Raadsel mock thetafuncties opgelost

Kort voor zijn dood in 1920 schreef het Indiase wiskundegenie Srinivasa Ramanujan over mock thetafuncties. Hij deed dat in een brief aan de Britse wiskundige Godfrey Harold Hardy van de universiteit van Cambridge, bij wie Ramanujan van 1914 tot 1919 had gewerkt. Verschillende wiskundigen, waaronder de Nederlander Sander Zwegers, hebben zich na de dood van Ramanujan met de mock thetafuncties beziggehouden. Zwegers maakte een uitgebreide studie van de voorbeelden van mock thetafuncties waarover Ramanujan in zijn brief aan Hardy schreef, waarop hij in 2002 promoveerde. Zwegers’ werk was een grote stap voorwaarts richting het doorgronden van mock theta functies. Toch bleven er nog raadsels over voor wiskundigen.

‘Gewone’ thetafuncties, een speciaal soort functies van complexe variabelen, waren in Ramanujans tijd reeds uitgebreid bestudeerd en ook Ramanujan was hier vertrouwd mee. Thetafuncties hebben hun nut in de wiskunde al lang bewezen; zij spelen onder meer een rol in elliptische krommen, die op hun beurt weer een rol hebben gespeeld bij, onder andere, het bewijs van de Laatste Stelling van Fermat. Aan de raadsels rond mock thetafuncties lijkt nu een eind te zijn gekomen. Ken Ono en Kathrin Bringmann, twee wiskundigen van de universiteit van Wisconsin-Madison (Verenigde Staten), hebben een theorie ontwikkeld, waarmee ze verdere resultaten hebben verkregen. Zij zijn erachter gekomen wat mock thetafuncties precies zijn en hoe ze kunnen worden afgeleid. Voor het eerst is men erachter waar mock thetafuncties goed voor zijn; in diverse gebieden van de wiskunde, maar ook van de natuur- en scheikunde, kan de nieuwe theorie worden toegepast. De resultaten zijn gepubliceerd in een reeks van drie artikelen; de laatste verscheen in de Proceedings of the National Academy of Sciences van 27 februari 2007.

Ondoorgrondelijk

Ono en Bringmann zijn apetrots op hun werk. “Het geeft grote voldoening om het laatste raadsel van Ramanujan op te lossen,” zegt Ono. George Andrews, een wiskundige van de Pennsylvania State University die al baanbrekend werk op het gebied van mock thetafuncties heeft verricht, noemt de nieuwe inzichten een ‘prachtige voltooiing’. In 2000 noemde hij de mock thetafuncties ‘een van de moeilijkste wiskundeproblemen van het nieuwe millennium’.

De mock thetafuncties waren zo moeilijk te doorgronden, omdat niemand wist hoe Ramanujan op het idee van deze functies is gekomen. De eerste paar pagina’s van zijn brief aan Hardy over dit onderwerp zijn verloren gegaan. De pagina’s die behouden zijn gebleven, bevatten zeventien voorbeelden van mock thetafuncties, maar naar enige theorie erachter kon men slechts gissen. Hoe luidt de definitie van een mock thetafunctie? Hoe valt een dergelijke functie af te leiden? Waarom zouden deze functies belangrijk zijn? Hierover was in Ramanujans brief geen woord te vinden. Bringmann en Ono kwamen op het goede spoor om de mock thetafuncties te begrijpen door hun onderzoek naar Harmonic Maass Forms, eveneens een relatief jong onderwerp in de wiskunde.

Verdwenen notitieboek

Het werk van Ramanujans laatste levensjaar, 138 ongenummerde pagina’s vol formules, met de hand geschreven, kwam terecht in de bibliotheek van het Trinity College in Cambridge, waar het werd opgeborgen tussen rekeningen en brieven. Dit ‘verdwenen notitieboek’ werd in 1976 teruggevonden door George Andrews. In dit notitiebook staat veel over mock thetafuncties. Ramanujan ging echter zeer intuïtief te werk en schreef nooit een bewijs op. Andrews wist met een aantal collega’s bewijzen te geven van een aantal vermelde resultaten over mock thetafuncties.