Probleem 59 uit het Schotse boek

Terwijl de meeste mensen problemen liever uit de weg gaan, worden wiskundigen er juist onweerstaanbaar door aangetrokken. Lijsten met wiskundige problemen zijn van alle tijden. In de Griekse oudheid had men de drie klassieke problemen over constructies met passer en liniaal. Een van deze vraagstukken was volgens de overlevering door de god Apollo aan de mensheid voorgelegd. De klassieke problemen, waarvan de kwadratuur van de cirkel het bekendste is, konden pas in de negentiende eeuw opgelost worden.

Befaamd zijn ook de 23 problemen die David Hilbert zijn gehoor voorlegde in 1900 op het tweede Internationaal Wiskundig Congres te Parijs. Hilbert wilde in zijn toespraak aangeven hoe de wiskunde zich in de komende eeuw zou gaan ontwikkelen. Nu, ruim een eeuw verder, zijn de meeste van de 23 problemen van Hilbert opgelost. De prangendste vraag die is overgebleven, is de Riemannhypothese. In 2000 kwam dit probleem dan ook opnieuw op een lijst, en wel van de millennium problems.

De miljonair Landon T. Clay, zakenman en wetenschapsweldoener, presenteerde op 24 mei 2000 een lijst met zeven grote wiskundige vraagstukken. Een internationaal comité van gerenommeerde wiskundigen heeft die zeven problemen uitgekozen als de zeven belangrijkste open onderzoeksvragen van de huidige wiskunde. Ze werden gelanceerd tijdens een plechtige bijeenkomst in Parijs en staan sindsdien bekend als de millennium problems. Voor degene die een van de problemen weet op te lossen, looft het Clay Mathematics Institute een bedrag van niet minder dan een miljoen dollar uit. De eerste doorbraak op het gebied van de millennium problems was het bewijs van het Vermoeden van Poincaré, dat in 2006 door de Rus Grigori Perelman werd geleverd. Perelman was in het prijzengeld niet geïnteresseerd en ook de prestigieuze Fields Medal weigerde hij.

Zo’n lijst met problemen kun je beschouwen als een uitbreidingsplan voor het bouwwerk van de wiskunde. Hilberts lijst was een bouwplan voor een hele eeuw, op wereldschaal. Op kleinere schaal bestaan en bestonden er honderden lijsten. Denk aan de hoofdvragen binnen een bepaald vakgebied, of bijvoorbeeld een lijst met vragen bij een bepaald onderzoeksproject. Een mooi voorbeeld van zo’n lijst van problemen op een kleinere schaal was de collectie vraagstukken die nu bekend staat als ‘de problemen van het Schotse boek’.

Een café in Lwow

Toen Polen na de Eerste Wereldoorlog onafhankelijk werd, stelde de regering van de jonge staat alles in het werk om de ontwikkeling van de exacte wetenschappen te bevorderen. Dat lukte verrassend goed: in de jaren dertig was er een hele schare vooraanstaande Poolse wiskundigen actief en wie nu een wiskundeboek openslaat komt daar nog steeds onevenredig veel Poolse namen tegen. Zo bijvoorbeeld de naam van Stefan Banach, die hoogleraar was aan de universiteit van Lwow, een stad die toentertijd in het oosten van Polen lag, maar tegenwoordig in Oekraïne. Banach was een temperamentvolle man die ervan hield zijn collega-wiskundigen te bestoken met vragen en problemen. Niet alleen in het onderzoeksinstituut, maar ook in het door wiskundigen goedbezochte Szkocka Café (Schotse Café).

De discussies aldaar moeten heel geanimeerd zijn geweest. Van Banach kwam het idee de besproken problemen en de eventuele oplossingen op te tekenen in een boek, dat in het café bewaard werd. Het opschrijfboek staat nu bekend als het Schotse boek en telt zo’n 200 problemen. Het eerste probleem werd er door Banach op 17 juli 1935 in opgetekend. Bij sommige problemen werd de uitgeloofde prijs vermeld, bijvoorbeeld: vijf bier, een kop koffie, of een gans.

De Tweede Wereldoorlog verliep voor Lwow bijzonder ongelukkig. In September 1939 vielen Duitsers en Russen Polen gelijktijdig binnen en kwam Lwow onder Russisch bestuur. Van die tijd dateren nog een aantal notities in het Russisch. De laatste datum in het Schotse boek is 31 mei 1941, kort voordat Duitse troepen zich van de stad meester maakten en er een bloedbad aanrichtten. Het Schotse boek bleef behouden. Inmiddels is het bewerkt, vertaald en uitgegeven, en zijn er diverse congressen aan gewijd.

Probleem 59

Een van de problemen in het Schotse boek gaat over de verdeling van een vierkant in kleinere vierkanten. Probleem nummer 59 werd eind 1935 of begin ‘36 opgeschreven door Ruziewicz en luidt: ’Kan een vierkant verdeeld worden in vierkanten van onderling verschillende afmetingen?’ In 1925 had Zbigniew Morón een rechthoek verdeeld in 9 vierkanten die onderling allemaal verschillend van afmeting zijn. De rechthoek van Morón is 32 bij 33 en lijkt bijna een vierkant, zie onderstaande figuur. Misschien dat dit Ruziewicz tot de vraag bracht of het mogelijk zou zijn een echt vierkant van onderling verschillende vierkanten te leggen.

Probleem 59 werd al in 1940 opgelost door Roland Sprague met een vierkant van 55 onderling verschillende vierkanten, zie onderstaande figuur.

De vraag of het misschien met minder deelvierkanten kan. Al in hetzelfde jaar bleek dat inderdaad te kunnen: R.L. Brooks verdeelde een vierkant in 26 vierkanten. In 1948 kwam T.H. Willcocks met een vierkant van maar 24 vierkanten, zie onderstaande figuur.

In 1962 bewees de Nederlander A.J.W. Duijvestijn dat het nooit met minder dan 21 vierkanten zal kunnen. Maar dat het met 21 vierkanten écht mogelijk is, wist hij op dat moment nog niet. Met behulp van de computer rekende Duijvestijn (1927-1988) lang aan dat probleem. In maart 1978 ten slotte vond hij zijn beroemde vierkant van 21 verschillende deelvierkanten, zie onderstaande figuur.