Voordat we beginnen met de bespreking van sterveelvlakken, gaan we een dimensie omlaag om het begrip ‘regelmatige veelhoek’ wat op te rekken. In figuur 1 zie je een regelmatige vijfhoek en een pentagram, een regelmatige vijfpuntige ster. Als je bij het pentagram alleen maar naar de vijf hoekpunten A, C, E, B en D en de vijf zijden AC, CE, EB, BD en DA kijkt, en dus de snijpunten van AC met EB, CE met BD enzovoort, niet meetelt, zie je dat je zo’n ster ook best een regelmatige vijfhoek zou kunnen noemen: er zijn vijf zijden die even lang zijn, en vijf hoeken die even groot zijn – in dit geval 36 graden. Het verschil met een gewone regelmatige vijfhoek is alleen maar dat de zijden elkaar nu snijden.
Figuur 1. De regelmatige vijfhoek {5}
Bij de zevenhoek heb je twee stervarianten: een waarbij je telkens één hoekpunt overslaat, en een waarbij je telkens twee hoekpunten overslaat. Het is wel handig om voor regelmatige veelhoeken en sterveelhoeken een passende notatie te bedenken. De gewone regelmatige vijfhoek geven we aan met {5}, het pentagram met {5/2}, waarbij de 2 in de noemer slaat op het feit dat je bij een volledige rondgang twee maal om het middelpunt heen loopt. Evenzo geven we de twee sterzevenhoeken, zie figuur 2, aan met {7/2} en {7/3}, omdat je daar bij een volledige rondgang respectievelijk twee maal en drie maal om het middelpunt heenloopt.
Figuur 2. De regelmatige sterzevenhoeken {7/2} en {7/3}.
Symbolen voor veelvlakken
Een veelvlak heeft hoekpunten, ribben en zijvlakken. Langs elke ribbe komen twee zijvlakken bij elkaar, en elke ribbe verbindt twee hoekpunten.
Bij de gewone regelmatige veelvlakken zijn alle zijvlakken onderling congruente regelmatige veelhoeken, en in elk hoekpunt komen er evenveel samen. Zo telt de kubus zes vierkanten als zijvlakken, en in elk hoekpunt komen er drie samen. We geven de kubus daarom symbolisch weer met de notatie {4,3}, waarbij de 4 slaat op de vorm van de zijvlakken (elk zijvlak is een vierkant), en de 3 op de hoekpuntsconfiguratie, dat wil zeggen het feit dat er in elk hoekpunt 3 vierkanten samenkomen.
In het lijstje hieronder zie je bij elk regelmatig veelvlak het symbool, de naam, het aantal hoekpunten H, het aantal ribben R en het aantal zijvlakken Z.
Figuur 3.Keplers kleine sterdodecaëder
Keplers sterveelvlakken
De grote astronoom Johannes Kepler (1571-1630) was de eerste die zich realiseerde dat je ook regelmatige veelvlakken kunt krijgen als je toelaat dat de zijvlakken onderling congruente regelmatige sterveelhoeken zijn. Hij vond er twee, allebei met pentagrammen (regelmatige stervijfhoeken) als zijvlakken: de kleine sterdodecaëder, zie figuur 3, waarbij er in elk hoekpunt vijf pentagrammen samenkomen, en de grote sterdodecaëder, zie figuur 5, waarbij er in elk hoekpunt drie samenkomen. De notatie voor die sterveelvlakken moet dus {5/2,5} en {5/2,3} zijn.
Net zoals de zijden van een pentagram elkaar doorsnijden, zie figuur 1, zo doorsnijden ook de pentagram-vormige zijvlakken van Keplers sterveelvlakken elkaar. Het woord ‘zijvlak’ is in dit verband misschien een beetje verwarrend, omdat zo’n vlak ook gedeeltelijk binnen het sterveelvlak loopt. Toch zullen we de term ‘zijvlak’ ook voor sterveelvlakken blijven gebruiken. Bij Keplers sterveelvlakken zijn de zijvlakken dus pentagrammen, maar de centrale vijfhoek van zo’n pentagram bevindt zich binnen het veelvlak, en is dus onzichtbaar.
Figuur 4. Een pentagram geplakt op het bovenvlak van een gewone dodecaëder. Door op elk van de twaalf zijvlakken zo’n pentagramvormig zijvlak te plakken, ontstaat Keplers kleine sterdodecaëder {5/2,5}. Daarbij zullen de twaalf pentagrammen elkaar doorsnijden.
Bij de kleine sterdodecaëder vormen die centrale vijfhoeken samen een gewone dodecaëder. Je kunt dat sterveelvlak daarom opvatten als een dodecaëder waarbij op elk zijvlak een pentagram is geplakt, zie figuur 4. Daarbij doorsnijden die twaalf pentagrammen elkaar, en bij elk hoekpunt van zo’n ster komen de punten met vijf tegelijk samen. Ze vormen boven elk zijvlak van de dodecaëder een vijfzijdige piramide. Keplers kleine sterdodecaëder heeft dus ook 12 hoekpunten, namelijk één voor elk zijvlak van de dodecaëder. En het aantal ribben is 30, net zoals bij de dodecaëder.
Figuur 5. Een pentagram met zijn centrale vijfhoek binnen een draadmodel van een icosaëder. Door bij elk van de 12 vijfhoeken zo’n pentagram aan te brengen, ontstaat Keplers grote sterdodecaëder {5/2,3}.
De grote sterdodecaëder
Bij de grote sterdodecaëder {5/2,3}, zie figuur 6, zijn de centrale vijfhoeken van de pentagrammen iets dichter naar het centrum van het veelvlak geplaatst. De ‘kern’ van het veelvlak, dat wat overblijft als je de punten van de ster ervan afsnijdt, is nu geen dodecaëder, maar een icosaëder, een regelmatig twintigvlak. Met elk hoekpunt van de icosaëder zijn vijf andere hoekpunten verbonden, en die vormen samen een regelmatige vijfhoek. Zo’n vijfhoek is precies de centrale vijfhoek van het pentagram dat het bijbehorende zijvlak is van de grote sterdodecaëder, zie figuur 6.
Het aantal hoekpunten van Keplers grote sterdodecaëder {5/2,3} is 20, het aantal zijvlakken is 12 en het aantal ribben is 30.
Figuur 6. Keplers grote sterdodecaëder {5/2,3}.
De sterveelvlakken van Poinsot
Kepler tekende en beschreef de twee door hem ontdekte sterveelvlakken in zijn boek Harmonices Mundi uit 1619. Bijna 200 jaar later, in 1810, vond L. Poinsot nog twee andere regelmatige sterveelvlakken, de grote dodecaëder, zie figuur 7, en de grote icosaëder, zie figuur 9. Allebei hebben ze gewone regelmatige veelhoeken als zijvlakken, namelijk vijfhoeken en driehoeken, maar in allebei de gevallen doorsnijden die veelhoeken elkaar.
Figuur 7. Poinsots grote dodecaëder {5,5/2}.
De grote dodecaëder heeft net als de gewone icosaëder 12 hoekpunten. De zijvlakken ervan zijn nu echter de regelmatige vijfhoeken die we ook al bij de constructie van Keplers grote sterdodecaëder zijn tegengekomen. Alleen worden ze nu niet tot pentagrammen uitgebreid.
In zo’n hoekpunt komen de zijvlakken met vijf tegelijk bij elkaar. De vijf vlakken die bijvoorbeeld door het hoekpunt rechtsboven gaan, snijden de grijs gemaakte vijfhoek in figuur 8 precies in de vorm van een pentagram. Zulke pentagrammen kun je ook in figuur 7 zien. Elke hoekpuntsconfiguratie van Poinsots grote dodecaëder is dus een pentagram {5/2}. Omdat elk zijvlak ervan een regelmatige vijfhoek {5} is, is de symbolische code voor dit sterveelvlak {5,5/2}. Het aantal zijvlakken is 12, het aantal hoekpunten is eveneens 12 en het aantal ribben is 30.
Figuur 8. De zijvlakken van Poinsots grote dodecaëder zijn de regelmatige vijfhoeken die binnen een icosaëder te vinden zijn. Hier is er een getekend in een draadmodel van de icosaëder.
De grote icosaëder
Ook Poinsots grote icosaëder, zie figuur 9 (links), heeft dezelfde hoekpunten als een gewone icosaëder. Maar nu worden daarvan telkens drie hoekpunten gekozen die samen een gelijkzijdige driehoek vormen. In de rechterhelft van figuur 9 is in een draadmodel van de gewone icosaëder één zo’n driehoek grijs gemaakt. Zoals in de linkerhelft goed te zien is, vormen de vijf driehoekige zijvlakken van Poinsots grote icosaëder die door een hoekpunt gaan, een hoekpuntsconfiguratie die weer een pentagram is. Het symbool voor dit sterveelvlak is daarom {3,5/2}. De grote icosaëder heeft 20 zijvlakken, 12 hoekpunten en 30 ribben.
Figuur 9. Poinsots grote icosaëder {3,5/2} (links) met daarnaast een draadmodel van de gewone icosaëder {3,5} met dezelfde hoekpunten. In het draadmodel is een van de driehoeken getekend die de zijvlakken vormen van Poinsots grote icosaëder.
Zijn er nog meer?
Wat nog helemaal niet vanzelf spreekt, is het feit dat we met dit lijstje van negen, te weten de vijf gewone regelmatige veelvlakken, de twee Kepler-sterren en de twee Poinsot-sterren, alle mogelijkheden gevonden hebben. A.L. Cauchy heeft in 1813 bewezen dat er geen andere veelvlakken zijn die aan de volgende twee eisen voldoen:
Alle zijvlakken zijn onderling congruente regelmatige gewone veelhoeken of sterveelhoeken. Alle hoekpuntsconfiguraties zijn gelijk. Je kunt eens proberen of je zelf een bewijs kunt vinden.