfect).

Figuur 1. De binomiale verdeling (staafjes) benaderd met een normale verdeling (de kromme)

Deze binomiale verdeling wordt het beste benaderd met een normale verdeling met hetzelfde gemiddelde en met dezelfde standaardafwijking; onze binomiale verdeling heeft gemiddelde mu=100 en standaardafwijking sigma= de wortel van (10000 × 0.01 x (1-0.01))=9.95.

Wat is het nut van deze benadering? Wel, er is een regel dat ongeveer 95% van alle kansmassa zich tussen de grenzen -2 sigma en _mu_+2 sigma bevindt. Dat betekent dat 2.5% van alle kansmassa zich onder de waarde mu-2 sigma bevindt en 2.5% kansmassa boven _mu_+2 sigma (zie figuur 3). Zodoende hebben we een oplossing van P(N>n)~0.025 gevonden, namelijk n= _mu_+2 sigma en dit is ongeveer gelijk aan 120. Als we dus 120 schadeclaims kunnen dekken, dan is in 97.5% van alle gevallen de schade gedekt. Daarvoor is 1.2 miljoen gulden nodig, en dat is maar tweehonderdduizend gulden meer dan de gemiddelde schadelast.

Figuur 2. Bij een normale verdeling bevindt 95% van de kansmassa zich in het ingekleurde gebied. Bron: www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/normal


Uitschieters

Omdat herverzekeren een hachelijke bezigheid is, proberen verzekeraars een zo’n goed mogelijk model te maken voor het verwachte schadebedrag, een model waarin uitschieters betrouwbaar weergegeven worden. Eén manier is om kansverdelingen te gebruiken die niet symmetrisch zijn zoals de normale verdeling, maar die een dikke ‘staart’ hebben aan de rechter kant (zie figuur 3). Dergelijke zogenaamde ‘scheve’ verdelingen voor de schadebedragen geven grote schades letterlijk en figuurlijk een kans.

Figuur 3. Een ‘scheve’ kansverdeling met een dikke ‘staart’ aan de rechterkant. Bron: www.mepas.pnl.gov

Afhankelijkheid

Maar dit is niet het enige aspect dat van belang is. Steeds is er stilzwijgend van uitgegaan dat schades bij verschillende verzekerden geheel onafhankelijk van elkaar optreden (zoals in rekenvoorbeeld 1). Maar in de praktijk komt een ongeluk nooit alleen. Als een orkaan de kust van Florida treft, dan lopen alle boten schade op. Als het Westland getroffen wordt door een hagelbui, dan hebben alle tuinders glasschade. Ook op kleinere schaal spelen afhankelijkheden een rol: het busongeluk tijdens de personeelsreis, brandweerlieden die omkomen tijdens hun werk – in al deze gevallen is het waarschijnlijk dat er van gezamenlijke verzekeringen sprake is.

Het is mogelijk om in de wiskundige modellen voor verzekeringen allerlei afhankelijkheden in te passen. Men kan bijvoorbeeld aannemen dat voor elke verzekerde een kleine fractie (zo’n 1 tot 5%) van het risico in een collectief stuk zit. Dat collectieve stuk wordt geactiveerd door het optreden van een speciale gebeurtenis (een natuurramp, een vlieg- of verkeersongeluk) en treft dan bepaalde groepen van verzekerden waarbij de kans op schade groter is. Door het collectieve stuk apart te modelleren kunnen de effecten van afhankelijkheid opgespoord worden.

Dergelijke modellen zijn tamelijk ingewikkeld en niet erg doorzichtig. De kunst is de modelvorming zo uit te voeren dat de effecten van afhankelijkheden duidelijk zijn. Het is nuttig om er achter te komen wanneer afhankelijkheden veilig genegereerd kunnen worden, maar ook om uit te vinden wanneer dat absoluut niet kan. Onder bepaalde omstandigheden kan de te verwachten schadelast voor de herverzekeraar de pan uit rijzen en een veelvoud worden van wat er anders het geval zou zijn geweest (zie rekenvoorbeeld 2). Zeldzame gebeurtenissen, maar met grote kans op schade voor grotere groepen vormen een groot risico voor (her)verzekeraars!


Rekenvoorbeeld 2

Welke invloed hebben afhankelijkheden op de hoogte van het schadebedrag? We geven een getallenvoorbeeld. We gaan uit van 6000 verzekerden met een kans op schade van 0.003. Het verwachte aantal schades is dus 18. De schadebedragen zijn normaal verdeeld met verwachting 100.000 en standaardafwijking 12500. De gemiddelde schade is dus een ton, en 95% van de schades ligt tussen 0.75 en 1.25 ton. De gemiddelde schadelast is dus 1.8 miljoen. De verzekeraar wil schades boven 2.7 miljoen (anderhalf maal het verwachte schadebedrag) herverzekeren. Als alle schades onafhankelijk optreden kan berekend worden dat de herverzekeraar daar een netto premie (dus zonder kosten en winst) van 4300 gulden voor moet rekenen.

Maar wat als de schades niet onafhankelijk zijn? Als voorbeeld verdelen we de 6000 verzekerden in 200 groepen van 30 verzekerden en nemen aan dat er binnen elke groep een kans is van 0.0003 op een of andere catastrofe die ervoor zorgt dat de kans op schade plotseling 100 keer zo groot wordt voor iedereen in die groep. Buiten de gewone kans op schade lopen de verzekerden dus een ‘groepsrisico’. Met behulp van wiskundige modellen kan berekend worden dat de herverzekeringspremie nu 13.700 gulden is, drie keer zo veel als zonder afhankelijkheden!


Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 december 1998

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE