Je leest:

Record tetraëders pakken

Record tetraëders pakken

Auteur: | 13 december 2009

Een team van wiskundigen heeft een verrassend compacte stapeling van tetraëders – regelmatige viervlakken – gevonden. De vullingsgraad is 85,03%; dat wil zeggen dat 85,03% van een grote doos gevuld kan worden met deze objecten door ze efficiënt te stapelen. Nooit eerder heeft iemand méér piramides in een doos gekregen. Een bijkomstig resultaat is dat de stapeling de structuur van een quasikristal vertoont; dit tot ieders grote verrassing.

Thomas Hales stapelt tennisballen. Afbeelding: Bob Kalmbach

Pakkingsproblemen zijn oud: al in 1611 vroeg Kepler zich af hoe je bollen zo efficiënt mogelijk kunt stapelen. Ieders boerenverstand, ook dat van Kepler, zegt dat je de efficiëntste stapeling krijgt door zo netjes mogelijk te stapelen, zoals in nevenstaande foto. Om te bewijzen dat het niet efficiënter kan, is geen eenvoudige kwestie: pas in 2005 werd het in 1998 door Thomas Hales gegeven bewijs volledig geaccepteerd.

Vullingsgraad

De vullingsgraad van een stapeling is gedefinieerd als het percentage van de totale ruimte die de gestapelde lichamen innemen (in een kist die zo groot is, dat het niet uitmaakt of je met stapelen toevallig goed uitkomt). Voor bollen is de vullingsgraad 74,05%. De efficiëntste pakking van andere objecten bleef eeuwenlang een raadsel. Afgelopen zomer publiceerde het tijdschrift Nature recordpakkingen van de Platonische lichamen: tetraëder (regelmatig viervlak), octaëder (regelmatig achtvlak), dodecaëder (regelmatig twaalfvlak) en icosaëder (regelmatig twintigvlak). De hexaëder (kubus) is ook een Platonisch lichaam; daarvan is het duidelijk dat de vullingsgraad 100% is, want kubussen vullen de ruimte naadloos op.

De vijf regelmatige veelvlakken: tetraëder, icosaëder, dodecaëder, octaëder en kubus. Plato, naar wie de regelmatige veelvlakken zijn vernoemd, bracht deze objecten in verband met de vijf kosmische bouwstenen van de wereld: vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. Afbeelding: Courtesy of Torquato Laboratory

Nu, slechts een paar maanden later, is het record voor de tetraëder al verbroken. Wiskundigen van verschillende Amerikaanse universiteiten publiceerden in Nature van 10 december een manier om tetraëders in te pakken met een vullingsgraad van niet minder dan 85,03%. Het record van afgelopen zomer was 78,20%. ‘Hoewel tetraëders simpele objecten zijn, is het allerminst duidelijk hoe je ze zo efficiënt mogelijk kunt stapelen, omdat ze niet, zoals kubussen, de ruimte naadloos kunnen vullen,’ zegt Peter Palffy-Muhoray, een van de onderzoekers. Het team vond de hoge vullingsgraad voor tetraëders door virtueel een paar duizend exemplaren heen en weer te schudden en samen te drukken.

Als je een aantal tetraëders aan elkaar plakt, krijg je bijvoorbeeld een pentagonale dipiramide (figuur a), een object zonder naam (figuur b), een icosaëder (figuur c), een icosaëder met een tweede laag (figuur d) of een tetrahelix (figuur e). Als je met deze objecten de ruimte vult, lukt dat nooit helemaal: je houdt altijd gaten. Van de vijf objecten in de afbeelding, heeft figuur d de minst efficiënte vorm: de grote inhammen verlagen de vullingsgraad. Afbeelding: Nature, 10 december 2009

Quasikristal

Een kristal is een materiaalstructuur die zich periodiek herhaalt. Neem bijvoorbeeld een een stapeling kubusjes: je kunt die stapeling zódanig verschuiven dat hij weer op zichzelf terechtkomt. Quasikristallen daarentegen hebben twee of meer verschillende vormen die zich steeds herhalen, maar zodanig dat de periodiciteit verdwijnt. Tot hun eigen verbazing ontdekten de onderzoekers dat de door hun gevonden tetraëderstapeling de vorm van een quasikristal heeft. Quasikristallen zijn relatief nieuwe objecten: 25 jaar geleden werd het eerste quasikristal gefabriceerd (in een laboratorium) en pas dit jaar werd het eerste quasikristal in de natuur aangetroffen. De structuur van een quasikristal is complex. Dat een stapeling van de eenvoudigste regelmatige veelvlakken – tetraëders – deze structuur vertoont, had niemand kunnen vermoeden.

Door de computer gerangschikte tetraëders. Deze vulling leidt tot een vullingsgraad van 85,03% en heeft de structuur van een quasikristal. De witte lijnen tonen een twaalfvoudige symmetrie. Afbeelding: Nature, 10 december 2009

Zie ook:

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 13 december 2009
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.