Je leest:

Op zoek naar halfregelmatige veelvlakken

Op zoek naar halfregelmatige veelvlakken

Auteurs: en | 1 december 2002

Op een plaatje in een boek zien kristallen er mooi uit, maar ze maken nog meer indruk als je ze in het echt kunt zien. Het mooiste is het kristal dat je zelf vindt, tussen rotspuin na een lange zoektocht.

Zo is het eigenlijk ook met veelvlakken. Er bestaan prachtige overzichten van veelvlakken in soorten en maten. Maar in dit artikel nodigen we je uit zelf op zoek te gaan naar een beroemde serie veelvlakken. Die speurtocht levert je overigens niet alleen die serie op, maar ook de zekerheid dat de veelvlakken die je gevonden hebt, de enige veelvlakken zijn die aan de gestelde eisen voldoen.

Halfregelmatige veelvlakken

Om halfregelmatig te zijn moet een veelvlak voldoen aan de volgende drie eisen:

1. de zijvlakken zijn regelmatige veelhoeken; 2. de hoekpunten zijn congruent; 3. het veelvlak is convex.

Vijf veelvlakken die aan deze eisen voldoen, ken je waarschijnlijk al, namelijk de vijf Platonische lichamen. Een ander bekend voorbeeld is de afgeknotte icosaëder, dat ook bekend staat als het voetbalveelvlak, zie figuur 1. Dit veelvlak is opgebouwd uit 12 regelmatige vijfhoeken 20 regelmatige zeshoeken. In overeenstemming met eis 2 zit elk hoekpunt op dezelfde manier in elkaar: er komen een regelmatige vijfhoek en twee regelmatige zeshoeken bij elkaar. Die opbouw van een hoekpunt kan kortweg beschreven worden met het rijtje getallen 6-6-5. Dat rijtje noemen we de hoeksamenstelling. De hoeksamenstelling van een kubus is bijvoorbeeld 4-4-4 en die van een octaëder 3-3-3-3.

De hoeksamenstelling bepaalt vanwege eis 2 de vorm van halfregelmatige veelvlakken in hoge mate. Zet je regelmatige vijf- en zeshoeken aan elkaar met steeds twee zeshoeken en een vijfhoek in een hoekpunt, dan kun je niets anders krijgen dan het voetbalveelvlak. Slechts bij één bepaalde hoeksamenstelling, namelijk 4-4-3-4, bestaan er twee echt verschillende halfregelmatige veelvlakken.

Figuur 1. De afgeknotte icosaëder, oftewel het voetbalveelvlak

De hoekensom

Welke halfregelmatige veelvlakken zijn er? Net als bij de Platonische lichamen ligt het voor de hand alle mogelijke hoeksamenstellingen na te gaan.

Omdat het veelvlak convex moet zijn, kunnen er niet willekeurig veel veelhoeken in een hoekpunt bij elkaar komen. Bij het voetbalveelvlak komen bijvoorbeeld twee zeshoeken en een vijfhoek bij elkaar, zie figuur 2. Aan het hoekpunt dragen die twee zeshoeken ieder 120° bij, de vijfhoek nog eens 108°. In totaal zijn de vlakke hoeken in het hoekpunt dus 348°. Dit getal noemen we de hoekensom. Het verschil van de hoekensom en 360° noemen we het hoektekort. In figuur 3 zie je de hoekensom en het hoektekort van het voetbalveelvlak. Wil een veelvlak convex zijn, dan moet de hoekensom (in elk hoekpunt) kleiner dan 360° zijn.

Figuur 2. Bij een hoekpunt van het voetbalveelvlak komen twee zeshoeken en een vijfhoek samen. De hoekensom is 348° en het hoektekort is 12°.

Als de hoekensom precies 360° is, heb je een plat hoekpunt en is geen bijbehorend veelvlak mogelijk. Wel kan er een vlakvulling met die hoeksamenstelling bestaan. Het loont de moeite die vlakvullingen in je zoektocht te betrekken, omdat ze mooi passen bij hun ruimtelijke halfregelmatige verwanten.

Figuur 3. Een vlakvulling met gelijkzijdige driehoeken: in elk hoekpunt komen zes driehoeken bij elkaar.

De mogelijke hoeksamenstellingen

In een hoekpunt van een halfregelmatig veelvlak komen minstens drie en hoogstens vijf zijvlakken bij elkaar. Betrek je vlakvullingen in het onderzoek, dan is er ook nog een hoeksamenstelling van zes, namelijk 3-3-3-3-3-3. De bijbehorende vlakvulling zie je in figuur 3.

Het is dus zaak alle drie-, vier- en vijftallen veelhoeken op te sporen die een hoekensom opleveren van hoogstens 360°. Daartoe zouden we een lijst willen aanleggen van drie-, vier- en vijftallen natuurlijke getallen n1, n2, …, nk met k = 3, 4, 5 en ni = 3, 4, 5, … met als voorwaarde dat de bijbehorende hoekensom hoogstens 360° is.

Die voorwaarde laat zich gemakkelijk vertalen in een formule. In een regelmatige n-hoek zijn de hoeken namelijk ieder ((n-2) · 180°) / n. Dat de bijbehorende hoekensom niet te groot is, betekent dus dat [ (n1 – 2) / n1 + (n2 – 2) / n2 + ··· + (nk – 2) / nk ] · 180° < 360°. (of natuurlijk gelijk aan 360° voor een vlakvulling).

Het bespaart veel moeite in de lijst te werken met rijtjes getallen van groot naar klein, dus met de extra voorwaarde

n1 > n2 >… > nk

Als eenmaal duidelijk is dat een bepaald rijtje mogelijk geschikt is, dan kun je de verschillende hoeksamenstellingen die erbij horen, uitproberen.

De beoogde lijst is in deze vorm eindeloos, maar vanaf een zeker punt gemakkelijk af te kappen. Want naarmate het aantal hoekpunten van de zijvlakken groter wordt, worden de afzonderlijke hoeken groter en blijven er minder mogelijkheden over. Je zult zien dat vanaf zeg n1 = 12 het altijd weer dezelfde combinaties zijn, die óf overduidelijk niets opleveren, óf horen bij veelvlakken van een heel overzichtelijk bouwschema.

Evengoed gaat het nog om een aanzienlijk aantal combinaties, ook onder de n1 = 12. Twee principes kunnen je helpen flink in de lijst te schrappen, zodat er een acceptabel aantal kandidaten overblijft. Die twee principes hebben we de ‘hoekenwet’ en de ‘burenwet’ gedoopt.

De hoekenwet

We hebben het hoektekort d gedefinieerd als het verschil van de hoekensom en 360°. In het artikel ‘De formule van Euler’ (Pythagoras, oktober 2002) wordt uitgelegd dat het totale hoektekort voor veelvlakken zoals wij die hier bestuderen, altijd 720° is. Bij halfregelmatige veelvlakken is het hoektekort in elk hoekpunt gelijk, zodat geldt:

d × h = 720°

waarbij h staat voor het aantal hoekpunten. Deze formule noemen we de hoekenwet voor halfregelmatige veelvlakken. Met deze wet kun je snel berekenen hoeveel hoekpunten het halfregelmatige veelvlak bij een gegeven hoeksamenstelling zou moeten hebben. Het hoektekort bij 6-6-5 is 12°, dus het voetbalveelvlak zou 720/12 = 60 hoekpunten moeten hebben, en dat is inderdaad zo.

Bij veel hoeksamenstellingen kom je op een hoektekort uit, dat niet deelbaar is door 720. Het bijbehorende veelvlak zou dan een gebroken aantal hoekpunten moeten hebben, wat uiteraard niet mogelijk is. De betreffende combinaties kun je dus uit de lijst van kandidaten schrappen.

De burenwet

Veel combinaties vallen alsnog af op het moment dat je het betreffende veelvlak in elkaar probeert te zetten. Dat gebeurt vaak bij veelhoeken met een oneven aantal hoekpunten. Neem bijvoorbeeld het drietal 8, 7, 4. Op grond van het hoektekort zou 8-7-4 kunnen horen bij een veelvlak met 56 hoekpunten. We proberen dit 56-hoekige veelvlak in elkaar te zetten. We beginnen met een zevenhoek, met hoeken A, B, C, D, E, F, G, H. In punt B leggen we een vierkant en een achthoek aan, zeg, we leggen het vierkant aan de ribbe AB en de achthoek aan de ribbe BC, zie figuur 5a. In punt C moeten we weer een achthoek en een vierkant hebben. De achthoek ligt er al, dus we leggen aan de ribbe CD een vierkant. Als we zo doorgaan, komen er om de zevenhoek afwisselend vierkanten en achthoeken te liggen. Maar omdat de zevenhoek een oneven aantal zijden heeft, komen er in punt A twee vierkanten, in plaats van een vierkant en een achthoek, zie figuur 5b. Hiermee krijgt punt A een hoeksamenstelling van 7-4-4, in plaats van 8-7-4.

Figuur 4a

Figuur 4b. Om een zevenhoek worden afwisselend vierkanten en achthoeken gelegd, maar één punt kan geen twee verschillende buren hebben.

In het algemeen geldt: als in een hoeksamenstelling een n-hoek zit, waarbij n oneven is, dan kan die n-hoek niet twee verschillende buren hebben. Dit principe noemen we de burenwet. Op grond van deze wet kun je vele combinaties schrappen, zoals alle combinaties van de vorm a, b, 3 met a is ongelijk aan b, beide ongelijk aan 3.

Zie ook:

Regelmaat in de ruimte van A.K. van der Vegt, ISBN 90-407-1274-3 Delft Univerity Press.

Dit artikel is een publicatie van Pythagoras (KWG).
© Pythagoras (KWG), alle rechten voorbehouden
Dit artikel publiceerde NEMO Kennislink op 01 december 2002

Discussieer mee

0

Vragen, opmerkingen of bijdragen over dit artikel of het onderwerp? Neem deel aan de discussie.

NEMO Kennislink nieuwsbrief
Ontvang elke week onze nieuwsbrief met het laatste nieuws uit de wetenschap.