Je leest:

Paul Erdős: een nomadische wiskundige

Paul Erdős: een nomadische wiskundige

Auteur: | 9 februari 2008

De Hongaar Paul Erdős is een van de productiefste wiskundigen die hebben geleefd. Reizend met een halflege koffer en een plastic tas, zich op de been houdend met koffie en pepmiddelen, hield hij zich 19 uur per dag met slechts één ding bezig: wiskunde. Hij is vooral bekend vanwege véél resultaten, meer dan heel erg diepe resultaten. Hij werd geëerd met meer dan tien eredoctoraten en won in 1983 de prestigieuze Wolf Prize.

Wat is het verbindende element tussen de vijf Nederlanders J.F. Koksma (1904-1964), J.H. van Lint (1932-2004), N.G. de Bruijn (1918), R. Tijdeman (1943) en J.W.M. Turk (1951)? Het antwoord: Paul Erdős. Erdős publiceerde met 511 collega-wiskundigen in totaal meer dan 1500 artikelen. Onder die 511 co-auteurs bevinden zich de vijf genoemde Nederlanders, die daardoor het ‘Erdősgetal’ 1 bezitten.

Het Erdősgetal is een begrip onder wiskundigen. Het werd geïntroduceerd door vrienden van Erdős, wanwege zijn enorme productiviteit. Erdős zelf heeft het Erdősgetal 0, zijn directe co-auteurs kregen Erdősgetal 1, de mensen die gepubliceerd hebben met een van deze co-auteurs bezitten Erdősgetal 2, wie publiceerde met iemand die publiceerde met iemand die publiceerde met Erdős staat op 3, enzovoorts. Een van de onopgeloste vragen in dit verband is het hoogste Erdősgetal dat er op dit ogenblik bestaat.

Paul Erdős: ‘Een wiskundige is een machine die koffie omzet in stellingen.’

Jeugd

Paul Erdős werd op 26 maart 1913 geboren in Boedapest, de hoofdstad van Hongarije in de Habsburgse dubbelmonarchie. Hij was de zoon van twee wiskundeleraren in het voortgezet onderwijs. Kort voor zijn geboorte stierven zijn twee zusjes, Klara van drie en Magda van vijf jaar. Het gevolg was een zeer beschermende moeder, zeker toen in 1914 de Eerste Wereldoorlog uitbrak: vader werd gevangen genomen in een Russisch offensief en naar Siberië gezonden.

Als kleuter was Erdős al handig met getallen. Hij vermenigvuldigde uit het hoofd getallen van vier cijfers met elkaar, hij berekende hoe lang een trein erover zou doen om naar de zon te rijden en hij vroeg aan gasten hoe oud ze waren waarna hij dan uit zijn hoofd berekende hoeveel seconden ze geleefd hadden.

Na de oorlog, in 1918, heerste er chaos in Hongarije. De dubbelmonarchie viel uit elkaar, er waren een half miljoen Hongaren gesneuveld en het lot van driekwart miljoen krijgsgevangenen, waaronder Pauls vader, was onbekend. Pas in 1920, toen vader Erdős na zes jaar vrijkwam, kwam een einde aan deze onzekerheid. In Siberië had vader zichzelf de Engelse taal geleerd, zonder de juiste uitspraak te weten. Hij bracht zijn kennis over op zijn zoon, wat hem later, als wiskundige die de hele wereld zou rondreizen, goed van pas zou komen. Het vreemde accent heeft Paul Erdős zijn hele leven lang gehouden.

Op zeventienjarige leeftijd baarde Erdős opzien door het omslachtige bewijs van Chebyshev van de stelling dat tussen een willekeurig getal en het dubbele van dat getal altijd een priemgetal zit, aanzienlijk te versimpelen. Hier openbaarde zich het elegante, elementaire redeneren dat zijn handelsmerk zou worden.

Pafnuty L. Chebyshev (1821-1894) bewees dat tussen een willekeurig getal en het dubbele van dat getal altijd een priemgetal zit. Erdős wist hiervan een veel eenvoudiger bewijs te geven.

Epsilons, Het Boek en de Supreme Fascist

In Hongarije bestond al tijdens de dubbelmonarchie een onmiskenbaar antisemitisme. Dit is na de Eerste Wereldoorlog versterkt, maar tijdens het bewind van Gömbös, die een overtuigd fascist was en die in 1932 premier werd, werd het een onderdeel van de officiële regeringspolitiek. Uit deze tijd dateert Erdős’ afkeer van het fascisme. Er kwam antisemitische wetgeving, waarin de vrijheid van de Joden werd beperkt. Zo werd bepaald dat ten hoogste zes procent van de studenten Joods mocht zijn. Erdős wilde om die reden Hongarije verlaten, maar omdat winnaars van nationale competities onvoorwaardelijk tot universiteiten werden toegelaten, besloot Erdős op zeventienjarige leeftijd toch een studie in Boedapest te beginnen. Vier jaar later promoveerde hij al tot doctor in de wiskunde.

Tijdens zijn studietijd trok Erdős regelmatig op met een groepje Joodse medestudenten. Samenscholingen waren verboden en men was niet vrij om zijn mening te uiten. In deze periode ontwikkelde Erdős met zijn vrienden een taaltje dat hij tijdens zijn hele verdere leven zou gebruiken. Rusland was ‘Joe’ en de Verenigde Staten ‘Sam’. Wijn werd ‘vergif’ genoemd, muziek ‘lawaai’, mannen ‘slaven’ en vrouwen ‘bazen’.

In de wiskunde wordt een ‘heel kleine waarde’ vaak met ε, de Griekse letter epsilon, aangeduid; Erdős sprak over ‘epsilons’ wanneer hij kinderen bedoelde. Hiermee bedoelde hij echter niets denigrerends, hij was juist dol op kinderen. Voor kinderen van collega-wiskundigen bracht Erdős dikwijls een cadeautje mee. De tweejarige dochter van een collega-wiskundige op wie Erdős eens in het park moest passen, werd door hem meegenomen naar de snoepwinkel – met als gevolg een bezorgde vader die bij terugkomst in het park merkte dat zijn dochter en Erdős verdwenen waren. En tijdens een diner met enkele wiskundigen stond Erdős eens plotseling op, liep naar een tafel waar net een gezin met een klein kind was gaan zitten en knoopte een gesprekje aan met het kind. De ouders waren zichtbaar verbaasd over deze actie, maar zagen al gauw dat er geen kwaad in Erdős school.

Erdős was ongelovig en noemde God de SF, ‘Supreme Fascist’. ‘Het Boek’ was een denkbeeldig boek waarin God de beste en meest elegante bewijzen voor wiskundige stellingen had opgeschreven. Hij vond dat je als wiskundige niet in God moest geloven, maar in ‘Het Boek’. De Duitse wiskundigen Martin Aigner en Günter Ziegler stelden in de jaren negentig aan Erdős voor om een ‘benadering van Het Boek’ te schrijven. Erdős reageerde enthousiast en verleende onmiddellijk zijn medewerking. De bedoeling was dat het boek in 1998, op Erdős’ 85ste verjaardag, zou worden gepresenteerd. Door Erdős’ dood in 1996 heeft deze feestelijke gebeurtenis niet kunnen plaatsvinden. Toch verscheen in maart 1998 een eerste editie met de titel Proofs from THE BOOK, zonder dat Erdős een van de auteurs is. Inmiddels is er al een derde, uitgebreidere, editie van het boek.

Proofs from THE BOOK

Engeland en Amerika

In 1934 verliet Erdős Hongarije. Makkelijk was dat niet: zijn moeder had hem wel wiskunde geleerd, maar niets van de praktijk van het leven. Een boterham had hij nog nooit zelf gesmeerd. Toch weerhield dit Erdős er niet van zijn ouderlijk huis te verlaten. Het was het begin van zijn bestaan als de immer reizende wiskundige. Hij wilde naar Gottingen, Duitsland, dat in de jaren twintig het Mekka van de wiskunde was. Het opkomende fascisme weerhield Erdős er echter van deze reis te ondernemen.

In plaats daarvan ging hij naar Manchester om daar vier jaar als ‘post-doc’ te werken. Engeland was in deze tijd een centrum van getaltheorie en discrete wiskunde, de delen van de wiskunde die Erdős het meest na aan het hart lagen. Hij reisde veel in Engeland rond en ontmoette vakgenoten als de beroemde Hardy en Littlewood. Drie keer per jaar ging Erdős terug naar Hongarije, met Pasen, in de zomer en met kerst. Dan zocht hij zijn ouders en vrienden op.

Hardy en Littlewood

Vanaf 1938 zocht Hongarije toenadering tot Nazi-Duitsland. Het was voor Erdős te gevaarlijk om dat voorjaar naar zijn geboorteland terug te keren. In de zomer waagde hij het er op, maar toen in de herfst bij het Verdrag van München het Sudetenland aan Duitsland werd afgestaan, besloot Erdős uit te wijken naar de Verenigde Staten. Hij kreeg een slecht betaalde betrekking aan het beroemde Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey. Hier werkten grootheden zoals Einstein, Gödel en Von Neumann. In Princeton vond men Erdős echter zonderling en onaangepast. Zijn betrekking werd met slechts zes maanden verlengd.

Erdős bleef gedurende de Tweede Wereldoorlog in de Verenigde Staten, zonder te weten hoe het zijn familie en vrienden in Hongarije verging. Op 19 maart 1944 vielen de Nazi’s Hongarije binnen. In drie maanden tijd werden bijna een half miljoen Joden naar Auschwitz afgevoerd. De 160 duizend Joden die in Boedapest achterbleven, hadden de daaropvolgende winter te lijden onder terreur, honger, kou en ziekte. Op 14 februari 1945 werd Boedapest door de Sovjettroepen bevrijd. In augustus van dat jaar kreeg Erdős voor het eerst in vier jaar bericht over zijn ouders. Zijn vader was al in 1942 aan een hartaanval overleden, maar wonderbaarlijk genoeg had zijn moeder de oorlog overleefd. De meeste andere familieleden waren omgekomen. Pas in 1948 keerde Erdős terug naar het inmiddels communistische Hongarije.

Tussen 1949 en 1953 reisde Erdős heen en weer tussen Engeland en Amerika om ten slotte een flexibele aanstelling te krijgen aan de universiteit van Notre Dame in de Amerikaanse stad South Bend. In deze tijd gaf hij een elementair bewijs van de priemgetalstelling. In South Bend moest hij één college geven; hij kreeg een assistent die het college zonodig kon overnemen. Erdős vond het niet erg op een katholieke universiteit te doceren. Hij vond alleen dat er te veel plustekens waren.

Priemgetalstelling

Over priemgetallen, getallen met precies twee delers, wordt al vele eeuwen nagedacht. Euclides (ongeveer 300 voor Christus) bewees al dat er oneindig veel van bestaan. Rond 1800 vermoedden Legendre en Gauss dat het aantal priemgetallen kleiner dan n (aangeduid met π(n)) ongeveer gelijk is aan n / ln n.

In 1896 werd dit door Hadamard en De la Vallée Poussin onafhankelijk van elkaar voor het eerst bewezen. Hun bewijs maakte gebruik van eigenschappen van de complexe zeta-functie.

Voor een wiskundige stelling bestaan soms verschillende bewijzen. Het mooiste, elegantste bewijs, door Erdős aangeduid als het ‘Boekbewijs’, was waar Erdős altijd naar op zoek was. Zo bleef, ondanks deze grote doorbraak in de wiskunde, voor Erdős de vraag of het vermoeden van Legendre en Gauss ook anders kon worden bewezen. In 1947 vertelde de toen dertigjarige Noor Atle Selberg aan Erdős een nieuwe aanpak om de priemgetalstelling te bewijzen. Al na één dag wist Erdős een elementair bewijs te geven. Even later lukte dit Selberg zelf ook en toen deze hoorde dat Erdős verder was gegaan met het bewijsidee dat hij hem had geschetst, werd Selberg zo boos dat hij lange tijd niet met Erdős sprak. Erdős was hier behoorlijk van overstuur; het was helemaal niet zijn bedoeling om Selberg dwars te zitten.

Overigens moet het woord ‘elementair’ niet verkeerd worden geïnterpreteerd: een ‘elementair bewijs’ maakt geen gebruik van complexe analyse, het betekent niet dat het kort of eenvoudig is! Erdős’ bewijs is erg ondoorzichtig; het woord ‘elegant’ is dan ook niet echt van toepassing op dit bewijs. In eerste instantie was er de hoop dat Erdős’ bewijs zou leiden tot nieuwe inzichten, bijvoorbeeld in de Riemannhypothese, een tot op de dag van vandaag open staand probleem in de wiskunde. Dat is echter nooit gebeurd.

De Amerikaan Donald Newman gaf in 1980 weer een ander bewijs van de priemgetalstelling. Dat bewijs is veel korter en eleganter dan de tot dan toe bekende bewijzen, maar maakt wél gebruik van complexe analyse.

Nomadenbestaan

In 1953 beëindigde Erdős zijn dienstverband met de universiteit van Notre Dame. Sindsdien reisde hij met een halflege koffer en een plastic tas, zonder vaste verblijfplaats. Een vaste baan zou hem alleen maar beperkingen opleggen. Erdős verklaarde zichzelf ‘wereldburger’. Hij reisde van het ene land naar het andere, rondkomend van hetgeen lezingen en gastdocentschappen aan universiteiten hem opleverden. Cheques of creditcards bezat hij niet. Overnachten deed hij bij collega’s. Soms stond hij onaangekondigd met zijn koffer en plastic tas bij een collega op de stoep. ‘My brain is open,’ zei hij dan, waarmee hij bedoelde dat hij graag een paar dagen bleef logeren om samen te werken.

Erdős’ hele bezit paste in een koffer en een plastic tas

Werken met Erdős was leuk en eervol, maar vermoeiend. Toen J.F. Koksma Erdős eens te gast had en ze ‘s avonds laat nog met wiskunde bezig waren, bleef Koksma uit beleefdheid op, hij was immers gastheer. Erdős, die nog lang niet aan slapen moest denken, zei tegen de vermoeide Koksma: ’Why don’t you go to bed? I will help myself to find some food in the kitchen.’ Bij vertrek liet hij de logeerkamer onopgeruimd achter. N.G. de Bruijn trof eens zijn vuile, kapotte sokken aan, die hij had weggemoffeld onder een matje in De Bruijns huis bij wie Erdős diverse keren verbleef.

Erdős onderhield zijn contacten en had een fenomenaal geheugen. Hij wist precies met wie en wanneer hij over welk onderwerp had gesproken. Hij moet duizenden brieven hebben geschreven; alleen De Bruijn al ontving er 175. De telefoonrekening van zijn gastheren kon flink oplopen, want Erdős belde veel, zonder zich af te vragen hoe laat het aan de andere kant van de lijn was. Een typische conversatie verliep als volgt: ‘Hallo, Erdős hier, laat p een priemgetal zijn…’

Fragment van een brief van Erdős aan de Nederlandse wiskundige Rob Tijdeman. Het stramien van een brief was steeds hetzelfde: Erdős schrijft waar hij de komende weken bereikbaar zal zijn en begint dan met wiskundeproblemen.

Uniek paspoort

In 1954 bezocht Erdős Amsterdam, waar dat jaar het Internationaal Congres van Wiskundigen werd georganiseerd. Hij kwam toen weer bij De Bruijn, die zich herinnert dat Erdős nogal overstuur was: de FBI had hem gemeld dat hij geen re-entry permit zou krijgen wanneer hij Hongarije zou bezoeken. In die tijd heerste in Amerika namelijk een panische angst voor echte of vermeende communisten.

Erdős kwam na zijn Amsterdamse bezoek terecht in Israël, waar hij een aanstelling had van drie maanden aan de Hebrew University in Jeruzalem. Hij kreeg een verblijfsvergunning voor Israël, maar weigerde het staatsburgerschap. In 1955, twee jaar na Stalins dood, bezocht Erdős Hongarije weer. Dankzij invloedrijke vrienden, die betoogden dat Erdős een uniek kleinood in de wereld van de wiskunde was, en inspanningen van zijn moeder, verkreeg Erdős een paspoort dat vermeldde dat hij Hongaars staatsburger was én een Israëlische verblijfsvergunning had. Erdős was daardoor zo’n beetje de enige Hongaar die dit land achter het IJzeren Gordijn in en uit mocht gaan wanneer hij maar wilde.

Op 23 oktober 1956 brak een massale volksopstand uit tegen het stalinistische bewind, het begin van de Hongaarse Opstand. Dertien dagen later viel de Sovjet-Unie Hongarije binnen, omsingelde Boedapest en sloeg de opstand neer. János Kádár kwam aan de macht. Zelfs hij ging akkoord met het bijzondere paspoort van Erdős.

In 1961 en 1962 werden verzoeken om de Verenigde Staten te bezoeken door de Amerikaanse autoriteiten geweigerd. In de zomer van 1963 verzamelden Amerikaanse collega’s de handtekeningen van een paar honderd wiskundigen voor een petitie aan de Amerikaanse regering om Erdős toe te laten. In november 1963 werd de gevraagde toestemming uiteindelijk verleend. De ergste communisten-paranoia was toen ook in Amerika weer voorbij.

Seks en drugs

Vanaf 1964 reisde Erdős’ moeder, 84 jaar oud, met hem mee, behalve naar India uit vrees voor ziekten. Zijn moeder had een hekel aan reizen, ze sprak geen woord Engels, maar ze wilde bij hem zijn. Wanneer Erdős zich met wiskunde bezighield, zat ze tevreden te wachten. Zo waren zij een bijzonder stel: dol op elkaar en heel zorgzaam voor elkaar. In 1971 overleed zij in Calgary, Canada, terwijl Erdős een voordracht gaf. Dit was een groot verlies voor Erdős en snel begon zijn gebruik van pillen, eerst antidepressiva en later speed, uit de hand te lopen. Na een weddenschap met vrienden om 500 dollar bleef hij een maand clean. Hij nam echter daarna zijn oude gewoonte weer op, protesterend dat de wiskunde een maand vertraging opgelopen had.

Erdős heeft in zijn leven niet veel blijk gegeven van seksuele interesse. Hij heeft wel eens een vriendin gehad – een in Amerika werkzame Nederlandse – die hem vergezelde bij een reis naar Amsterdam. Samen bezochten zij De Bruijn en het grappige was dat De Bruijn haar al kende uit zijn studietijd in Leiden. Tussen Erdős en haar is het nooit echt wat geworden. Zelf zei Erdős eens: ‘Ik ben abnormaal in de zin dat seksueel genot mij tegenstaat. Een eigenaardige en bijna unieke afwijking.’

Erdős bleef wiskundig actief, ondanks ouderdomsgebreken. Hij moest enkele keren in een ziekenhuis worden opgenomen. Dan veranderde hij de ziekenhuiskamer in een werkkamer. Erdős zat in zijn bed, temidden van stapels papieren en tijdschriften. Ook daar kon hij het niet laten collega’s uit te nodigen. Dan sprak hij Hongaars met een groepje links, Duits met groepje rechts en Engels met een groepje aan het voeteneind. Wanneer de arts kwam, moest die een paar uur later terugkomen, de wiskunde ging voor. Tijdens een conferentie in Warschau op 20 september 1996 overleed Erdős, 83 jaar oud, aan een hartaanval. Sindsdien is voor wiskundigen 2 het laagst haalbare Erdősgetal.

Bronnen

G. Csicsery, N is a number, Zala Films 1993; D. van Delft, ‘Een wiskundige nomade; Paul Erdős (1913-1996)’, NRC Handelsblad, 4 december 1998; P. Hoffman, The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion (New York) 1998.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 09 februari 2008

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.