Je leest:

Reken mee met abc

Reken mee met abc

Op dinsdag 16 januari gaat ‘Reken mee met abc’ van start: een unieke wiskundewedstrijd waaraan iedereen, van jong tot oud, kan meedoen. Via de gelijknamige website (www.rekenmeemetabc.nl) kan worden meegerekend aan het zogenoemde abc-vermoeden, een nog onopgelost probleem in de getaltheorie. Puzzelaars, scholieren, en deelnemers die hun computer toch niet de hele dag gebruiken, kunnen proberen kampioen te worden en daarmee bekendheid verwerven in deze tak van wetenschap. Als veel vrijwilligers gaan meedoen, hopen wiskundigen van de Universiteit Leiden meer inzicht te krijgen in het abc-vermoeden.

“De bedoeling van ‘Reken mee met abc’ is tweeledig,” vertelt Carl Koppeschaar, hoofdredacteur van Kennislink en een van de initiatiefnemers van het project. “Aan de ene kant willen we laten zien dat de wiskunde niet ‘af’ is. Velen zien wiskunde als een saaie wetenschap, waarin alleen maar nerds actief zouden zijn. De werkelijkheid is toch wel even anders. Wiskunde is juist een heel spannende wetenschap, waarin nog tal van ontdekkingen te doen zijn. In die zin is de website bedoeld als promotie voor de wiskunde. Maar er is een tweede, nog belangrijker aspect. En dat is dat het abc-vermoeden nog nooit bewezen is. Beroemde wiskundigen breken zich er al jaren het hoofd over. Daarom doen zij nu op iedereen een beroep om mee te rekenen. Wie meedoet, wordt dus feitelijk zélf wetenschappelijk onderzoeker.”

Op het Mathematisch Instituut van de Universiteit Leiden bevinden zich de bollebozen achter het project. De naam ‘Reken mee met abc’ is bedacht door prof.dr. Hendrik Lenstra (op de foto meest rechts), hoogleraar zuivere en toepassingsgerichte wiskunde en in 1998 winnaar van de prestigieuze Spinozapremie (een soort Nederlandse Nobelprijs). Lenstra verwierf in 2002 ook internationale bekendheid door zijn ontrafeling van de wiskundige structuur achter Eschers bekende litho ‘Prentententoonstelling’.

Bij het ‘Reken mee met abc’-project wordt het gelukkig niet zo ingewikkeld als op het bord in Lenstra’s kamer!

“Het abc-vermoeden is een idee waarvan wiskundigen denken dat het waar is, maar dat ze nog niet hebben kunnen bewijzen,” vertelt Hendrik Lenstra. “En dat is vreemd, omdat het vermoeden zelf voor iedereen te begrijpen is. Het gaat om drietallen volgens de eenvoudige formule a + b = c, bijvoorbeeld 1 + 8 = 9. Maar omdat de drie getallen ook nog aan bepaalde voorwaarden moeten voldoen (zie onderstaand kader), zijn ze vrij zeldzaam. Zo zijn er bijvoorbeeld maar vijftien abc-drietallen met c kleiner dan 300. Je kunt ze een bepaalde ‘kwaliteit’ toekennen. Het beste abc-drietal tot nu toe heeft een kwaliteit die ongeveer gelijk is aan 1,63. Maar kan iemand drietallen van nóg hogere kwaliteit vinden? Daar zijn we reuze benieuwd naar!”

Wat is het abc-vermoeden?

Het abc-vermoeden gaat over gehele, positieve getallen a, b en c waarvan de grootste gemene deler gelijk is aan 1 en waarvoor geldt dat a + b = c. We ontbinden de drie getallen in priemfactoren en vermenigvuldigen alle verschillende priemfactoren met elkaar. Dit product noemen we het radicaal r. Stel bijvoorbeeld dat a = 7 (priem), b = 20 = 2 × 2 × 5 en c = 27 = 3 × 3 × 3. Dan is het radicaal r = 2 × 3 × 5 x 7 = 210. We zien dat dit radicaal een stuk groter is dan c, wat meestal het geval is. Als het radicaal juist kleiner is dan c, noemen we die a, b en c een ‘abc-drietal’. Een voorbeeld van een abc-drietal is a = 5 (priem), b = 27 = 3 × 3 × 3 en c = 32 = 2 × 2 × 2 x 2 × 2. Het radicaal is r = 5 × 3 × 2 = 30, en dat is kleiner dan 32 (de waarde van c). In dit voorbeeld is het radicaal maar ietsje kleiner dan c.

Als het radicaal veel kleiner dan c is, noemen we het abc-drietal ‘goed’. We meten de kwaliteit van een abc-drietal door te bekijken tot welke macht q je r moet verheffen om c te krijgen: rq = c. Voor het niet zo erg goede drietal (5, 27, 32) is q ongeveer gelijk aan 1,019. Het abc-vermoeden zegt iets over die kwaliteit q. Er zijn twee versies van het abc-vermoeden, een ‘zwakke’ en een ‘sterke’. We weten nog van geen van beide of ze waar zijn (daarom heet het een vermoeden), maar als de sterke versie waar is, is de zwakke zeker ook waar. Andersom hoeft dat nog niet te gelden – vandaar de namen sterk en zwak. Ondanks jaren zoeken is nog nooit een abc-drietal gevonden met een kwaliteit hoger dan 1,63. Het is dus niet zo gek om te vermoeden dat er een bovengrens voor de kwaliteit bestaat, en dat is precies wat de zwakke versie van het abc-vermoeden zegt. De sterke versie van het abc-vermoeden zegt dat er voor elke willekeurige grens h (een getal groter dan 1) hoogstens eindig veel abc-drietallen zijn met een kwaliteit groter dan h. Met andere woorden, de oneindig veel abc-drietallen hebben bijna allemaal (met ‘bijna allemaal’ bedoelen we ‘allemaal, op een eindig aantal na’) een kwaliteit tussen 1 en h.

Zelf meedoen met je pc

Wie de hoogste, nog niet eerder geobserveerde kwaliteit vindt, komt op de eerste plaats van een internationale ranglijst. En omdat al velen het hebben geprobeerd, hebben de Leidse wiskundigen nu een geheel nieuw, en veel sneller rekenprogramma bedacht. Dat programma, dat op de computers moet worden geïnstalleerd, werkt in de tijd dat deelnemers hun pc of laptop niet gebruiken. Als vele duizenden het installeren, gaat al het rekenwerk zelfs nog sneller. Het inzetten van vele pc’s voor wetenschappelijk onderzoek is al eerder bedacht door radioastronomen. Die hebben op die manier gespeurd naar eventuele signalen van buitenaardse levensvormen. Wiskundigen gebruiken het concept voor het zoeken naar zogenoemde Mersenne-priemgetallen en tropische geneeskundigen proberen er sinds kort de malaria-epidemie in Afrika mee te simuleren, in een poging de ziekte onder controle te krijgen.

Projecten waarbij pc’s worden ingezet voor wetenschappelijk onderzoek

“Het rekenprogramma dat we speciaal voor het abc-vermoeden en het gebruik op computers hebben ontwikkeld, is zo nieuw en krachtig, dat er internationaal al veel belangstelling voor bestaat,” glundert Willem Jan Palenstijn, die als een van de naaste medewerkers van Lenstra verantwoordelijk is voor het noeste rekenwerk. “Daarom hebben we ook de internationale website www.abcathome.com geopend. Al zo’n duizend Franse, Duitse en Amerikaanse wiskundeliefhebbers zijn bezig geweest die te testen. Dat ging goed. Dus vandaar dat we nu in Nederland en België vol vertrouwen met het echte rekenwerk van start gaan!”

Het abc-projectteam bekijkt de eerste abc-drietallen die het rekenprogramma levert

Zal het ‘Reken mee met abc’-project verrassingen opleveren? Bij dr. Bart de Smit, die als universitair hoofddocent en specialist in het abc-vermoeden bij het project is betrokken, zijn de verwachtingen hooggespannen. “Onze manier om abc-drietallen te verzamelen is vele malen sneller dan bij voorafgaande pogingen. Zou je het met de sterrenkunde vergelijken, dan kun je stellen dat de wiskunde voor wat betreft het abc-vermoeden alleen nog maar in het zonnestelsel heeft rondgekeken. Met deze nieuwe methode én hulp van het publiek gaan we niet alleen rondkijken in onze eigen Melkweg, maar proberen we ook diep in het heelal door te dringen!”

Wie kan meedoen?

Jong en oud kan aan de wedstrijd meedoen. In principe is geen specifieke wiskundige voorkennis vereist. In de loop van het project zullen er los van het rekenwerk staande wedstrijden en activiteiten komen voor basisscholieren, leerlingen uit het voortgezet onderwijs en algemeen publiek. Zo zullen er wiskundige puzzels zijn waarmee een prijs te winnen is en kunnen leerlingen uit de tweede fase praktische opdrachten maken over het abc-vermoeden. Uiteraard staat het iedereen vrij om daarnaast ook mee te doen aan de individuele speurtocht naar abc-drietallen. Om die wedstrijd spannend te houden, wordt op de website een dynamisch klassement getoond, waarop de beste resultaten worden bijgehouden.

Het rekenprogramma dat op de computers moet worden geïnstalleerd, rekent in de tijd dat deelnemers hun pc niet gebruiken. Het verzamelde rekenresultaat wordt automatisch teruggestuurd naar de Universiteit Leiden en wordt daar door wiskundigen geanalyseerd. Deelname door scholieren kan resulteren in aardige krantenkoppen als ‘Leerlingen van de …-school vestigen nieuw wiskundig wereldrecord!’

‘Reken mee met abc’ is een initiatief van Kennislink en het Mathematisch Instituut van de Universiteit Leiden. Het project wordt financieel ondersteund door NWO, de wiskundecluster DIAMANT, JetNet, Verbreding Techniek in het Basisonderwijs (VTB) en het Universum programma in het Voortgezet Onderwijs.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 15 januari 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

LEES EN DRAAG BIJ AAN DE DISCUSSIE