Je leest:

Opschudding over veeltermen

Opschudding over veeltermen

Auteurs: en | 13 september 2004

Sinds enkele dagen is het werk van Geert-Jan Uytdewilligen, student aan de Fontys Hogeschool Toegepaste Natuurwetenschappen in Eindhoven, sterk in het nieuws (kranten, radio, televisie, internet). De oorzaak hiervan lijkt te liggen in de nieuwsberichten van Science Guide (www.scienceguide.nl) en van de Hogeschool zelf (www.fontys.nl), waarin onder andere sprake is van een ‘enorme wiskundige doorbraak’.

Deze publiciteit maakt een reactie noodzakelijk. Het werk van Uytdewilligen is zeker een knappe prestatie, die aanmoediging verdient. Echter, zonder deze publiciteit zou dit werk geen enkele opschudding hebben veroorzaakt in de professionele wiskundewereld.

Wat heeft Uytdewilligen nu precies gedaan, en hoe past dat in de context van de wiskunde als geheel? Het probleem waar het om gaat is het vinden van de oplossingen van zogenaamde veeltermvergelijkingen in één variabele en van willekeurige graad. Zo’n vergelijking van graad één is van de vorm ax + b = 0. Hier zijn a en b de coëfficiënten, en x de variabele. De coëfficiënten a en b zijn hier getallen, en a is niet gelijk aan 0 want anders zou de vergelijking van graad lager dan één zijn. In dit geval heeft de vergelijking precies één oplossing, en die is gelijk aan – b/a.

De algemene vergelijking van graad twee is van de vorm ax2 + bx + c = 0, met a niet gelijk aan 0. De oplossingen hiervan worden gegeven door de zogenaamde abc-formule.

De algemene vergelijking van graad n, met n een geheel getal dat groter dan twee is, is van de vorm anxn + … + a2x2 + a1x + a0 = 0, met an niet gelijk aan 0. Formules voor de oplossingen van vergelijkingen van graden drie en vier zijn bekend sinds de 16e eeuw. Deze formules betekenen precies dat de oplossingen in die gevallen gekregen kunnen worden door de operaties +, -, *, / en het trekken van wortels, derdemachtswortels en vierdemachtswortels een eindig aantal keer op coëfficiënten toe te passen. Al in de 19-de eeuw is bewezen (de stelling van Abel en Ruffini) dat er géén dergelijke formules, waarin men bovendien het trekken van wortels van willekeurige macht toestaat, bestaan voor de oplossingen van de algemene vergelijking van graad n als n groter dan vier is.

Wat Uytdewilligen nu gedaan heeft, is het beschrijven van een formule van een oplossing van de vergelijking van willekeurige graad n als een oneindige som (een zogenaamde machtreeks):

x = b1a0 + b1a02 + b1a03 + …

Hierin zijn b1, b2, etc. getallen die eenvoudig in de coëfficiënten a0, a1, …, an uitgedrukt kunnen worden (wiskundig: het zijn rationale uitdrukkingen daarin). Onder geschikte voorwaarden is het zo dat deze oneindige som geen onzin is (wiskundig: de som is convergent).

Een voorbeeld van een convergente oneindige som is de e-macht.

Echter, dat zulke formules als beschreven door Uytdewilligen bestaan, en zelfs uniek zijn, is ook al bekend sinds de negentiende eeuw. Het zogenaamde ontwikkelen in machtreeksen is een standaardtechniek in de wiskunde. Ook het gebruik van differentiaalvergelijkingen in deze context, zoals in het werk van Uytdewilligen, is volkomen standaard sinds de negentiende eeuw.

Er is dus geen sprake van een ‘enorme doorbraak in de wiskunde’, en er is geen ‘eeuwenoud wiskundig probleem opgelost’. Hoogstens heeft Uytdewilligen de beschrijving van de machtreeks iets explicieter gemaakt. De toon die wordt aangeslagen in de nieuwsberichten van Science Guide en de Fontys Hogeschool heeft het werk van Uytdewilligen tot grote proporties opgeblazen. Het is onbegrijpelijk dat er vanuit instellingen met dit soort namen zulke grote zeepbellen worden geproduceerd. Ook is het geen goede zaak dat veel ‘media’ vervolgens kritiekloos dit soort zeepbellen in de publiciteit brengen. Publiciteit voor exacte wetenschappen is prima, maar de inhoud moet natuurlijk wel kloppen.

Over de auteurs

Bas Edixhoven is hoogleraar meetkunde aan de Universiteit Leiden en Theo van den Bogaart is aio in zijn onderzoeksgroep. Beiden doen onderzoek op het gebied van de algebraïsche meetkunde.

Dit artikel is een publicatie van NEMO Kennislink.
© NEMO Kennislink, sommige rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 13 september 2004
NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.