Je leest:

Rekenen met kannibalistische vissen

Rekenen met kannibalistische vissen

Auteur: | 3 februari 2005

Eén model om groepen planten, dieren, mensen en cellen te beschrijven. Dat is de droom van een groep wiskundigen en biologen. Wiskundige Philipp Getto deed onderzoek naar modellen voor deze zogenaamde gestructureerde populaties. Hij promoveerde op 24 januari aan de Universiteit van Utrecht.

Getto’s onderzoek richtte zich voor een groot deel op modellen voor vissen. Partiële differentiaalvergelijkingen vormen de wiskundige basis van zijn onderzoek. Gewone differentiaalvergelijkingen worden al heel lang gebruikt als model voor populatiegroei. Een bekend voorbeeld is het volgende model om konijnen te tellen.

We beginnen op tijdstip t = 0, stel dat we dan precies K0 konijnen hebben. We willen weten hoeveel konijnen we na t jaar hebben, dit aantal noteren we met K(t). We nemen aan dat er elk jaar een deel van de konijnen sterft, deze fractie noteren we met d. Het zijn konijnen, dus worden er ook er elk jaar nieuwe jongen worden geboren. We nemen aan dat hun aantal ook afhangt van de grootte van de populatie, we noteren deze fractie met b. De verandering dK(t)/dt van het aantal konijnen per jaar wordt nu beschreven door de differentiaalvergelijking hiernaast.

We zien in het konijnenvoorbeeld dat er alleen gekeken wordt naar de grootte van de populatie. Philipp Getto werkte aan modellen van gestructureerde populaties. Dat betekent dat hij niet alleen keek naar uit hoeveel individuen een populatie bestaat, maar ook naar de eigenschappen van die losse individuen. Denk daar bij bijvoorbeeld aan leeftijd of grootte van dieren. Daarmee heb je dus veel meer informatie over een populatie, maar de wiskundige modellen worden ook een stuk ingewikkelder.

Kannibalistische vissen

Een derde van Getto’s proefschrift bestaat uit een voorbeeldmodel voor vissen. Deze vissen kunnen soms dieren van hun eigen soort op eten: kannibalisme. Biologen hadden al een eenvoudig model opgesteld voor deze groepen vissen.

Biologen hadden al eerder wiskundige modellen opgesteld voor het kannibalistische gedrag van de pike (snoek) en perch (baars). Klik op de afbeelding voor een grotere versie.

Getto legt uit: “kannibalisme kan zowel een positief als een negatief effect hebben op de hele populatie. Als er geen alternatief voedsel is, dan is kannibalisme de enige manier voor de vissen om te overleven. Natuurlijk is het nadeel dat er ook dieren worden opgegeten.”

Om te bepalen of het effect van kannibalisme voor een individu positief is, wordt er gekeken of een kannibalist in het model meer dan één nakomeling heeft. In zo’n geval wordt er gezegd dat dit individu de populatie invadeert. Getto: “Wat hier leuk is niet zo zeer de directe uitkomst. Die is namelijk dat kannibalisme goed is voor de hele groep als het goed is voor het individu. Dat gelooft iedereen wel, maar de truc is om het wiskundig te bewijzen.”

Interessanter is, dat het kannibalisme onder sommige omstandigheden als reddingsboot-mechanisme kan werken. De soort redt zichzelf door eigen dieren op te eten. Dat is te vergelijken met schipbreukelingen die met elkaar op een reddingsboot zitten en uiteindelijk elkaar op zullen moeten eten als ze willen overleven.

Biologen en wiskundigen

De promotor van Getto, professor Odo Diekmann, werkt al jaren aan dit soort modellen en maakt deel uit van een uitgebreid netwerk van wiskundigen en biologen. Getto merkte dat er soms nog best een behoorlijke kloof ligt tussen de biologen en wiskundigen.

“Iedereen is zo gespecialiseerd, je probeert elkaar zo duidelijk mogelijk uit te leggen wat je precies doet, maar het blijft moeilijk.” Om de biologen tegemoet te komen, keek hij bijvoorbeeld ook naar evenwicht-situaties, want dan heb je geen partiële differentiaalvergelijkingen nodig. In zo’n evenwichtsmodel werd dan een parameter steeds een beetje veranderd tot er een evenwicht was bereikt. Een gestructureerde populatie is in evenwicht als niet alleen de grootte van de groep gelijk blijft, maar ook haar samenstelling. Denk daarbij weer aan de verdeling van het aantal jonge en oude individuen. Als parameter bij de vissen werd gekozen voor de hoeveelheid alternatief voedsel dat de vissen hadden. Er bleek dat invadeerbaarheid een noodzakelijke voorwaarde is voor het reddingsboot-effect.

Numerieke benaderingen

Een van de belangrijkste conclusies van Getto’s onderzoek is dat een kleine verandering in de structuur van de populaties nu op lange termijn in zekere zin maar een heel erg klein effect hebben. Ook op korte termijn zal zo’n kleine verandering geen grote gevolgen hebben. We noemen dit ook wel continue afhankelijkheid. Denk maar aan continue functies, daar kan je niet ineens een sprong maken. Net zo er kan er geen sprong in de toestand van de populatie plaats vinden. Dit is belangrijk, omdat er bij numerieke benaderingen met de computer altijd kleine fouten gemaakt worden. Deze resultaten betekenen, dat deze kleine afrondfouten de betrouwbaarheid van het model niet aantasten.

Bredere toepassing

Het wiskundige model is voor verschillende populaties toepasbaar. In Utrecht onderzoekt Martin Bootsma bijvoorbeeld de verspreiding van epidemieën. De eigenschap van een invidu die hierbij bestudeerd wordt, is dan de tijd dat dit invidu besmet is. Getto gaat hierna werken aan een project van de Europese Unie waar de groei van tumoren onderzocht wordt.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 03 februari 2005

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.