Je leest:

‘Reken mee met abc’ werpt vruchten af

‘Reken mee met abc’ werpt vruchten af

Auteurs: en | 21 mei 2008

Het ‘abc-vermoeden’ is een van de grote open problemen in de wiskunde. Een Madrileense wiskundige heeft ontdekt dat je uit bestaande ‘abc-drietallen’ nieuwe drietallen kunt construeren.

In januari vorig jaar lanceerde de Universiteit Leiden in samenwerking met Kennislink de website ‘Reken mee met abc’. Via deze site wordt er gezocht naar abc-drietallen, om zo meer inzicht te krijgen in het abc-vermoeden, een van de grote openstaande wiskundige problemen (zie kader).

Via ‘Reken mee met abc’ is de Madrileense wiskundige Ismael Jimenez Calvo op het idee gekomen om reeds gevonden abc-drietallen te gebruiken om meer abc-drietallen te construeren. Hij verbeterde de ‘kwaliteit’ (zie kader) van zijn start-drietal (1,015) naar 1,450; een enorme verbetering, als je bedenkt dat de meeste abc-drietallen een kwaliteit hebben die heel dicht bij 1 ligt. Twee abc-drietallen lijken twee op zichzelf staande combinaties van drie getallen. Ismael Jimenez Calvo heeft met zijn vondst laten zien dat twee drietallen aan elkaar gerelateerd kunnen zijn en dat er dus een afhankelijkheidsrelatie tussen drietallen bestaat. Dat zou van betekenis kunnen zijn voor het abc-vermoeden.

Wat is het abc-vermoeden?

Het abc-vermoeden gaat over gehele, positieve getallen a, b en c zonder gemeenschappelijke delers waarvoor geldt dat a + b = c. Een eenvoudig voorbeeld is het drietal 1, 2 en 3, want 1 + 2 = 3. Bij het abc-vermoeden gaat het om een bepaalde wiskundige relatie tussen die drie getallen. Sommige drietallen voldoen aan een bepaalde eigenschap, zulke drietallen worden ‘abc-drietallen’ genoemd. Abc-drietallen hebben allemaal een zogenoemde ‘kwaliteit’ – dat is een getal groter dan 1 (bijvoorbeeld 1,001 of 1,2345); hoe dichter het getal bij 1 ligt, hoe slechter de kwaliteit. Het abc-vermoeden zegt zoiets als: ‘het aantal abc-drietallen met hoge kwaliteit is erg schaars’. Drietallen met kwaliteit groter dan 2 zijn nog nooit gevonden en het is heel goed mogelijk dat zulke drietallen ook niet bestaan. Maar dat heeft nog nooit iemand kunnen bewijzen. Een drietal met een kwaliteit van rond de 1,5 is al heel erg goed. De grootste kwaliteit die we tot nu toe kennen, is 1,630. De wiskundige details van het abc-vermoeden kun je lezen op de onderstaande links.

Het idee van Ismael Jimenez Calvo

Er zijn al bijna zes miljoen abc-drietallen gevonden; ze staan allemaal op de website van ‘Reken mee met abc’. Uitgaande van reeds gevonden abc-drietallen heeft de Madrileense wiskundige Ismael Jimenez Calvo het volgende recept bedacht om meer abc-drietallen te construeren:

- drietallen vermenigvuldigen met (a + c): a2 + b(a + c) = c2 - drietallen vermenigvuldigen met (b + c): a(b + c) + b2 = c2 - drietallen vermenigvuldigen met (a – b): a2 + c(b – a) = b2

Ismael Jimenez Calvo heeft zijn methode toegepast op alle gevonden drietallen. Uitgaande van het bekende drietal (met kwaliteit 1,015)

234 x 372 + 59 x 172 x 43 × 4817 = 227 x 193 x 127

vond hij het volgende drietal (met kwaliteit 1,450):

238 x 374 + 228 x 37 x 114 x 193 x 61 × 127 × 1732 = 518 x 174 x 432 x 48172.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 21 mei 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.