Je leest:

Raadsel mock thetafuncties opgelost

Raadsel mock thetafuncties opgelost

Auteur: | 1 maart 2007

Wiskundigen hebben eindelijk volledig grip gekregen op een uiterst ingewikkeld type functies, de zogenaamde mock thetafuncties. Deze functies werden voor het eerst bestudeerd door het Indiase genie Srinivasa Ramanujan (1887-1920).

Kort voor zijn dood in 1920 schreef het Indiase wiskundegenie Srinivasa Ramanujan over mock thetafuncties. Hij deed dat in een brief aan de Britse wiskundige Godfrey Harold Hardy van de universiteit van Cambridge, bij wie Ramanujan van 1914 tot 1919 had gewerkt. Verschillende wiskundigen, waaronder de Nederlander Sander Zwegers, hebben zich na de dood van Ramanujan met de mock thetafuncties beziggehouden. Zwegers maakte een uitgebreide studie van de voorbeelden van mock thetafuncties waarover Ramanujan in zijn brief aan Hardy schreef, waarop hij in 2002 promoveerde. Zwegers’ werk was een grote stap voorwaarts richting het doorgronden van mock theta functies. Toch bleven er nog raadsels over voor wiskundigen.

‘Gewone’ thetafuncties, een speciaal soort functies van complexe variabelen, waren in Ramanujans tijd reeds uitgebreid bestudeerd en ook Ramanujan was hier vertrouwd mee. Thetafuncties hebben hun nut in de wiskunde al lang bewezen; zij spelen onder meer een rol in elliptische krommen, die op hun beurt weer een rol hebben gespeeld bij, onder andere, het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat. Aan de raadsels rond mock thetafuncties lijkt nu een eind te zijn gekomen. Ken Ono en Kathrin Bringmann, twee wiskundigen van de universiteit van Wisconsin-Madison (Verenigde Staten), hebben een theorie ontwikkeld, waarmee ze verdere resultaten hebben verkregen. Zij zijn erachter gekomen wat mock thetafuncties precies zijn en hoe ze kunnen worden afgeleid. Voor het eerst is men erachter waar mock thetafuncties goed voor zijn; in diverse gebieden van de wiskunde, maar ook van de natuur- en scheikunde, kan de nieuwe theorie worden toegepast. De resultaten zijn gepubliceerd in een reeks van drie artikelen; de laatste verscheen in de Proceedings of the National Academy of Sciences van 27 februari 2007.

De uit India afkomstige Srinivasa Ramanujan (links) werd geboren in 1887. De Engelse wiskundige Godfrey Harold Hardy (rechts) ontving in 1913 een brief van Ramanujan. “Alweer zo’n gek, die denkt dat hij iets nieuws heeft uitgevonden,” was zijn eerste gedachte bij het zien van de brief. Maar al gauw kwam hij erachter dat deze brief van een genie afkomstig was en nodigde hem uit om in Engeland te komen werken. Door een slechte gezondheid verliet Ramanujan Engeland na vijf jaar. In 1920 overleed hij op 32-jarige leeftijd aan tuberculose. Tot op het allerlaatst maakte hij wiskundige aantekeningen.

Ondoorgrondelijk

Ono en Bringmann zijn apetrots op hun werk. “Het geeft grote voldoening om het laatste raadsel van Ramanujan op te lossen,” zegt Ono. George Andrews, een wiskundige van de Pennsylvania State University die al baanbrekend werk op het gebied van mock thetafuncties heeft verricht, noemt de nieuwe inzichten een ‘prachtige voltooiing’. In 2000 noemde hij de mock thetafuncties ‘een van de moeilijkste wiskundeproblemen van het nieuwe millennium’.

De mock thetafuncties waren zo moeilijk te doorgronden, omdat niemand wist hoe Ramanujan op het idee van deze functies is gekomen. De eerste paar pagina’s van zijn brief aan Hardy over dit onderwerp zijn verloren gegaan. De pagina’s die behouden zijn gebleven, bevatten zeventien voorbeelden van mock thetafuncties, maar naar enige theorie erachter kon men slechts gissen. Hoe luidt de definitie van een mock thetafunctie? Hoe valt een dergelijke functie af te leiden? Waarom zouden deze functies belangrijk zijn? Hierover was in Ramanujans brief geen woord te vinden. Bringmann en Ono kwamen op het goede spoor om de mock thetafuncties te begrijpen door hun onderzoek naar Harmonic Maass Forms, eveneens een relatief jong onderwerp in de wiskunde.

Vijf van de zeventien mock thetafuncties uit Ramanujans laatste brief aan Hardy. De Nederlander Sander Zwegers bestudeerde de zeventien voorbeelden van Ramanujan; in 2002 promoveerde hij op dit onderwerp. ‘Gewone’ thetafuncties waren in Ramanujans tijd reeds uitgebreid bestudeerd en ook Ramanujan was hier vertrouwd mee. ‘Mock thetafuncties’ zouden vertaald kunnen worden als ‘spottende thetafuncties’ of ‘nepthetafuncties’, maar dit dekt niet helemaal de lading.

Verdwenen notitieboek

Het werk van Ramanujans laatste levensjaar, 138 ongenummerde pagina’s vol formules, met de hand geschreven, kwam terecht in de bibliotheek van het Trinity College in Cambridge, waar het werd opgeborgen tussen rekeningen en brieven. Dit ‘verdwenen notitieboek’ werd in 1976 teruggevonden door George Andrews. In dit notitiebook staat veel over mock thetafuncties. Ramanujan ging echter zeer intuïtief te werk en schreef nooit een bewijs op. Andrews wist met een aantal collega’s bewijzen te geven van een aantal vermelde resultaten over mock thetafuncties.

’Ramanujan’s Lost Notebook’ (links) werd in 2005 in twee delen uitgegeven. Eerder al werd in vijf delen ’Ramanujan’s Notebooks’ (rechts) uitgegeven.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 maart 2007

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.